양방향 주차 절차와 그 보편적 열거법

📝 Abstract

We introduce the class of bilateral parking procedures on the integer line. While cars try to park in the nearest available spot to their right in the classical case, we consider more general parking rules that allow cars to use the nearest available spot to their left. We show that for a natural subclass of local procedures, the number of corresponding parking functions of length $r$ is always equal to $(r+1)^{r-1} $. The setting can be extended to probabilistic procedures, in which the decision to park left or right is random. We finally describe how bilateral procedures can naturally be encoded by certain labeled binary forests, whose combinatorics shed light on several results from the literature.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 동기

   • 고전적인 주차 함수는 해시링, 비교불가능 파티션, 초평면 배열 등과 깊은 연관을 가지고 있어 조합론·대수학 양쪽에서 활발히 연구되어 왔다. 기존 연구는 주로 “오른쪽으로만 이동”하는 규칙에 국한되었으며, 이를 확장하는 시도는 드물다.
   • 저자들은 “양쪽으로 이동 가능”이라는 가장 직관적인 일반화를 통해 보편성(universality) 현상을 탐구한다는 점에서 새롭다. 이는 “지역성(locality)”이라는 제약을 두어 실제 물리적 모델과도 어느 정도 일치하도록 만든다.

2. 핵심 정의와 모델

   • 양방향 절차: 현재 차가 선호한 자리 (a_i) 가 이미 점유돼 있으면, 그 차는 가장 가까운 빈 자리를 왼쪽 또는 오른쪽 중 하나에서 선택한다. 선택은 절차에 따라 결정되며, 절차 자체는 함수 (P: \mathbb{Z}^* \to \text{Fin}(\mathbb{Z})) 로 기술된다.
   • 지역(local) 절차: (i) 이동 불변성(translation invariance) – 전체 선호열을 일정량 평행 이동시키면 결과도 동일하게 평행 이동한다. (ii) 블록 의존성 – 차가 주차할 블록(연속된 점유 구간) 내부에서의 결정은 그 블록에 실제로 주차한 차들의 선호열에만 의존한다.
   • 기억 없음(memoryless) 절차는 현재 점유 집합만을 보고 결정을 내리는 특수 경우이며, 대부분의 예시가 이 범주에 속한다.

3. 주요 정리와 증명 아이디어

   • Theorem 1.1: 모든 양방향·지역 절차 (P) 에 대해 (#\text{Park}_r(P) = (r+1)^{r-1}).
   • 증명은 Pollak’s cyclic argument 를 일반화한 것으로, 주차 과정을 원형(모듈러) 형태로 확장하고, 순환 이동에 대한 불변성을 이용해 “성공적인” 선호열이 정확히 ((r+1)^{r-1}) 개임을 보인다.
   • 이 접근법은 기존의 고전적 증명과 구조적으로 동일하지만, 좌·우 선택을 포함하는 새로운 전이 규칙을 허용하도록 설계되었다.

4. 확률적 확장

   • 좌·우 선택을 확률 (p) (왼쪽)와 (1-p) (오른쪽) 로 모델링한다. 각 선호열에 대한 성공 확률을 계산하면, remixed Eulerian numbers 와 동일한 형태가 나타난다(문헌

📄 Content

고전 주차 함수는 열거 조합론과 대수 조합론에서 중심적인 객체이다. 이들은 비교단 분할, 초평면 배열 등 다양한 구조와 연결되어 있다(예를 들어 설문조사 [17] 및 그 안의 참고문헌을 참조). 정수선 (\mathbb Z) 위에서 정의된 대응 주차 절차 (P_{\text{right}})는 원래는 기본적인 해싱 절차로 정의되었으며[10]을 참고한다.

정의와 기본 성질

(r)대의 자동차가 왼쪽부터 오른쪽으로 번호가 매겨진 (1,2,\dots ,r)번 주차공간이 있는 일방통행 도로에 주차하려고 한다고 하자. 자동차는 차례대로 도착하고, (i)번째 자동차는 선호하는 공간 (a_i)를 가지고 있다. 만약 그 공간이 비어 있으면 그곳에 주차하고, 그렇지 않으면 오른쪽으로 가장 가까운 비어 있는 공간에 주차한다.

((a_1,\dots ,a_r))이라는 순서를 **주차 함수(parking function)**라 부른다. 이는 모든 자동차가 결국 주차에 성공했을 때 성립한다. (r)대의 자동차에 대한 주차 함수의 개수는 간단한 식

[ (r+1)^{,r-1} ]

에 의해 주어진다[10].

