그리디 최적화와 ADM 기반 데이터 구동 솔버를 결합한 비선형 구조 해석 전략

📝 Abstract

In this work, we extend and generalize our solving strategy, first introduced in [1], based on a greedy optimization algorithm and the alternating direction method (ADM) for nonlinear systems computed with multiple load steps. In particular, we combine the greedy optimization algorithm with the direct data-driven solver based on ADM which is firstly introduced in [2] and combined with the Newton-Raphson method for nonlinear elasticity in [3] . We numerically illustrate via oneand two-dimensional bar and truss structures exhibiting nonlinear strain measures and different constitutive datasets that our solving strategy generally achieves a better approximation of the globally optimal solution. This, however, comes at the expense of higher computational cost which is scaled by the number of “greedy” searches. Using this solving strategy, we reproduce the first cycle of the cyclic testing for a nylon rope that was performed at industrial testing facilities for mooring lines manufacturers. We also numerically illustrate for a truss structure that our solving strategy generally improves the accuracy and robustness in cases of an unsymmetrical data distribution and noisy data.

💡 Analysis

1. 연구 배경 및 동기

• 데이터‑구동 계산역학(DDCM) 은 실험 데이터(응력‑변형률 쌍)를 직접 활용해 물성 모델링 없이 구조 해석을 수행한다는 점에서 기존의 경험적 모델링 방식과 차별화된다.
• 기존 DDCM 솔버는 ADM 기반 반복 절차를 사용하지만, 전역 최적해 보장은 어려우며 특히 희소·비대칭·노이즈 데이터에서 지역 최소점에 머물 위험이 있다.
• 이러한 한계를 극복하기 위해 그리디 최적화를 도입, 데이터셋 내 후보 쌍을 탐색하면서 목적함수 값을 지속적으로 감소시키는 전략을 제안한다.

2. 주요 기여

📄 Content

하이라이트
데이터 기반 1차원 탄성 해석에서 비선형 변형을 나타내는 해결 전략
Thi‑Hoa Nguyen, Viljar H. Gjerde, Bruno A. Roccia, Cristian G. Gebhardt

• 다중 하중 단계로 계산된 비선형 시스템에 대해 탐욕적 최적화 알고리즘과 교대 방향법(ADM)을 기반으로 한 해결 전략을 확장·일반화하였다.
• 1차원 및 2차원 구조물(비선형 변형 및 다양한 물성 데이터셋을 포함)에서 본 해결 전략이 전역 최적해에 대한 근사성을 향상시킴을 수치적으로 보여준다.
• 해양 계류선 제조업체의 산업 시험 시설에서 수행된 나일론 로프의 순환 시험 실험 데이터를 실제 적용 사례로 제시한다.
• 비대칭 데이터 분포와 잡음이 섞인 경우에도 본 전략이 정확도와 강인성을 전반적으로 개선함을 수치적으로 입증한다.

arXiv:2512.19912v1 [cs.CE] 2025년 12월 22일

데이터 기반 1차원 탄성(비선형 변형 포함) 해결 전략

Thi‑Hoa Nguyen*, Viljar H. Gjerde, Bruno A. Roccia, Cristian G. Gebhardt

a Geophysical Institute 및 Bergen Offshore Wind Centre, University of Bergen, Norway
b Eviny Fornybar AS, Norway

초록

본 연구에서는 다중 하중 단계로 계산되는 비선형 시스템에 대해, 탐욕적 최적화 알고리즘과 교대 방향법(ADM)을 결합한 해결 전략을 확장·일반화한다. 구체적으로, 탐욕적 최적화 알고리즘을 직접 데이터‑구동 솔버(ADM 기반, [2]에서 최초 제시)와 결합하고, 이를 비선형 탄성에 대한 뉴턴‑라프슨 방법([3]에서 제시)과도 연계한다. 1차원·2차원 바(bar)와 트러스(truss) 구조물(비선형 변형 측정 및 다양한 물성 데이터셋 포함)을 대상으로 수치 실험을 수행했으며, 제안된 전략이 전역 최적해에 대한 근사성을 일반적으로 더 잘 달성함을 확인하였다. 다만, “탐욕적” 탐색 횟수에 비례해 계산 비용이 증가한다는 점이 있다. 이 전략을 이용해, 계류선 제조업체의 산업 시험 시설에서 수행된 나일론 로프의 순환 시험 첫 사이클을 재현하였다. 또한, 트러스 구조에 대해 비대칭 데이터 분포와 잡음이 존재하는 경우에도 정확도와 강인성이 전반적으로 향상됨을 수치적으로 보여준다.

