선형 1차원 2점 경계값 문제의 최소최대 상태 관측

초록

본 논문은 1차원 선형 2점 경계값 문제 (Dx = Bf) 에 대해 입력 (f) 와 관측 잡음 (\eta) 에 대한 불완전한 사전 정보가 주어졌을 때, 최소최대(미니맥스) 기준으로 상태 (x) 를 추정하는 방법을 제시한다. 추정 가능성 조건을 제시하고, 최소최대 추정값을 2점 경계값 문제의 해로 표현한다. 일반적인 경우 전체 상태가 아니라 특정 선형 부분공간 (F) 에 대한 투영만이 추정 가능함을 보이며, (dim,N(DH)=0) 이면 (F=L_2) 가 된다. 또한 주어진 선형 함수가 (F) 에 속하는지 판단하는 절차를 제안한다.

상세 분석

이 연구는 선형 미분 연산자 (D) 와 경계 연산자 (B) 가 정의된 1차원 2점 경계값 문제 (Dx = Bf) 를 기본 모델로 삼는다. 여기서 (f) 는 시스템 입력이며, 관측 모델은 (y = Hx + \eta) 로 표현된다. 논문의 핵심 가정은 (f) 와 잡음 공분산 (M_{\eta\eta}) 에 대한 정확한 확률분포를 알 수 없고, 대신 각각이 미리 정의된 집합 (\mathcal{F}) 와 (\mathcal{M}) 에 속한다는 점이다. 이러한 불확실성 하에서 “보장된” 추정 오차, 즉 모든 허용 가능한 (f) 와 (\eta) 에 대해 최악의 경우 오차를 최소화하는 최소최대 추정기를 찾는 것이 목표이다.

저자는 먼저 추정 오차의 상한을 정의하고, 이 상한이 유한하기 위한 필요충분조건을 제시한다. 핵심 결과는 (N(DH)) (연산자 (D)와 관측 행렬 (H) 의 곱의 영공간)의 차원이 0이면, 즉 (DH) 가 전사이면 전체 상태 (x) 를 유일하게 추정할 수 있음을 보인다. 차원이 양수인 경우에는 영공간에 해당하는 자유도는 관측으로부터 완전히 제거할 수 없으며, 따라서 추정 가능한 부분공간 (F) 는 (L_2) 공간의 부분집합으로 제한된다.

수학적으로는 라그랑주 승수와 변분 원리를 이용해 최소최대 추정 문제를 등가적인 2점 경계값 문제로 변환한다. 구체적으로, 최적 추정기 (\hat{x}) 는 다음과 같은 연립 방정식 시스템을 만족하는 함수로 표현된다.
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