가법 회귀 모델에서의 균일 수렴과 100% 신뢰구간 구축

초록

본 논문은 가법 회귀 모델의 각 구성요소를 추정하기 위해 주변 적분(marginal integration) 방법을 적용하고, i.i.d. 표본 하에서 추정량의 균일 수렴성을 정량화한다. 이를 바탕으로 구성요소별로 점별이 아닌 전체 구간에 대한 100% 신뢰구간을 비대칭적으로 제공한다.

상세 분석

가법 회귀 모델은 종속변수 Y를 여러 독립변수 X₁,…,X_d의 비선형 함수들의 합으로 표현한다는 점에서 고차원 비선형 회귀의 차원 저주를 완화한다. 그러나 각 구성함수 f_j(·)를 정확히 추정하려면 다변량 커널 추정의 복잡성을 피하면서도 편향을 최소화해야 하는 난제가 남는다. 논문은 이러한 문제를 해결하기 위해 주변 적분(marginal integration) 추정기를 선택한다. 구체적으로, 전체 다변량 회귀함수 m(x)=∑_{j=1}^d f_j(x_j)를 먼저 Nadaraya–Watson 형태의 다변량 커널 회귀로 추정한 뒤, 각 변수에 대해 다른 변수들을 적분함으로써 개별 구성요소를 분리한다. 이 과정에서 커널 함수와 대역폭 선택이 균일 수렴에 미치는 영향을 정밀히 분석한다.

주요 이론적 기여는 두 가지이다. 첫째, 추정량 \hat f_j(x)에 대해 sup‑norm(최대 절대오차) 기준의 일관성과 수렴 속도를 제시한다. 저자들은 표본 크기 n과 대역폭 h_n 사이의 관계를 h_n→0, nh_n^d/ log n →∞와 같은 전형적인 조건 하에, |\hat f_j - f_j|∞ = O_p\big((\log n/(nh_n^d))^{1/2}+h_n^s\big) 형태의 경계식을 도출한다. 여기서 s는 f_j의 스무스 정도를 나타낸다. 둘째, 이러한 균일 수렴 결과를 기반으로 함수 전체에 대한 점wise가 아닌 전체 구간에 대한 비대칭 100% 신뢰구간을 구성한다. 이는 함수추정의 극한 분포를 sup‑norm에 대한 강한 근사(Gaussian process)와 연결시켜, \sup{x∈