두 펄스 주기파의 장파장 불안정성: 해밀토니안 PDE에서의 새로운 스펙트럼 불안정 메커니즘

📝 Abstract

We consider quasilinear generalizations of the Korteweg-de Vries equation and dispersive perturbations of the Euler equations for compressible fluids, either in Lagrangian or in Eulerian coordinates. In particular, our framework includes hydrodynamic formulation of the nonlinear Schrödinger equations. The periodic waves we study exhibit on each period two pulses, one converging to a bright soliton and one converging to a dark soliton, when wavelength goes to infinity. We show that such waves, for sufficiently large periods, are spectrally unstable. To do so, we combine two approaches. The first one is to calculate the asymptotic expansion of the Hessian matrix of the action integral and concludes using arXiv:1505.01382 as in arXiv:1710.03936 . This shows instability when both limiting solitary waves are stable. The second approach studies the convergence of the spectrum when the period goes to infinity and is applied in remaining cases, when one of the solitary waves is unstable. To carry out the latter, we prove the convergence of an appropriate renormalization of the periodic Evans function as in arXiv:1802.02830 .

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 의의

• 주기파와 솔리톤의 연결 고리
  기존 연구(

📄 Content

주기적 이동파의 주기와 안정성/불안정성 기준에 관한 서론

주기적 이동파 가족이 비교적 큰 차원을 갖기 때문에, 이러한 안정성/불안정성 기준은 일반적으로 깔끔한 이분법을 제시하지 못한다. 이는 고정된 종단 상태(endstate)를 갖는 파동 가족이 속도에 의해 한 차원으로 매개되는 고립파(solitary wave)의 경우와는 강하게 대조된다. 고립파의 경우, 부시네스크(Boussinesq) 운동량의 2차 미분 부호가 바로 안정성/불안정성을 결정한다는 것이 널리 알려져 있다. 그러나 ([BMR20])에서 ([BMR16])을 따라 증명된 바와 같이, 특정 비대칭적(비정상적) 영역에서는 주기파의 안정성 복잡성을 어느 정도 감소시킬 수 있음을 기대할 수 있다.

([BMR16])에서는 큰 클래스의 해밀토니안 편미분방정식(Hamiltonian PDE)에서 주기적 이동파에 대한 몇 가지 안정성/불안정성 기준을 제시하였다. ([BMR20])의 목적은 이러한 기준이 두 가지 다른 극한 상황에서 어떻게 변하는지를 살펴보는 것이었다. 첫 번째는 조화극한(harmonic limit) 으로, 이는 일정한 상태(constant state) 주변에서 진폭이 작은 주기파를 의미한다. 두 번째는 솔리톤극한(solition limit) 으로, 이는 주기가 크게 늘어나면서 고립파에 수렴하는 주기파를 다룬다. 결과는 다음과 같다. 조화극한에서는 주기파가 언제나 궤도적으로(orbitally) 안정적이며, 솔리톤극한에서는 주기파가 그 극한 고립파와 동일한 안정성 특성을 가진다.

본 논문에서는 두 펄스(two‑pulse) 주기파라 불리는, 한 주기 안에 두 개의 서로 다른 고립파가 겹쳐 나타나는, 큰 주기를 갖는 주기파에 관심을 둔다. 각 펄스는 동일한 종단 상태를 공유한다. 우리는 이러한 파동이 언제나 스펙트럼적으로 불안정(spectrally unstable) 하다는 것을 보이고자 한다.

우리가 다루는 방정식 클래스에서는 파동 프로파일이 2차원 해밀토니안 미분방정식의 궤적(trajectory)과 일대일 대응한다. 따라서 파동 가족이 끝나는 방식은 위에서 언급한 세 가지 비대칭적(비정상적) 경우—([BMR20])에서 다룬 두 경우와 본 논문에서 다루는 경우—에 모두 포함된다.

우리가 증명하는 불안정성은 스펙트럼적 및 선형적(linear) 수준에서 성립하며, 동주기(co‑periodic)와 국소(localized) 섭동 모두에 대해 적용된다. 현재까지는 이러한 스펙트럼 불안정성을 비선형 불안정성으로 전이시키는 문제가, 우리가 다루는 준선형(quasilinear) 분산 PDE에 대해 크게 미해결 상태이다. 반면, 반선형(semilinear) 경우에서는 ([JLL19])의 분석을 통해 국소 섭동에 대한 비선형 궤도 불안정성을 기대할 수 있다. 그러나 파라볼릭 시스템에 대한 연구 ([JNRZ14])에 따르면, 공간 변조된(stability) 안정성이 국소 섭동에 대한 가장 정확한 안정성 개념으로 예상된다. 실제로 반선형 경우에도, 해밀토니안 시스템의 주기파에 대한 국소 섭동에 대한 비선형 안정성은 아직 충분히 해결되지 않은 문제이며, 최근의 중요한 진전은 ([BGdR25])에서 확인할 수 있다.

우리 결과의 절반은 ([BMR20])의 계산을 현재 비대칭적(비정상적) 영역에 맞게 수정(adapt) 함으로써 얻는다. 이 과정에서 두 고립파가 궤도적으로 안정적이라면, 충분히 큰 주기를 갖는 두‑펄스 파동은 스펙트럼적으로 불안정함을 보인다. 실제로 이는 부시네스크 운동량(Boussinesq momentum)의 2차 미분 합이 양수일 때(특히 두 미분이 모두 양수일 때) 성립한다. 이 결과의 근간은 ([BMR16])에서 제시한 동주기 불안정성 결과이다.

