p$‑adic Haar 다중해상도 분석과 의사미분 연산자 연구

초록

$p$‑adic 다중해상도 분석(MRA)의 개념을 도입하고, 정밀화 방정식의 자연스러운 형태를 논한다. 이 방정식의 해인 정제 함수는 단위 원판의 특성 함수이며, 이는 단위 원판이 반경 $p^{-1}$인 $p$개의 서로 겹치지 않는 원판들의 합으로 표현될 수 있음을 반영한다. 이 정밀화 방정식은 MRA를 생성한다. $p=2$인 경우를 상세히 살펴보며, 우리의 MRA가 실수 Haar MRA의 2‑adic 아날로그임을 보인다. 그러나 실수 경우와 달리, 우리 Haar MRA를 생성하는 정제 함수는 1‑주기성을 갖으며, 이는 실수 정제 함수에서는 결코 일어나지 않는다. 이 특성은 동일한 Haar MRA로부터 무한히 많은 서로 다른 2‑adic 정규직교 웨이브릿 기저가 존재함을 의미한다. 이러한 모든 기저를 기술한다. 또한 일차원 MRA의 텐서 곱을 이용해 $\mathbb{Q}_2^n$ 공간의 다변량 2‑adic Haar 정규직교 기저를 구성한다. 다변량 $p$‑adic 웨이브릿이 의사미분 연산자의 고유함수가 되기 위한 기준을 도출하고, 이 웨이브릿이 Taibleson 다변량 분수 차수 연산자의 고유함수임을 증명한다. 이러한 결과는 우리의 기저를 다양한 응용 분야에 적극 활용할 수 있는 기반을 제공한다.

상세 요약

이 논문은 $p$‑adic 수 체계 위에서 전통적인 실수 Haar 다중해상도 분석(MRA)을 어떻게 재구성할 수 있는지를 체계적으로 제시한다. 핵심은 단위 원판(즉, $p$‑adic 정수환 $\mathbb{Z}_p$)의 특성 함수 $\Omega(|x|_p)$가 정밀화 방정식
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