유한 선형 순서와 전사 사상에 대한 코스팬의 모노이달 2 카테고리의 보편적 성질

초록

본 논문은 유한 선형 순서와 전사 사상으로 이루어진 코스팬을 이용해 만든 모노이달 2-카테고리 Cospan(FinOrd_surj)가 “객체 X에 반(半)군과 코반(共)군 구조를 동시에 부여하고, 두 구조가 2‑차원 분리 대수(separable algebra) 조건을 만족하는 가장 자유로운” 모노이달 2‑카테고리임을 보인다. 이를 위해 Cospan(FinOrd_surj)의 모노이달 구조, 2‑셀의 구성, 그리고 보편적 성질을 만족하는 단일 사상(모노이달 2‑함수)의 존재와 유일성을 상세히 증명한다.

상세 분석

논문은 먼저 FinOrd, 즉 유한 전순서 집합을 객체로 하고 전사 함수(surjection)를 화살표로 하는 카테고리 FinOrd_surj를 정의한다. 이 카테고리는 전사 함수를 통해 합성할 때 푸시아웃이 항상 존재하므로, 표준적인 코스팬 구성법을 적용해 2‑카테고리 Cospan(FinOrd_surj)를 만들 수 있다. 여기서 한 객체는 유한 전순서이며, 1‑셀은 두 전사 함수를 통해 연결된 코스팬 A←C→B이고, 2‑셀은 코스팬 사이의 전사 함수가 삼각형을 교환시키는 사상이다.

모노이달 구조는 전순서의 순서합(ordinal sum) ⊕에 의해 정의된다. 즉, A⊕B는 A와 B를 순서대로 이어 붙인 새로운 전순서이며, 전사 함수는 각각의 부분에 대해 독립적으로 작용한다. 이때 ⊕는 엄격하게 결합적이며 단위 객체는 빈 전순서이다.

핵심은 “X에 반군(μ:X⊗X→X)과 코반군(δ:X→X⊗X) 구조가 존재하고 μ∘δ=id_X”라는 2‑차원 분리 대수 조건을 만족하는 객체 X가 주어졌을 때, Cospan(FinOrd_surj)에서 X를 이미지로 하는 모노이달 2‑함수 F가 유일하게 존재한다는 보편적 성질이다. 저자는 μ와 δ를 각각 ‘합성’과 ‘분해’ 코스팬으로 해석하고, 이들 코스팬 사이의 교환 법칙을 2‑셀(동형)으로 표현한다. 특히, μ와 δ가 서로 역이면서도 동시에 연관성(associativity)과 공동연관성(coassociativity)의 2‑셀을 만족하도록 구성함으로써, 전통적인 분리 대수의 1‑차원 식을 2‑차원으로 끌어올린다.

보편성 증명은 두 단계로 나뉜다. 첫째, 주어진 (C,⊗,I)와 X, μ, δ를 갖는 임의의 모노이달 2‑카테고리 D에 대해, Cospan(FinOrd_surj)의 각 객체 n(= {0<1<…<n‑1})를 X^{⊗ n}에 매핑하는 기본적인 2‑함수 G를 정의한다. 여기서 전사 함수는 X의 복제와 합성을 담당하는 μ와 δ의 조합으로 구현된다. 둘째, G가 모노이달 구조와 2‑셀을 모두 보존함을 확인하고, 어떠한 다른 모노이달 2‑함수 F가 같은 데이터를 만족한다면, 자연 변환 η:F⇒G와 그 역변환을 구성해 동등함을 보인다. 이 과정에서 푸시아웃의 보편성, 순서합의 결합성, 그리고 분리 대수 조건이 핵심적인 역할을 한다.

결과적으로 Cospan(FinOrd_surj)는 “반군·코반군을 동시에 갖는 분리 대수”를 자유롭게 생성하는 초기 객체(initial object)이며, 이는 기존에 알려진 PROP FinSet의 코스팬(전사와 전단사)과는 다른, 순서 정보를 보존하는 새로운 보편적 모델임을 확인한다.