멀티클래스 옴니프레딕션을 위한 동시 블랙웰 접근성 프레임워크
📝 Abstract
Omniprediction is a learning problem that requires suboptimality bounds for each of a family of losses $\mathcal{L}$ against a family of comparator predictors $\mathcal{C} $. We initiate the study of omniprediction in a multiclass setting, where the comparator family $\mathcal{C}$ may be infinite. Our main result is an extension of the recent binary omniprediction algorithm of [OKK25] to the multiclass setting, with sample complexity (in statistical settings) or regret horizon (in online settings) $\approx \varepsilon^{-(k+1)} $, for $\varepsilon $-omniprediction in a $k $-class prediction problem. En route to proving this result, we design a framework of potential broader interest for solving Blackwell approachability problems where multiple sets must simultaneously be approached via coupled actions.
💡 Analysis
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1. 연구 배경 및 동기
- 옴니프레딕션은 하나의 예측기가 여러 손실에 대해 최적에 근접하도록 하는 강력한 개념으로, 다중 손실·다중 비교자 상황을 포괄한다.
- 기존 문헌(
📄 Content
Omniprediction은 최근 [GKR + 22]에서 제시된 강력한 학습 정의입니다. 표준 감독 학습 과제를 생각해 보겠습니다. 우리는 i.i.d. 샘플 ((x,y)\sim D)를 받으며, 여기서 (x\in\mathbb{R}^{d})는 특성(feature)이고 (y\in\partial\Delta_{k}:={e_{i}}{i\in[k]})는 레이블(섹션 2.1의 표기법을 참고)입니다. 우리는 예측기 (p(x)\approx\mathbb{E}[y\mid x])를 만들고자 합니다. Omniprediction에서는 손실 함수들의 패밀리 (\mathcal{L})와 비교(prediction) 예측기들의 패밀리 (\mathcal{C})가 고정됩니다. 목표는 다음과 같은 동시 손실 최소화 보장을 만족하는 예측기 (p:\mathbb{R}^{d}\to\Delta{k})를 찾는 것입니다.
[ \mathbb{E}{(x,y)\sim D}\bigl[\ell\bigl(k\star\ell(p(x)),,y\bigr)\bigr];\le; \min{c\in\mathcal{C}}\mathbb{E}_{(x,y)\sim D}\bigl[\ell\bigl(c(x),y\bigr)\bigr];+;\varepsilon, \qquad\forall;\ell\in\mathcal{L}. \tag{1} ]
여기서 (k\star\ell)는 특정 손실 (\ell\in\mathcal{L})에 대한 사전 최적 매핑(ex‑ante optimum mapping)이며, (3)에서 정의됩니다. 이 함수는 각 (p\in\Delta_{k})를 평균적으로 (y=e_{i}) (단, (i\sim p))일 때 손실을 최소화하는 행동(action)으로 매핑합니다.
식 (1)은 **예측(prediction)**과 **행동(action)**을 효과적으로 분리합니다. 학습자는 예측기 (p)를 정하고, 특정 손실 (\ell)를 최소화하고자 하는 의사결정자는 (k\star\ell!\cdot!p)를 취합니다. 이는 예를 들어 훈련 시점에 알 수 없는 파라미터(시장 가격 등)에 의존하는 손실이 있거나, 다양한 손실 하이퍼파라미터에 대한 강인성이 필요할 때 특히 유용합니다. 손실 패밀리 (\mathcal{L}) 전체에 대해 (1)이 적용되므로, 예측기 (p)는 “감독 충분 통계량”(supervised sufficient statistic) 로 해석될 수 있으며, 단일 손실 최소화보다 더 일반적인 역할을 합니다. 이 관점은 이전의 알고리즘적 공정성 연구 [HKRR18]에 기반을 두고, 의사난수성(pseudorandomness)에서의 구별 불가능성(indistinguishability) 논증 [GHK + 23, GH25]과도 밀접한 연관이 있습니다.
현재까지 통계적·온라인 학습 환경에서의 omniprediction에 관한 풍부한 연구가 진행되어 왔습니다 [GKR + 22, GHK + 23, HNRY23, GKR23, GJRR24, HTY25, DHI + 25, OKK25] 하지만, 기존 작업들은 거의 모두 이진 분류(레이블이 ({0,1})에 속함)만을 다루었습니다. 이는 실제 감독 학습이 다중 클래스 작업에 자주 사용된다는 점에서 매우 제한적인 가정입니다 [DDS + 09, MDP + 11, Den12]. 레이블이 (\partial\Delta_{k}\equiv[k])와 같이 고정된 상수 (k)개의 클래스를 갖는 경우조차도 omnipredictor의 적용 범위를 크게 넓혀줄 수 있습니다.
우리의 지식에 따르면, 다중 클래스 omniprediction 문제는 최근 [NRRX25, LRS25] 의 연구에서만 다루어졌습니다. 이 논문들은 경제학 문헌에서 영감을 받은 설정을 고려했으며, 여기서 비교자 패밀리 (\mathcal{C}) (행동 공간으로 해석)는 유한합니다. [NRRX25] 의 주요 결과(Theorem 6.5)는 좌표별로 독립적으로 분해되는 손실 (\ell)에만 적용됩니다. 반면 [LRS25] 의 Corollary 6은 보다 일반적인 다중 클래스 결과를 제공하지만, 역시 (\mathcal{C})가 유한하다는 가정 하에 샘플 복잡도가 (\tilde{O}(\varepsilon^{-4k-2}))라는 큰 오버헤드를 갖습니다(런타임 고려는 없음).
