대각선 부분반군과 동형류의 수비교: 모든 유리수 α (0 α ≤ 1)를 실현하는 유한 반군의 구성

📝 Abstract

Given a semigroup $S $, a diagonal subsemigroup $ρ$ is defined to be a reflexive and compatible relation on $S $, i.e. a subsemigroup of the direct square $S\times S$ containing the diagonal $\{ (s,s)\colon s\in S\} $. When $S$ is finite, we define the DSC coefficient $χ(S)$ to be the ratio of the number of congruences to the number of diagonal subsemigroups. In a previous work we observed that $χ(S) = 1$ if and only if $S$ is a group. Here we show that for any rational $α$ with $0 < α\leq 1 $, there exists a semigroup with $χ(S) = α $. We do this by utilizing the Rees matrix construction and adapting the congruence classification of such semigroups to describe their diagonal subsemigroups.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 동기

   • 반군 이론에서 동형류는 구조를 이해하는 기본 도구이지만, 대각선 부분반군이라는 보다 일반적인 개념을 도입함으로써 “동형류가 아닌” 호환 관계들의 풍부함을 정량화한다.
   • (χ(S))는 “DSC(대각선 부분반군이 모두 동형류인) 정도”를 측정하는 지표로, 군과 비군 사이의 경계를 정밀하게 탐색할 수 있게 한다.

2. 핵심 아이디어

   • Rees 행렬 반군 (M

📄 Content

대수학에서 가장 기본적인 개념 중 하나는 동치관(동등관)이다.
반군집 (S)에 대하여, (S) 위의 동치관 (\rho)는 곱셈과 호환되는 동치관을 의미한다. 즉
[ (x,y),;(z,t)\in\rho;\Longrightarrow;(xz,,yt)\in\rho . ]
모든 동치관은 직접곱 (S\times S)의 부분반군집임을 쉽게 확인할 수 있다. 보다 일반적인 형태의 (S\times S)의 부분반군집을 대각선 부분반군집이라 한다. 이는 반군집의 곱셈과 호환되는 반사 관계이다. 이 주제에 관한 우리의 이전 논문[1]에서는 모든 대각선 부분반군집이 동치관인 반군집을 연구하였다. 이러한 반군집을 **DSC(Diagonal Subsemigroup is a Congruence)**라 부른다. 그 논문의 출발점은 다음과 같은 기본 관찰이다.

정리 1.1

(S)가 유한 반군집일 때, (S)가 DSC인 것과 (S)가 군인 것은 동치이다.

무한 반군집의 경우는 여러 면에서 더 흥미롭다. 주기군은 여전히 DSC이지만, 정수의 덧셈군은 DSC가 아니다. 현재까지는 무한 차수를 갖는 원소를 포함하는 DSC 군이 존재하는지는 알려져 있지 않다. 또한 [1]에서는 군이 아닌 DSC 반군집이 존재함을 보였다.

정리 1.1을 다음과 같이 다시 표현할 수 있다.
( \operatorname{Cong}(S) )를 (S) 위의 동치관들의 집합이라 하고, ( \operatorname{Diag}(S) )를 (S) 위의 대각선 부분반군집들의 집합이라 하자. (S)가 유한이면 두 집합 모두 유한하다. 우리는 이러한 (S)에 대해 DSC 계수를 다음과 같이 정의한다.

[ \chi(S)=\frac{|\operatorname{Cong}(S)|}{|\operatorname{Diag}(S)|}. ]

분명히 (\chi(S)\in\mathbb{Q}\cap(0,1])이며, 정리 1.1은 바로

[ \chi(S)=1;\Longleftrightarrow;S\text{는 군이다} ]

임을 말한다.

DSC 계수는 “반군집이 DSC에 얼마나 가까운가”를 측정하는 지표로 생각할 수 있다. 이제 (S)를 모든 유한 반군집으로 두고 (\chi(S))가 취할 수 있는 값을 조사하고자 한다. 본 논문의 주요 목표는 다음 정리를 증명하는 것이다.

정리 1.2

任意의 유리수 (\alpha\in\mathbb{Q}\cap(0,1])에 대하여, (\chi(S)=\alpha)인 유한 반군집 (S)가 존재한다.

이를 증명하기 위해 Rees 행렬 구성을 이용한다. 이 구성은 원래 Suschkewitsch가 완전 단순 반군집을 완전하게 기술하기 위해 도입하였다[9]. 여기서는 군 (G), 두 인덱스 집합 (I,\Lambda), 그리고 (\Lambda\times I) 행렬 (P=(p_{\lambda i})) (원소는 모두 (G)의 원소) 를 잡는다. Rees 행렬 반군집

[ M[G;I,\Lambda;P]=I\times G\times\Lambda ]

의 곱셈은

[ (i,g,\lambda)(j,h,\mu)=\bigl(i,;g,p_{\lambda j},h,;\mu\bigr) ]

으로 정의한다.

정리 1.2의 증명에 핵심이 되는 도구는 Rees 행렬 반군집 위의 대각선 부분반군집을 특성화하는 것이다. Preston[7]은 Rees 행렬 반군집 위의 동치관을 “군의 정규 부분군과 인덱스 집합 위의 동치관”으로 기술했으며, 여기서는 “정규 부분군과 인덱스 집합 위의 반사 관계”를 이용해 대각선 부분반군집을 기술한다. 단, 이때는 군이 DSC라는 전제가 필요하다.

논문의 구성

1. 제2절 – Rees 행렬 반군집 위의 대각선 부분반군집을 특성화한다.
2. 제3절 – 위의 특성을 이용해 Rees 행렬 반군집의 DSC 계수를 계산하고, 임의의 유리수 (\alpha\in(0,1])를 얻을 수 있음을 보인다.
3. 마지막 절 – Clifford 반군집에 대한 DSC 계수를 관찰하고, Rees 행렬 반군집 결과와 대비한다.

