대칭 주기적 대수의 반복 변이와 그 순환성: “μᵢ” 변이의 차수 d‑2 정리

📝 Abstract

Following methods used by A. Dugas for investigating derived equivalent pairs of (weakly) symmetric algebras, we apply them in a specific situation, obtaining new deep results concerning iterated mutations of symmetric periodic algebras. More specifically, for any symmetric algebra $Λ $, and an arbitrary vertex $i$ of its Gabriel quiver, one can define mutation $μ_i(Λ)$ of $Λ$ at vertex $i$ via silting mutation of the stalk complex $\La $. Then $μ_i(Λ)$ is again symmetric, and we can iterate this process. We want to understand the order of $μ_i $, in case the vertex $i$ is $d $-periodic, i.e. the simple module $S_i$ associated to $i$ is periodic of period $d$ (with respect to the syzygy). The main result of this paper shows that then $μ_i$ has order $d-2 $, that is $μ_i^{d-2}(Λ)\congΛ$ (modulo socle), under some additional assumption on the (periodic) projective-injective resolution of $S_i $. Besides, we present briefly some consequences concerning arbitrary periodic vertex and give few sugestive examples showing that this property should hold in general, i.e. without restrictions on the periodic projective resolution.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 동기

• 대칭 대수와 주기성: 대칭 대수는 비퇴화된 대칭 이중선형형식을 갖는 유한 차원 대수이며, 주기적 대수는 자체 이중대수(Λ‑bimodule)로서 유한 주기를 갖는다. 이러한 두 성질을 동시에 만족하는 대수는 구조가 매우 제한적이면서도 풍부한 예시(예: preprojective algebra, weighted surface algebra)를 제공한다.
• 실링 변이와 파생동형: 실링 변이는 삼각범주(Kᵇ(Λ)) 안에서 tilting‑complex를 생성·변형하는 강력한 도구이며, Rickard의 이론에 의해 변이 후 얻어지는 대수는 원래 대수와 파생동형이다. 따라서 대칭·주기성을 보존한다는 점이 핵심이다.

2. 주요 정의와 설정

3. 핵심 정리 (Main Theorem)

정리: Λ = Pᵢ ⊕ Q (Pᵢ는 정점 i에 대응하는 프로젝트ive)이고, Sᵢ 가 d‑주기이며 추가적인 “add‑Q‑periodic” 가정(프로젝트해석이 Q‑덧셈으로 닫힌 형태)이 만족될 때
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📄 Content

전체 논문에서 “대수(algebra)”라 함은 대수적으로 닫힌 체 (K) 위의 기본 유한 차원 대수를 의미한다. 편의를 위해 모든 대수가 연결되어 있다고 가정한다. (\operatorname{mod}\Lambda) 를 유한 생성 오른쪽 (\Lambda)-모듈들의 범주라고 하고, (\operatorname{proj}\Lambda) 를 그 안의 사영 모듈들로 이루어진 전완 부범주라고 하자. 모든 대수는 프레젠테이션을 갖는다. 즉, 우리는 동형사상

[ \Lambda ;\cong; KQ/I ]

가 존재함을 안다. 여기서 (KQ) 는 쿼버 (Q=(Q_{0},Q_{1},s,t)) 의 경로 대수이며, (I) 는 관계(relations) 라 불리는, 공통된 시작점과 끝점을 갖는 길이 (\ge 2) 인 경로들의 선형 결합으로 생성되는 유한 개의 원소들로 만든 아이디얼이다(자세한 내용은 §2 참고). 쿼버 (Q) 는 꼭짓점의 순열을 제외하고는 유일하게 정해지며, 이를 (\Lambda) 의 가브리엘 쿼버(Gabriel quiver) (Q_{\Lambda}) 라 부른다.

[ \Lambda = KQ/I \quad (Q=Q_{\Lambda}) ]

라 두면, 우리는 원시 아이디empotent들의 완전한 집합

[ e_{i};(i\in Q_{0}={1,\dots ,n}) ]

을 갖는다. 이들은

[ \Lambda = e_{1}\Lambda ;\oplus;\cdots;\oplus;e_{n}\Lambda ]

라는 직접합 분해를 유도하고, 각 (e_{i}\Lambda) 를 비가역 사영 모듈 (P_{i}) 라 한다.

대칭적으로,

[ D(\Lambda)=D(\Lambda e_{1});\oplus;\cdots;\oplus;D(\Lambda e_{n}) ]

는 모든 비가역 주입 모듈

[ I_{i}=D(\Lambda e_{i})\qquad (i\in Q_{0}) ]

의 직접합이며, 여기서 (D=\operatorname{Hom}_{K}(-,K):\operatorname{mod}\Lambda^{\operatorname{op}}\to\operatorname{mod}\Lambda) 는 표준 쌍대함수이다.

(S_{i}=P_{i}/\operatorname{rad}P_{i}\cong\operatorname{soc}(I_{i})) 를 단순 모듈이라 하고, 이는 꼭짓점 (i) 에 대응한다.

