“포아송 역문제에서도 가우시안 대체모형이 빛을 발한다: 저선량에서 MSE를 잡아내는 비밀”

📝 Abstract

In imaging inverse problems with Poisson-distributed measurements, it is common to use objectives derived from the Poisson likelihood. But performance is often evaluated by mean squared error (MSE), which raises a practical question: how much does a Poisson objective matter for MSE, even at low dose? We analyze the MSE of Poisson and Gaussian surrogate reconstruction objectives under Poisson noise. In a stylized diagonal model, we show that the unregularized Poisson maximum-likelihood estimator can incur large MSE at low dose, while Poisson MAP mitigates this instability through regularization. We then study two Gaussian surrogate objectives: a heteroscedastic quadratic objective motivated by the normal approximation of Poisson data, and a homoscedastic quadratic objective that yields a simple linear estimator. We show that both surrogates can achieve MSE comparable to Poisson MAP in the low-dose regime, despite departing from the Poisson likelihood. Numerical computed tomography experiments indicate that these conclusions extend beyond the stylized setting of our theoretical analysis.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 질문 정의

• 포아송 잡음은 저광자·저전자 계수 상황에서 표준 모델이며, 이에 기반한 포아송 가능도 최적화가 일반적이다.
• 그러나 가능도 최적화 ≠ MSE 최소화이며, 특히 ill‑posed(조건이 나쁜) 역문제에서는 작은 고유값이 잡음을 크게 증폭시켜 MSE가 급증한다.
• 핵심 질문: “포아송 데이터에 대해 가우시안(정규) 대체 목적함수를 사용해도 저선량에서 MSE 손실이 크지 않은가?”

2. 이론적 모델링

2.1 대각화된 단순 모델

• A가 대각 행렬(m=n)인 경우, 각 성분이 독립적으로 분석 가능해 폐쇄형 해를 얻을 수 있다.
• 포아송 MLE는 (x^{\text{MLE}}{j}=y{j}/(s a_{j})) 로, 기대값이 작을수록 (특히 (s a_{j} \ll 1)) ‘스파이크’ 현상이 발생해 MSE가 폭발한다.
• 정규화된 포아송 MAP(Tikhonov 정규화 포함)는
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📄 Content

포톤 또는 전자 카운트가 낮을 때, 포아송 잡음 모델이 표준이다[1,2,3] 그리고 재구성을 위해 가우시안 2차 데이터 항 대신 포아송 가능도(Poisson likelihood)를 최적화하는 것이 자연스럽다[4,5,6]. 하지만 가능도와 재구성 오류는 서로 다른 목표이다. 올바른 가능도를 최대화한다고 해서 평균제곱오차(MSE)가 최소화된다는 보장은 없으며, 특히 작은 고유값이 잡음을 증폭시키는 ill‑posed 문제에서는 더욱 그렇다.

이러한 점은 실용적인 질문을 제기한다: 데이터가 포아송 분포임에도 불구하고 가우시안 가능도에 기반한 목적함수를 사용할 때 우리는 얼마나 많은 MSE를 잃게(또는 얻게) 되는가? 고선량(high dose)에서는 포아송 분포가 가우시안으로 수렴하지만, 우리는 저선량(low dose) 상황에서 무슨 일이 일어나는지 이해하고자 한다. 우리는 저선량 영역에서도 적절히 정규화된 가우시안 대체 모델이 포아송 목적함수와 비교해 놀라울 정도로 경쟁력 있는 MSE를 보일 수 있음을 보여준다. 대각 모델(diagonal model)을 이용해 닫힌 형태의 해석이 가능하도록 설정하고, 정규화되지 않은 포아송 최대우도추정(MLE)이 저선량에서 큰 MSE를 초래한다는 것을 보인다(섹션 2.1). 작은 대각 원소가 개별 모드를 효과적인 저카운트 영역으로 밀어 넣어, 단일 광자 이벤트가 분산 스파이크를 일으키기 때문이다.

