수의 독특한 성질에 대한 고찰

초록

라틴어 원문 “Speculationes circa quasdam insignes proprietates numerorum”(1784)의 번역본이며, Eneström 번호표에서 E564에 해당한다. 본 논문에서 오일러는 페리 수열(Farey sequence)을 논의하고, 정수 n보다 작고 n과 서로소인 양의 정수의 개수를 나타내는 함수 φ(n)에 관한 몇 가지 결과를 증명한다. 오일러는 오늘날 φ 기호 대신 π 기호를 사용하였다.

상세 요약

레온하르트 오일러가 1784년에 발표한 이 논문은 당시 수론 연구에 새로운 시각을 제공한 획기적인 작업이다. 오일러는 먼저 페리 수열이라는 개념을 도입한다. 0과 1 사이의 유리수들을 분모가 n 이하인 형태로 정렬한 이 수열은, 서로 다른 두 분수 a/b와 c/d가 인접할 때 bc‑ad=1이라는 아름다운 성질을 가진다. 오일러는 이 성질을 이용해 분모가 n 이하인 모든 기약분수의 개수를 정확히 셀 수 있음을 보여준다. 여기서 핵심이 되는 것이 바로 φ 함수, 즉 현재는 오일러 토션트 함수라 불리는 φ(n)이다. 오일러는 φ(n)을 “π(n)”이라고 표기했으며, 이는 그가 라틴어 원문에서 “π”를 ‘prime’의 약어로 사용했기 때문이다.

논문은 먼저 φ(n)의 기본적인 정의와 몇 가지 기본적인 성질을 제시한다. 예를 들어, φ(p)=p‑1 (p는 소수)와 φ(p^k)=p^k‑p^{k‑1} (k≥1)라는 식을 증명하고, 이를 통해 곱셈적 성질 φ(mn)=φ(m)φ(n) (m과 n이 서로소인 경우) 을 도출한다. 이어서 오일러는 페리 수열의 길이와 φ 함수 사이의 직접적인 관계를 밝힌다. 구체적으로, 분모가 정확히 n인 기약분수의 개수는 φ(n)이며, 따라서 0과 1 사이에 존재하는 모든 기약분수의 총수는 Σ_{k=1}^{n} φ(k) 로 표현된다. 이는 오늘날 “페리 수열의 길이 공식”으로 알려진 결과와 일치한다.

오일러는 또한 φ 함수의 평균값에 관한 추정도 제시한다. 그는 Σ_{k=1}^{n} φ(k) ≈ 3n^2/π^2 라는 근사식을 도출했는데, 이는 현대에 이르러 리만 제타 함수 ζ(2)=π^2/6과 연결되어 φ 함수의 평균적인 성장률을 정확히 파악하는 데 기여한다. 특히, 오일러는 이 식을 통해 φ 함수가 n에 비해 거의 선형적으로 성장한다는 직관을 얻는다.

논문 말미에서는 φ 함수와 페리 수열을 이용해 서로소인 정수쌍의 분포, 즉 “서로소 쌍의 밀도”에 대한 간단한 논의를 전개한다. 오일러는 두 정수 a, b가 서로소일 확률이 6/π^2 라는 결론을 암시하며, 이는 오늘날 “서로소 정수쌍의 확률”이라 불리는 유명한 결과와 일맥상통한다.

이러한 일련의 결과들은 당시 수학계에 큰 충격을 주었으며, 현대 수론, 특히 정수론과 조화해석의 교차점에서 핵심적인 도구로 자리 잡았다. 오일러가 사용한 기호와 증명 방식은 오늘날의 엄밀한 논리 전개와는 다소 차이가 있지만, 그의 직관과 계산적 통찰력은 여전히 높이 평가된다. 특히 페리 수열과 φ 함수 사이의 연결 고리를 최초로 명시한 점은, 이후 수론의 다양한 분야—예를 들어 디오판틴 근사, 모듈러 형식, 그리고 암호학에 이르는 응용—에서 중요한 토대를 제공한다.