무한급수 합을 미분식으로 탐구하는 간결한 방법

초록

본 논문은 1780년에 발표된 오일러의 “Methodus succincta summas serierum infinitarum per formulas differentiales investigandi”를 한국어로 번역·해설한다. 오일러는 주어진 함수열 (X(x))에 대해 (S(x)=X(x)+X(x+1)+X(x+2)+\dots) 형태의 무한급수를 새로운 형태로 표현하고자 한다. 그는 (S(x))를 (X)의 도함수들의 선형결합으로 전개하고, 그 계수들을 미지수로 두어 생성함수 (V(z))를 만든다. 이 생성함수는 후에 베르누이 수와 동일한 형태의 전개식을 갖게 되며, 이를 통해 급수의 합을 효율적으로 계산할 수 있는 일반공식을 도출한다.

상세 요약

오일러가 제시한 방법은 오늘날 수치해석과 특수함수 이론에서 핵심적인 도구인 ‘생성함수’ 개념을 초기 형태로 활용한 사례라 할 수 있다. 그는 먼저 (S(x)=\sum_{k=0}^{\infty}X(x+k)) 라는 무한합을 정의하고, 이를 (X)의 테일러 전개를 이용해 (X(x+n)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{X^{(m)}(x)}{m!}n^{m}) 로 표현한다. 여기서 (n)은 정수이므로, 각 항을 (n^{m})에 대한 무한합 (\sum_{n=0}^{\infty}n^{m}) 로 바꾸면, 이 합은 잘 알려진 다항식의 급수와 베르누이 수와의 관계를 통해 닫힌 형태로 정리될 수 있다.

오일러는 이러한 과정을 역으로 생각하여, (S(x))를 (X)와 그 도함수들의 선형결합
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