다음과 같은 특징적인 판정법이 잘 알려져 있다.
[ (a_1,\dots ,a_r)\text{ 가 주차 함수 } \Longleftrightarrow \forall k\in{1,\dots ,r}:; |{i\mid 1\le a_i\le k}|\ge k . ]

이 기술은 (G)-주차 함수와 (u)-주차 함수 등 여러 일반화의 기반이 된다[17]. 최근에는 절차의 여러 요소를 바꾸어 다양한 변형이 연구되었다([3] 및 그 안의 참고문헌을 참고).

양방향(bilateral) 절차

본 논문에서는 “오른쪽 가장 가까운 빈 공간”이라는 규칙을 바꾸어 양방향 절차를 고려한다. 즉, 선호 공간이 이미 차지되어 있을 때 왼쪽으로 가장 가까운 빈 공간에 주차할 수도 있다. 이 때문에 해당 절차군을 bilateral라 부른다.

두 가지 예시 규칙을 먼저 소개한다. 여기서는 선호 공간이 이미 차지되어 있을 때 어디에 주차할지를 설명한다.

• (P_{\text{closest}}) : 오른쪽 가장 가까운 빈 공간이 (a_i)와의 거리(약한 의미)에서 왼쪽보다 가깝다면 오른쪽에 주차하고, 그렇지 않으면 왼쪽에 주차한다.
• (P_{\text{prime}}) : 왼쪽과 오른쪽 가장 가까운 빈 공간 사이에 현재까지 주차된 자동차 수가 소수이면 오른쪽에, 아니면 왼쪽에 주차한다.

일반적으로 우리는 주차 절차 (P)를 함수로서, 선호 단어 (a_1\cdots a_r)에 대해 점유된 공간들의 집합 (P(a_1\cdots a_r)\subset\mathbb Z)을 반환하도록 정의한다. 만일 (P(a_1\cdots a_r)={1,\dots ,r})이면 ((a_1,\dots ,a_r))을 (P)-주차 함수라 부른다. 양방향 절차는 위와 같은 함수에 대해 “왼쪽 혹은 오른쪽 중 하나를 선택한다”는 조건만을 추가하면 된다.

지역(local) 절차와 주요 정리

양방향 절차 중에서도 지역(local) 절차를 따로 구분한다. 직관적으로는 다음 두 가지 성질을 만족한다.

1. 이동 불변성(translation‑invariance) : 전체 공간을 일정한 정수만큼 평행 이동시켜도 절차의 결과가 동일하게 변한다. 즉, (\tau_k)라는 평행 이동 연산에 대해
   [ P(\tau_k(W))=\tau_k(P(W)) ] 가 성립한다.
2. 국소성(locality) : 어떤 자동차가 차지하려는 블록(연속된 점유 구간) 안에서 좌·우 선택은 그 블록 안에 이미 주차한 자동차들의 선호 정보만을 이용한다. 즉, 블록 외부의 정보는 영향을 주지 않는다.

이 두 조건을 동시에 만족하는 절차를 local bilateral 절차라 부른다.

그런 절차에 대해 다음과 같은 놀라운 열거 결과가 성립한다.

정리 1.1
(P)가 bilateral이면서 local인 경우, 길이 (r)인 (P)-주차 함수의 개수는 언제나
[ (r+1)^{,r-1} ]
와 같다.

특히, 고전 절차 (P_{\text{right}}), 위에서 소개한 (P_{\text{closest}})와 (P_{\text{prime}})는 물론, 무수히 많은 다른 절차에도 동일한 식이 적용된다. 이는 “이산적 보편성(discrete universality)”이라고 부를 수 있는 현상으로, 오직 지역적 조건만을 가정했을 때 동일한 공식이 보존된다는 의미다. 증명은 고전 경우에 쓰인 Pollak’s argument를 변형한 것으로, 원래 절차에서 유도된 **순환 절차(cyclic procedure)**를 이용한다.

확률적 확장

양방향 절차에 확률을 도입할 수도 있다. 즉, 좌·우 중 어느 쪽을 선택할지에 대해 각각 확률 (p_{\text{left}},p_{\text{right}})를 부여한다. 그러면 각 선호 단어는 일정 확률로 (P)-주차 함수가 된다. 특정 절차에 대해 이 확률들을 적절히 정규화하면 Vasu Tewari와 저자가 연구한 **재조합 오일러 수(remixed Eulerian numbers)**와 일치함을 확인할 수 있다[12]. 지역성 개념은 확률적 설정에도 그대로 적용되며, 정리 1.1의 확률 버전도 동일하게 성립한다.