본 연구의 주된 동기는 이 격차를 메우는 것입니다. 즉, 이진 omniprediction에서 최첨단 수준에 버금가는 보장을 갖는 다중 클래스 omnipredictor를 설계하고자 합니다. 최근 이진 설정에서 샘플 복잡도와 런타임을 크게 개선한 사례가 있습니다. 예를 들어, 일반화 선형 모델(GLM) 환경에서 (\mathcal{C})가 유계 선형 예측기이고 (\mathcal{L})이 적절한 볼록 손실(식 (5) 참고)인 경우, [HTY25, OKK25] 는 (\tilde{O}(\varepsilon^{-2})) 샘플 복잡도를 갖는 엔드‑투‑엔드 효율 알고리즘을 제시했습니다. 특히 [OKK25] 는 임의의 ((\mathcal{C},\mathcal{L})) 쌍에 대해 이진 omniprediction을 온라인 학습 문제로 환원하는 일반화된 프레임워크를 제공했습니다.
우리의 다중 클래스 접근법은 바로 이 [OKK25] 프레임워크를 기반으로 합니다. [HTY25, OKK25] 와 이전 이진 연구들은 모두 [GHK + 23] 의 환원(Proposition 1)을 활용합니다. 이 환원은 (1)을 만족하려면 예측기 (p)가 다중 정확도(multi‑accuracy)(Definition 2)와 보정(calibration)(Definition 3)라는 두 가지 성질을 가져야 함을 보입니다. 직관적으로, 이 두 성질은 **예측기 (p(x))**가 **진실 예측 (p^{\star}(x):=\mathbb{E}[y\mid x])**에 대해 특정 ((\mathcal{C},\mathcal{L})) 쌍에 의해 유도된 통계적 검정을 통과한다는 것을 의미합니다.
다중 정확도와 보정을 각각 만족하는 다중 클래스 예측기를 학습하는 방법은 이미 잘 알려져 있습니다. 전자는 섹션 5.4에서, 후자는 [FV98] (또는 [MS10])의 고전적인 결과에 따라 온라인 설정에서는 (\tilde{O}(\varepsilon^{-(k+1)})) 단계, 통계적 설정에서는 (\tilde{O}(\varepsilon^{-(k+1)})) 샘플만에 달성할 수 있습니다. 그러나 두 성질을 동시에 만족시키는 방법은 아직 명확하지 않았습니다.
이진 경우에 [OKK25] 는 Blackwell 접근성(approachability) 기반의 보정 알고리즘 [ABH11]을 활용하고, 이를 다중 정확도까지 보장하도록 확장했습니다. 그들의 분석은 이진 손실에 특화된 여러 사실에 의존합니다. 예를 들어, **적절한 손실(proper loss)**에 대한 근사 기저(approximate basis)(Lemma 9)와 반평면 만족성 오라클(halfspace satisfiability oracle)(Algorithm 3) 등이 그것입니다. 안타깝게도 이러한 도구들을 (k>2) 클래스로 자연스럽게 확장하면 증명 자체가 실패합니다. 따라서 다중 클래스 환경을 다루기 위해서는 보다 강력한 프레임워크가 필요합니다.
동시 Blackwell 접근성(Simultaneous Blackwell Approachability)
우리의 시작점은 [OKK25] 알고리즘에서 핵심적인 기술 원시(primitive) 를 추출하고, 이를 보다 일반적인 조건 하에서 만족시키는 방법을 탐구하는 것입니다. 이는 섹션 3의 주요 내용이며, 여기서는 그 기법을 간략히 소개합니다.
Blackwell 접근성은 벡터값 게임에 대한 von Neumann 최소극대정리의 일반화입니다. 두 집합 (A,B)와 양선형 벡터값 함수 (v:A\times B\to H)가 주어지고, 목표 집합 (V\subseteq H)가 있을 때, 스칼라 경우와 달리 다음 두 명제가 동치가 아니다:
- 응답 만족성(response satisfiability): 모든 (b\in B)에 대해 어떤 (a\in A)가 존재해 (v(a,b)\in V)이다.
- 만족성(satisfiability): 어떤 (a\in A)가 존재해 모든 (b\in B)에 대해 (v(a,b)\in V)이다.
Blackwell 접근성은 “응답 만족성”이 성립하면 온라인으로 ({a_t}{t=1}^T)를 선택해 [ \lim{T\to\infty}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^T v(a_t,b_t)\in V ] 가 되도록 보장합니다. 이 전략은 보정(calibration) 알고리즘 설계와도 깊은 연관이 있습니다(예: [Fos99]).
문제 1에서는 동시 Blackwell 접근성을 정의합니다. 여기서는 (m)개의 벡터값 함수 (v^{(i)})와 목표 집합 (V^{(i)}) ((i\in[m]))가 주어집니다. 목표는 하나의 행동 시퀀스 ({a_t})를 선택해 모든 (i)에 대해 [ \lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^T v^{(i)}(a_t,b_t)\in V^{(i)} ] 가 되도록 하는 것입니다. 이 원시는 다중 정확도와 보정을 동시에 만족시키는 데 직접적으로 연결됩니다. 일반적인 방법으로는 각 ((v^{(i)},V^{(i)}))를 곱공간 (H^{(1)}\times\cdots\times H^{(m)})에 끌어올려 단일 Blackwell 접근성 문제로 변환할 수 있지만, 응답 만족성이라는 충분조건
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