다른 절반은 변조 불안정성(modulational instability) 을 통해서는 얻을 수 없음을 강조한다. 변조 불안정성에 대한 입문서는 ([BHJ16])을 참고하면 된다. ([BMR20])의 저자들은 ([BNR14a])에서 도출된 변조 기준을 같은 비대칭적 영역에 적용해 보았으며(([BMR21]) 참조), 우리 경우에서는 변조 시스템이 쌍곡형(hyperbolic) 이므로 변조 불안정성이 존재하지 않는다(Remark 3.4.2).

따라서 우리는 직접적인 스펙트럼 섭동 분석을 수행한다. 이때 단일 펄스(solitary) 분석 ([Gar97, SS01, YZ19])을 참고한다. 구체적으로 ([YZ19])의 방법을 현재 비대칭적 상황에 맞게 변형하여, 주기적 Evans 함수의 적절히 재스케일된 버전이 두 고립파의 Evans 함수 곱으로 지수적 수렴한다는 것을 보인다. 이 결과를 이용하면, 두 고립파 중 하나라도 불안정하면, 충분히 큰 주기를 갖는 두‑펄스 파동 역시 스펙트럼적으로 불안정함을 결론짓는다.

후반부에서 다루는 상황은 직관적으로 이해하기 쉽다. 두 고립파가 서로 멀리 떨어져 겹쳐 있기 때문에, 각각의 고립파 불안정성이 자유롭게 발현될 여지가 있다. 반면, 두 고립파가 모두 안정적인 경우는 직관적으로 덜 명확하다. 한 가지 가능성은 각 고립파의 속도가 독립적으로 변하면서 원래의 동기화된(superposed) 구조가 깨지는 것이다.

논문의 구성

1. 서론

   • 일반적인 프레임워크 ([BNR14b, BMR16, BMR20])를 재정리하고, 주요 결과를 제시한다.

2. 제2절

   • ([BMR20])과 동일한 방식으로 작용(action) 함수의 비대칭적(비정상적) 전개(asymptotic expansion)를 수행한다.

3. 제3절

   • ([YZ19])와 동일한 방식으로 Evans 함수의 비대칭적 전개를 수행한다.

감사의 글

저자는 Sylvie Benzoni‑Gavage, Dmitry Pelinovsky, Björn de Rjik와의 흥미로운 토론에 감사를 표한다. 또한 지도교수인 Louise Gassot와 Miguel Rodrigues에게 본 연구와 박사학위 논문 전반에 걸친 지도에 대해 특별히 감사한다.

1. 문제 설정

우리는 ([BNR14b, BMR16, BMR20])에서 다룬 추상적인 시스템을 그대로 사용한다. 따라서 다음과 같은 해밀토니안 PDE를 고려한다.

[ \partial_t U = B,\delta H[U] ,\qquad U\in\mathbb{R}^N , ]

여기서 (B)는 대칭이며 비특이(singular)인 행렬이고, 해밀토니안 (H)는 (U)와 그 공간 미분 (U_x)에 의존한다. 기호 ([,\cdot,])는 이러한 의존성을 나타낸다. (\delta)는 오일러 연산자(Euler operator) 로서

[ \delta F[U] = \frac{\partial F}{\partial U} - \partial_x!\Bigl(\frac{\partial F}{\partial U_x}\Bigr) ]

로 정의된다.

1.1 구체적인 예시

• (N=1) 인 경우, 우리는 준선형(quasilinear) 일반화 Korteweg‑de Vries(KdV) 방정식을 다룬다.

[ \partial_t v + \partial_x!\bigl(f(v) + \kappa(v),v_{xx}\bigr)=0 . ]

• (N=2) 인 경우, Euler‑Korteweg 시스템을 고려한다. 이는 오일러 좌표(Eulerian coordinates) 로는

[ \begin{cases} \partial_t \rho + \partial_x(\rho u)=0,\[4pt] \partial_t(\rho u) + \partial_x!\bigl(\rho u^2 + p(\rho) - \kappa(\rho)\rho_{xx}\bigr)=0, \end{cases} ]

질량 라그랑지안 좌표(mass Lagrangian coordinates) 로는

[ \begin{cases} \partial_t v - \partial_y u =0,\[4pt] \partial_t u + \partial_y!\bigl(p(v) - \kappa(v) v_{yy}\bigr)=0 . \end{cases} ]

이들 방정식의 물리적 의미에 대해서는 ([Ben13, BMR16, BMR20])의 서론을 참고한다. 또한, 비선형 슈뢰딩거 방정식(Nonlinear Schrödinger equation) 의 유체형식도 이 프레임워크에 포함된다(관련 결과는 ([AR22]) 참조). Euler‑Korteweg 시스템의 좌표 변환에 관한 자세한 논의는 ([BMR16])의 §5.2를 참고한다.

1.2 가정 (Assumption 1)

우리는 다음과 같은 추상 시스템에 대해 가정한다.

• (N=1) : (U=v), (B=b\in\mathbb{R}^\ast), 해밀토니안은 (H[v]=E(v,v_x)).
• (N=2) : (U=(v,u)^{\mathsf T}), (B=\begin{pmatrix}0 & b\ b & 0\end{pmatrix}) ((b\neq0)), 그리고

[ H[v,u]=E(v,v_x)+I(u). ]

두 경우 모두 (E)는 (v_x)에 대해 2차 형태이며 (\kappa:=\partial_{v_x}E>0)이다. 또한 (N=2)인 경우 (I)는 (u)에 대해 2차 형태이며 (\tau:=\partial_u I>0)이다.

이 시스템은 보존법칙(conservation law)

[ \partial_t U + \partial_x\bigl(B,\delta H[U]\bigr)=0 ]

을 만족한다. 추가로 두 개의 보존량이 존재한다.

1. 시간 이동 대칭성에 의해 얻어지는 에너지 보존:

[ \frac{d}{dt}\int H[U],dx =

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