전기 임피던스 단층 촬영을 위한 2차 형상 최적화

초록

본 논문은 전기 임피던스 단층 촬영(EIT) 문제에서 포함체의 경계 형태를 복원하기 위해, 형상 변수에 대한 2차 미분(해시안)을 이용한 뉴턴 방법을 제안한다. 상태 방정식의 2차 형상 도함수 존재성을 증명하고, 비용 함수의 1차·2차 도함수를 명시적으로 유도한다. 또한 전역 최소점에서 해시안이 콤팩트함을 보임으로써 문제의 심각한 불안정성을 이론적으로 설명한다.

상세 분석

이 연구는 전기 임피던스 단층 촬영(EIT)이라는 비선형 역문제에 형상 미분 이론을 적용한 최초의 시도라 할 수 있다. 기본 모델은 내부에 전도율이 다른 포함체 ω 가 존재하는 영역 Ω 에 대해, 전위 u 가 전도율 σ 에 따라 다음 전송 문제를 만족한다는 가정이다. ∇·(σ∇u)=0  in Ω\ω,  u|_{∂Ω}=g,  그리고 경계 ∂ω 에서 연속성과 전류 연속 조건을 만족한다. 논문은 먼저 형태 변화를 매개변수 t 에 대한 변위장 V 으로 기술하고, 물질 미분과 형상 미분을 구분한다. 1차 형상 도함수는 기존 연구와 동일하게 경계 적분 형태로 얻어지지만, 2차 도함수(해시안)의 존재성을 증명하기 위해서는 상태 변수 u 와 그 1차 물질 미분 \dot u 가 각각 H^2 정규성을 만족해야 함을 보인다. 이를 위해 경계가 C^{2,α} 클래스임을 가정하고, 전송 문제의 정규성 이론을 정교하게 적용한다.

해시안 표현은 두 부분으로 나뉜다. 첫 번째는 1차 형상 도함수의 변분 형태를 다시 변분함으로써 얻어지는 “직접 항”이며, 두 번째는 1차 물질 미분 \dot u 와 변위장 V 의 상호작용을 포함하는 “교차 항”이다. 특히 교차 항은 경계 ∂ω 위에서의 곡률과 전도율 차이