이분 트리와 라벨링된 숲을 통한 이중화

조합론적 관점에서 보면, 양방향 절차는 라벨이 붙은 두 개의 숲(forest) 으로 자연스럽게 인코딩된다. 이 이중화는 원래 절차를 “올리기(lift)”하는 역할을 하며, 자동차가 주차한 순서를 기록하는 **결과 함수(outcome function)**와 직접 연결된다. 이를 통해 고전 경우에 알려진 여러 결과들을 다시 얻을 수 있다.

논문의 구성

1. 섹션 2 – 우리가 다룰 주차 절차 (P) 를 엄밀히 정의한다.
2. 섹션 3 – 양방향 절차와 지역 절차의 개념을 소개하고, 정리 1.1을 증명한다.
3. 섹션 4 – 확률적 버전의 절차를 정의하고, 앞서 언급한 오일러 수와의 관계를 설명한다.
4. 섹션 5 – 라벨이 붙은 숲을 이용한 이진 트리와의 연결을 제시한다.
5. 마지막 섹션 – 모델의 색칠(colored) 버전을 간략히 정의한다.

상세 정의와 기본 개념

2.1. 주차 절차

[ \operatorname{Fin}(\mathbb Z)={I\subset\mathbb Z\mid |I|<\infty} ]

를 (\mathbb Z)의 유한 부분집합들의 모임이라 하자.
주차 절차 (P)는 선호 단어 (a_1\cdots a_r\in\mathbb Z^{*})에 대해 점유된 공간들의 집합 (P(a_1\cdots a_r)\in\operatorname{Fin}(\mathbb Z))을 반환한다.

정의 2.2 (주차 절차)
함수 (P:\mathbb Z^{*}\to\operatorname{Fin}(\mathbb Z))가

1. (P(\varepsilon)=\varnothing) (빈 단어에 대해 빈 집합)
2. 임의의 (r\ge1)과 단어 (a_1\cdots a_r)에 대해 (|P(a_1\cdots a_r)|=r)
3. (i<r)이면 (a_i\notin P(a_1\cdots a_{i-1}))이면 (a_i\in P(a_1\cdots a_i))
   를 만족하면 주차 절차라 부른다.

조건 (2)는 “모든 자동차가 결국 주차한다”는 의미이며, (3)은 “선호 공간이 비어 있으면 바로 그곳에 주차한다”는 의미다.

2.2. 기억이 없는(memoryless) 절차

일반적인 절차는 현재까지의 전체 선호 순서에 의존할 수 있다. 기억이 없는 절차는 오직 현재 점유된 집합만을 이용한다. 이를 위해 함수

[ M_P:\operatorname{Fin}(\mathbb Z)\times\mathbb Z\to\mathbb Z ]

를 정의한다. (M_P(S,a))는 현재 점유 집합이 (S)이고, 새 자동차가 선호하는 위치가 (a)일 때 실제 주차되는 위치를 반환한다. 기억이 없는 절차는

[ P(a_1\cdots a_r)={M_P(\varnothing,a_1),,M_P({a_1},a_2),\dots} ]

와 같이 전개된다.

2.2.1. (P)-주차 함수

정의 2.6
주차 절차 (P)에 대해, 단어 (W)가 (P)-주차 함수라 함은
[ P(W)={1,2,\dots ,r} ]
를 만족하는 경우이다. 여기서 (r=|W|)이다.

고전 절차 (P_{\text{right}})에 대해 (#\operatorname{Park}r(P{\text{right}})=(r+1)^{,r-1})임을 잘 알려진 결과가 있다.

양방향 절차와 블록

집합 (S\subset\mathbb Z)가 주어지면, 블록(block) 은 연속된 정수 구간 ({t,t+1,\dots ,u}) 중 (S)에 포함되고, 더 이상 확장할 수 없는(포함 관계에 대해 최대) 구간을 말한다. 예를 들어 (S={2,3,5,6,7,8,9,12})이면 블록은 ({2,3},{5,6,7,8,9},{12})이다.

정의 2.7 (양방향 주차 절차)
절차 (P)가 양방향이라 함은 다음을 만족한다.
임의의 단어 (W)와 문자 (a)에 대해 (a\in P(W))라면, (a)가 속한 블록을 (I={t,\dots ,u})라 할 때
[ \operat

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