키워드: 1차원 탄성, 데이터‑구동 전산역학, 교대 방향법, 이산‑연속 비선형 최적화 문제, 탐욕적 최적화, 정적 구조 해석

1. 서론

데이터‑구동 전산역학(DDCM)은 약 10년 전 새로운 수치 접근법으로 등장하였다. 최초로 [2]에서 제시된 직접 DDCM 접근법은 실험으로부터 얻은 물성 데이터(응력‑변형 쌍)를 그대로 활용함으로써 임의의 물성 모델을 도입할 필요를 없애고 정보 손실을 방지한다. 핵심 아이디어는 경계값·초기‑경계값 문제를 최적화 문제로 정식화하여, 평형·호환·경계·초기 조건을 만족하는 응력‑변형 쌍에 가장 가까운 데이터셋의 쌍을 찾는 것이다[2, 4, 5]. 이 거리 최소화는 거리의 제곱 L2‑노름 가중합을 목적함수로 하는 전역 최소값을 찾는 과정으로 귀결된다. 따라서 최적화 문제는 데이터셋이 이산적이고 변수장은 연속적인 특성을 갖기 때문에 이산‑연속 이차 최적화 문제(distance‑minimizing problem)로 간주된다.

[2]에서는 무작위로 선택된 고정 초기 응력‑변형 쌍을 시작점으로 삼아, 제약을 만족하면서 동시에 초기 쌍에 가장 가까운 해를 구한다. 이후 현재 구조 해에 가장 근접한 새로운 응력‑변형 쌍을 데이터셋에서 탐색하고, 이 과정을 응력‑변형 데이터가 수렴할 때까지 반복한다. 이는 초기화 없이 수행되는 교대 방향법(ADM)과 동일한 아이디어이다[6, 7].

직접 DDCM 접근법 외에도 역 DDCM[8‑10](데이터 기반 물성 모델을 전통적인 에너지 함수 형태로 재구성)와 혼합 DDCM[11‑14](직접·역 접근법을 결합) 등이 존재한다. 직접 DDCM은 잡음이 섞인 데이터[5, 15], 동역학[4], 대변형[3, 16, 17], 비탄성[18], 파괴[19], 불확실성 정량화[20, 21], 다중 규모 역학[22‑24] 등 다양한 분야로 확장되었으며, 게임 이론[25]과도 결합되었다. 또한, 응력장을 식별하기 위해 주어진 변형 데이터를 이용하는 물성 모델링[26‑29]에도 적용된다. 비역학 분야에서는 자기학[30], 전기‑기계 결합 문제[31], 전기 회로 시뮬레이션[32] 등에서도 활용된다.

다양한 개선 방안이 제안되었다. 전역 최적해를 얻는 것이 가장 중요한 과제 중 하나이며, 이는 특히 데이터가 희소하거나 3차원·비선형 물성 관계를 다룰 때 중요하다[33‑35]. Kanno는 직접 DDCM을 혼합 정수 계획 문제(MIP)로 재정의하여 전역 최적해를 구했지만, 데이터 포인트 수가 늘어날수록 계산 비용이 급격히 증가한다[33]. 최근에는 대칭적인 경우에 한해 선형 시스템에 대한 전역 최적해를 보장하는 구조‑특화 초기화 기법이 제안되었다[36]. 그 외에도 물성 매니폴드의 접선 정보를 이용한 가중치 파라미터 조정[34, 35], 희소 데이터셋에 대한 물성 접선 정보를 데이터에 통합하는 알고리즘[37, 38], 지역 최소점 탈출을 위한 수정 고정점 알고리즘[24] 등이 연구되었다.

우리의 이전 연구[1]에서는 탐욕적 최적화 알고리즘[39, 40]과 기존 직접 DDCM 해결 전략[2, 3]을 결합하여 비선형 변형을 보이는 1차원 바(bar) 문제를 다루었다. 탐욕적 탐색을 통해 초기 응력‑변형 쌍보다 더 나은 대안을 찾아 전역 목적함수 값을 감소시켰다.

또한, 직접 DDCM의 주요 과제인 계산 비용도 다루어졌다. 데이터셋에서 최적 응력‑변형 쌍을 찾는 과정이 비용이 많이 드는 만큼, 효율적인 데이터 구조를 도입해 검색 비용을 감소시키는 방안이 제안되었다[41]. 목적함수의 가중치를 적응적으로 조정해 물성 매니폴드의 접선을 반영함으로써 거리 최소화 방법의 계산 비용을 줄이는 연구도 있다[35]. 수학적 구조와 해 존재성에 관한 연구는 [16, 36, 42, 43]에서 다루어졌다.