두 가지 가우시안 대체 모델

1. 이분산(heteroscedastic) 목표 – 포아송 분포의 정규 근사(Normal approximation)에서 영감을 얻는다. 우리의 분석에 따르면 이 모델은 포아송 MLE보다 작은 MSE를 달성할 수 있다(정리 A.1). 그러나 로그가능도가 여전히 비2차 형태이므로 포아송 모델이 갖는 실용적 어려움(비선형성 등)을 어느 정도 유지한다.

2. 동분산(homoscedastic) 가우시안 대체(섹션 2.2.2) – 포아송 통계와 완전히 결별한다. 우리는 같은 저선량 영역에서 이 모델이 이론적으로 더 작은 MSE를 보이며, 포아송 MAP(최대 사후 확률)와도 비교한다(섹션 2.2.1). 동분산 대체는 목표함수가 2차이므로 선형 추정량을 제공하고, 계산적으로도 간단하며 해석적으로도 다루기 쉽다는 장점이 있다.

대각 모델에서의 정량적 결과

• 포아송 MLE는 대각 모델에서 명시적인 닫힌 형태를 가지며, 그 MSE는

  [ \mathrm{MSE}{\text{Poisson}} = \sum{j=1}^{d}\frac{\mu_j}{(s a_j)^2} + \text{(절단 오차)} ]

  와 같이 표현된다. 여기서 (\mu_j = s a_j x^\star_j)는 기대 카운트이다. 작은 (s a_j)가 존재하면 분산 항이 MSE를 지배하게 된다(섹션 2.1).

• Tikhonov 정규화가 적용된 포아송 MAP(식 11)에서는 각 모드에 대해

  [ x^{\text{Tik},P}_j(y_j)=\frac{s a_j y_j}{(s a_j)^2+\tau} ]

  와 같은 형태의 해를 얻는다. 정리 2.1에 따르면, 저선량 한계((\mu_j\to0))에서 MSE 비율은

  [ \frac{\mathrm{MSE}{\text{Tik},P}}{\mathrm{MSE}{\text{MLE},P}} =\frac{1}{(1+\gamma_j)^2}+O(\mu_j),\qquad \gamma_j=\frac{\tau}{(s a_j)^2} ]

  로 감소한다. 즉, (a_j)가 작아질수록 (\gamma_j)가 커져 정규화 효과가 강해진다.

• 동분산 가우시안 MAP(식 20)의 경우, 동일한 대각 모델에서

  [ x^{\text{HG}}_j(y_j)=\frac{s a_j y_j}{(s a_j)^2+\tau} ]

  라는 동일한 형태가 나오지만, 여기서는 분산이 상수이므로 로그가능도에 포함되는 비선형 항이 사라진다. 정리 2.2는 저선량에서

  [ \frac{\mathrm{MSE}{\text{HG}}}{\mathrm{MSE}{\text{MLE},P}} =\frac{1}{(1+\gamma_j)^2}+O(\mu_j) ]

  로, 포아송 MAP보다 더 작은 상수 ((1+\gamma_j)^{-2}) 를 제공함을 보여준다. 따라서 동분산 가우시안 대체가 저카운트 상황에서 포아송 MAP보다 더 큰 MSE 감소를 달성한다는 결론이 나온다.

수치 실험 (CT)

2‑D 평행빔 CT에 대해 실제 데이터를 사용해 위 이론을 검증하였다.

• 실험 설정

  • Ground‑truth 이미지 (x^\star)는 256 × 256 크기의 원 안에 정의된 X⁺ 공간에 존재한다.
  • 180개의 등간격 투사각을 사용해 ASTRA‑cuda[23]로 시뮬레이션한다.
  • 측정값 (y\sim\text{Poisson}(s A x^\star))이며, 스케일 (s)는 평균 기대 카운트를 목표값 (c)에 맞추어 조정한다.

• 비교 대상

  1. 포아송 MAP(식 11) – OSL MAP‑EM[16]으로 최적화.
  2. 정규화된 HG MAP(식 20) – Tikhonov 정규화 (\tau|x|_2^2)와 함께 L‑BFGS‑B로 최적화.
  3. 가중 최소제곱(PWLS) – 가중치 (w_j)를 달리한 세 가지 변형(oracle, plug‑in, plug‑in‑FBP)과 동분산 LS((w_j\equiv1))를 포함.