본 논문에서 필요한 반군집 이론은 최소한의 기본 개념만을 사용한다. 여기서는

[ \mathbb{N}={1,2,3,\dots},\qquad \mathbb{N}_0=\mathbb{N}\cup{0} ]

를 사용한다. 집합 (X)에 대해 대각선 관계는

[ \Delta_X={(x,x):x\in X} ]

라 하고, 부분집합 (\rho\subseteq X\times Y)에 대해 (\rho^{-1}={(y,x):(x,y)\in\rho}) 로 표기한다.

2. Rees 행렬 반군집 위의 대각선 부분반군집

(S=M[G;I,\Lambda;P])라 하자. 먼저 Preston이 제시한 동치관에 대한 삼중쌍 ((N,S,T))을 복습한다. 여기서

• (N)은 (G)의 정규 부분군,
• (S\subseteq I\times I), (T\subseteq\Lambda\times\Lambda)는 관계이며,

[ q_{\lambda\mu}^{ij}=p_{\lambda i},p_{\mu i}^{-1},p_{\mu j},p_{\lambda j}^{-1} ]

를 행렬 (P)의 추출이라 한다. 삼중쌍 ((N,S,T))가 연결(linked) 되려면 모든 (i,j\in I,;\lambda,\mu\in\Lambda)에 대해

[ (i,j)\in S,;(\lambda,\mu)\in T;\Longrightarrow;q_{\lambda\mu}^{ij}\in N ]

이 성립해야 한다. (S,T)가 각각 동치관이면 ((N,S,T))를 연결 동치삼중쌍이라 부른다.

동치관 (\rho)가 주어지면

[ N_\rho={g\in G:(i,g,\lambda)\rho(i,1,\lambda)\ \forall i,\lambda},\qquad \rho_I={(i,j):(i,g,\lambda)\rho(j,g,\lambda)\ \forall g,\lambda}, ]

[ \rho_\Lambda={(\lambda,\mu): (i,g,\lambda)\rho(i,g,\mu)\ \forall i,g} ]

를 정의한다. 반대로 삼중쌍 ((N,S,T))에 대해

[ (i,g,\lambda),\rho_{N,S,T},(j,h,\mu)\iff (i,j)\in S\ \text{and}\ (\lambda,\mu)\in T ]

로 관계를 만든다. Preston[7]은 다음을 증명한다.

정리 2.1
(\rho)가 동치관이면 ((N_\rho,\rho_I,\rho_\Lambda))는 연결 동치삼중쌍이며, 반대로 연결 동치삼중쌍 ((N,S,T))에 대해 (\rho_{N,S,T})는 동치관이다. 두 변환은 서로의 역이며, 동치격자 구조도 보존한다.

대각선 부분반군집에 대한 유사 정리

대각선 부분반군집을 다루기 위해서는 연결 반사삼중쌍 ((N,S,T))를 도입한다. 여기서 (S,T)는 단지 반사 관계(즉, ((x,x)\in S,T) for all (x))만을 요구한다. 또한 군 (G)가 DSC라는 가정이 필요하다.

보조정리 2.2
( \rho )가 대각선 부분반군집이면, 각 (H)-클래스 (H_{i\lambda}={(i,g,\lambda):g\in G})에 제한하면 동치관이 된다. 따라서

[ (i,g,\lambda)\rho(i,h,\lambda)\ \Longrightarrow\ (i,g^{-1},\lambda)\rho(i,1,\lambda). ]

이와 같은 성질을 이용해 다음을 얻는다.

보조정리 2.3
( \rho )가 대각선 부분반군집이면 ((N_\rho,\rho_I,\rho_\Lambda))는 연결 반사 삼중쌍이다.

위와 유사하게, 반사 삼중쌍 ((N,S,T))가 주어지면

[ \rho_{N,S,T} ]

는 대각선 부분반군집이 된다(증명은 Preston의 논증을 그대로 따라가면 된다).

결국 우리는 다음과 같은 정리를 얻는다.

정리 2.7
(S=M[G;I,\Lambda;P])가 DSC 군 (G) 위에 정의된 경우,
[ \rho\longleftrightarrow (N_\rho,\rho_I,\rho_\Lambda) ]
은 일대일 대응이며, 대각선 부분반군집과 연결 반사삼중쌍을 정확히 맞춘다.
특히, 유한 군은 모두 DSC이므로, 유한 Rees 행렬 반군집에 바로 적용된다.

3. DSC 계수의 계산

이 절에서는 위 정리를 이용해 DSC 계수 (\chi(S)) 를 구하고, 임의의 유리수 (\alpha)를 실현하는 방법을 제시한다.

우선 (S=M[G;I,\Lambda;P])가 유한이라고 가정한다.
[ \chi(S)=\frac{|\operatorname{Cong}(S)|}{|\operatorname{Diag}(S)|} =\frac{#{\text{연결 동치삼중쌍}}}{#{\text{연결 반사삼중쌍}}}. ]

여기서 “연결 동치삼중쌍”은 정리 2.1에 의해 동치관의 개수와 일대일 대응하고, “연결 반사삼중쌍”은 정리 2.7에 의해 대각선 부분반군집의 개수와 일대일 대응한다.

3.1 추출에 관한 기본 사실

(q_{\lambda\mu}^{ij})에 대해 다음 성질을 이용한다.

1. (q_{\lambda\mu}^{ij}=q_{\mu\lambda}^{ji}).
2. (q_{\lambda\mu}^{ii}=1).
3. (q_{\lambda\mu}^{i_0i_1},q_{\lambda\mu}^{i_1i_2}=q_{\lambda\

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