본 논문에서는 이전 연구[1]에서 제시한 전략을 다중 하중 단계를 포함하는 비선형 시스템에 대해 확장·일반화한다. 핵심 아이디어는 탐욕적 최적화 알고리즘을 직접 DDCM의 표준 해결 흐름에 삽입해, 전역 목적함수 값을 감소시키는 새로운 응력‑변형 대안을 찾는 것이다. 초기 하중 단계에서는 세 가지 초기화 방법 중 하나를 사용한다: (1) 무작위 초기화[2], (2) 무응력 상태(응력·변형 모두 0) 초기화[11], (3) 구조‑특화 초기화[36]. 두 번째 하중 단계부터는 이전 단계에서 얻은 쌍을 초기값으로 사용한다. 또한, 2차원 트러스 구조에 대한 비선형 변형·대변형을 포함하도록 수치 실험을 확대하였다.

수치 결과는 제안된 전략이 전역 최적해에 대한 근사성을 더 잘 달성하지만, 탐욕적 검색 횟수에 비례해 계산 비용이 증가함을 보여준다. 또한, 산업 시험 시설에서 수행된 나일론 로프 순환 시험을 시뮬레이션하는 데 적용하였다. 마지막으로, 비대칭 데이터 분포와 잡음이 존재하는 경우에도 트러스 구조를 통해 정확도와 강인성이 전반적으로 향상됨을 확인하였다.

논문의 구성은 다음과 같다. 제2절에서는 비선형 변형을 포함한 1차원 탄성 문제의 연속·이산 형태를 제시하고, 이를 전역 최적해를 얻기 위한 혼합 정수 이차 계획 문제(MIQP)로 재정의한다. 제3절에서는 제안된 알고리즘과 세 가지 초기화 방식을 상세히 설명한다. 제4절에서는 바와 트러스 구조를 이용한 수치 실험을 통해 전략의 장점을 입증한다. 마지막으로 제5절에서는 결과를 요약하고 주요 결론을 제시한다.

2. 비선형 데이터‑구동 1차원 탄성

본 절에서는 본 연구에서 다루는 비선형 변형을 포함한 1차원 탄성 문제의 경계값 문제를 정식화한다. 먼저 연속적인(공간 연속) 형태로 시작해, 이를 이산‑연속 비선형 최적화 문제(DCNLP) 로 표현한다. 이후 유한 요소법(FEM)을 적용해 공간 이산 형태를 도출하고, 선형화된 행렬식 형태를 얻는다. 마지막으로 DCNLP를 혼합 정수 이차 계획 문제(MIQP) 로 재구성해 전역 최적해를 얻는 방법을 논한다.

2.1 연속 형태

[ \Omega\subset\mathbb{R} ]

를 유한 구간이라 하고, 물체는 폐곡선 (\phi(\xi)=\Phi(\xi)+u(\xi)\in\mathbb{R}^{2}) 로 기술한다. 여기서 (\xi\in[0,L_{0}])는 아크 길이 좌표이며, (\Phi)는 기준(undeformed) 형상, (u)는 변위이다. 물체는 체적 하중 (f\in L^{2}(\Omega)) 를 받으며, 축방향 변형만을 고려한다.

• 변위: (u\in H^{1}_{0}(\Omega))
• 축변형: (e\in L^{2}(\Omega))
• 응력: (s\in L^{2}(\Omega))

라그랑주 승수(dual fields) (\lambda\in H^{1}_{0}(\Omega),;\mu\in L^{2}(\Omega)) 를 도입한다.

기능 공간을 다음과 같이 정의한다.

[ x:=(u,e,s)\in X:=H^{1}{0}(\Omega)\times L^{2}(\Omega)\times L^{2}(\Omega),\qquad y:=(e,s)\in Y:=L^{2}(\Omega)\times L^{2}(\Omega),\qquad z:=(\lambda,\mu)\in Z:=H^{1}{0}(\Omega)\times L^{2}(\Omega). ]

라그랑주 승수를 이용한 평형·호환 조건은

[ \Theta(z,x;f)=\langle\lambda, B^{T}s-f\rangle_{L^{2}(\Omega)}+\langle\mu,\varepsilon(u)-e\rangle_{L^{2}(\Omega)}=0 \quad\forall

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