• 정규화 파라미터 선택
  각 선량 (s)에 대해 검증 세트 MSE를 최소화하도록 (\tau)를 튜닝하였다.

• 평가 지표
  원형 시야(FOV) 내 평균 제곱오차(MSE)를 사용했으며, 독립 테스트 인스턴스에 대해 평균값을 보고한다.

결과 요약

• LoDoPaB‑CT 데이터셋[24]에서 60명의 환자를 무작위 선택, 10개의 슬라이스는 튜닝, 50개는 테스트에 사용하였다. 슬라이스는 0‑1 정규화 후 256 × 256으로 다운샘플링하였다.

• 저카운트(평균 기대 카운트 10) 상황에서는 동분산 LS와 정규화된 HG MAP가 포아송 MAP보다 더 좋은 시각적 재구성을 제공하였다. MSE는 거의 동일하거나 약간 우수했다.

• 고카운트(평균 기대 카운트 1000) 상황에서는 모든 방법이 시각적으로 거의 구분되지 않았으며, MSE 역시 거의 동일하게 수렴하였다.

• 전체적으로 **단순한 2차 목적함수(ordinary least squares 포함)**가 모든 카운트 수준에서 포아송 MAP와 동등하거나 약간 앞선 MSE를 보였다. 이는 정규화와 암묵적 수축(shrinkage)이 MSE에 미치는 영향이 정확한 가능도 매칭보다 더 중요하다는 이론적 분석과 일치한다.

보조 실험으로 Shepp‑Logan phantom을 고정 진실값으로 사용한 경우에도 동일한 경향이 관찰되었다(보조 자료 섹션 B.1).

결론 및 논의

1. 가능도 선택이 MSE에 미치는 영향은 제한적이다. 저선량에서도 가우시안(특히 동분산) 대체가 포아송 MAP와 거의 동등하거나 더 나은 MSE를 제공한다.

2. ill‑posed 문제에서 고주파 모드가 자동으로 저선량 영역에 진입한다는 메커니즘이 핵심이다. 이때 단일 카운트 이벤트가 큰 분산 스파이크를 일으키며, 정규화가 이러한 스파이크를 억제함으로써 MSE를 크게 감소시킨다.

3. 대각 전진 연산자 모델을 이용한 이론적 분석은 실제 2‑D CT 실험에서도 잘 확장된다. 그러나 현재 분석은 대각 모델에 국한되어 있으며, 비대각(일반) 연산자에 대한 일반화는 아직 남아 있다.

4. 본 연구는 클래식 가능도 기반 추정기와 Tikhonov‑type 정규화에 초점을 맞추었다. 강력한 공간적 사전(prior)을 갖는 딥러닝 기반 재구성은 여기서 제시한 결론과 다를 수 있다.

부록: 섹션 2의 증명 요약

• 정리 2.1은 포아송 MAP에 Tikhonov 정규화를 적용했을 때, 저선량((\mu_j\to0))에서 각 모드별 MSE 비율이 ((1+\gamma_j)^{-2}) 로 감소함을 보인다. 여기서 (\gamma_j=\tau/(s a_j)^2)는 효과적인 정규화 수준을 나타낸다.

• 정리 2.2는 동분산 가우시안 MAP에 동일한 정규화를 적용했을 때, 동일한 (\gamma_j)에 대해 더 작은 상수 ((1+\gamma_j)^{-2}) 로 MSE가 감소함을 증명한다. 이는 로그가능도의 비선형 항이 사라진 결과이며, 선형 추정량을 가능하게 한다.

• 두 정리 모두 모드별 분석을 통해 전역 MSE는 (\sum_{j\le d}) 형태로 합산될 수 있음을 보여준다. 특히 uniform low‑dose 조건((\max_{j\le d}\mu_j\to0)) 하에서는 상수항이 지배적이며, 정규화 파라미터 (\tau)를 적절히 선택하면 MSE를 크게 억제할 수 있다.

참고문헌 (발췌)

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21. [21] …
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