자기주입 대수(self‑injective algebra)

(\Lambda) 가 자기주입이라 함은 (\Lambda) 가 (\Lambda)-모듈로서 주입인 경우, 혹은 동치적으로 (\operatorname{proj}\Lambda) 와 (\operatorname{inj}\Lambda) 가 일치하는 경우를 말한다. 이때는 Nakayama 순열 (\nu) 가 존재하여

[ I_{i}\cong P_{\nu(i)}\qquad (i\in Q_{0}) ]

이며, 따라서 (P_{i}) 의 꼭대기(top) (S_{i}) 가 (P_{\nu(i)}) 의 바닥(socle) 이다.

특히 (\Lambda) 가 대칭 대수(symmetric algebra) 일 때는,

[ (-,-):\Lambda\times\Lambda\longrightarrow K ]

라는 비퇴화 대칭 (K)-양형이 존재한다. 이 경우 Nakayama 순열은 항등 순열이 되므로

[ I_{i}\cong P_{i},\qquad \operatorname{soc}(P_{i})=\operatorname{soc}(I_{i})=S_{i} ]

가 된다. 본 논문에서는 대칭 대수에 초점을 맞추지만, 결과들은 약대칭(almost symmetric, 즉 모든 (i) 에 대해 (P_{i}\cong I_{i}) 인 경우) 에도 그대로 적용된다.

두 자기주입 대수 (\Lambda,\Lambda’) 가 바닥 동형(socle‑equivalent) 라 함은

[ \Lambda/\operatorname{soc}(\Lambda);\cong;\Lambda’/\operatorname{soc}(\Lambda’) ]

인 경우이며, 이를 (\Lambda\sim\Lambda’) 로 표기한다. 대칭 대수의 경우, 각 (\operatorname{soc}(P_{i})) 은 원소 (\omega\in e_{i}\Lambda e_{i}) 로 생성되며, (\Lambda\sim\Lambda’) 은 두 대수가 같은 프레젠테이션을 갖되, (e_{i}\Lambda e_{i}) 와 (e_{i}\Lambda’ e_{i}) 안의 관계가 (\lambda\omega) ((\lambda\in K)) 만큼 차이 나는 경우와 동치이다.

주기 대수(periodic algebra)

모듈 (X\in\operatorname{mod}\Lambda) 에 대해 시그마(시조) (\Omega(X)) 는 임의의 사영 커버 (P\to X) 의 핵이다. (X) 가 주기적(periodic) 이라 함은 어떤 (d\ge1) 에 대해

[ \Omega^{d}(X)\cong X ]

가 되는 경우이며, 최소의 그런 (d) 를 주기(period) 라 한다. (X) 가 (d)-주기적이면 “(d)-주기” 라고도 부른다.

주기 대수란 (\Lambda) 가 (\Lambda)-양측 모듈(또는 동치적으로 (\Lambda^{\operatorname{op}}\otimes_{K}\Lambda) 위의 모듈) 로서 주기적인 경우를 말한다. 주기 대수 (\Lambda) 가 주기 (d) 를 가지면, (\operatorname{mod}\Lambda) 의 모든 비사영 모듈은 주기적이며 그 주기는 (\Lambda) 의 주기의 약수이다([21, Theorem IV.11.19]). 특히, [15] 의 결과에 따르면 주기 대수의 모든 단순 모듈은 주기적이므로, 주기 대수는 반드시 자기주입이다.

실링(silting) 복합과 변이(mutation)

(\Lambda) 에 대해 (\mathsf{K}^{b}\Lambda) 를 (\operatorname{proj}\Lambda) 에 속하는 결합(complex)들의 호모토피 범주라 하자. 이는 좌이동(shift) ((-)[1]) 로 정의되는 삼각범주이다([16]).

복합 (T\in\mathsf{K}^{b}\Lambda) 가 실링(silting) 이라 함은

1. (T) 가 (\mathsf{K}^{b}\Lambda) 를 생성하고,
2. 모든 양의 이동 (T[i];(i>0)) 로부터의 비영(非零) 사상 (\operatorname{Hom}_{\mathsf{K}^{b}\Lambda}(T,T[i])=0) 이다.

(T) 가 기본(basic) 이라 함은 서로 동형이 아닌 비가역 복합들의 직접합으로만 이루어졌다는 뜻이다.

기본 실링 복합 (T=X\oplus Y) 에 대해, (X) 에 대한 좌 add(Y)-근사(left add(Y)-approximation)

[ f:X\longrightarrow Y' ]

와 삼각

[ X \xrightarrow{f} Y’ \longrightarrow X’ \longrightarrow X[1] ]

을 이용해 변이 (\mu_{X}(T)=X’\oplus Y) 를 정의한다. (X) 가 비가역이면 이를 불가역 변이(irreducible mutation) 라 부른다.

대칭 대수 (\Lambda) 에서는 모든 실링 복합이 틸팅(tilting) 복합과 일치한다(즉, (\operatorname{Hom}(T,T[i])=0) 가 모든 (i\neq0) 에 대해 성립한다). 따라서 (\Lambda=KQ/I) 가 대칭이면, 각 꼭짓점 (i\in Q_{0}) 에 대해

[ \mu_{P_{i}}(\Lambda) ]

라는 불가역 변이를 수행할 수 있다. 이 변이 복합은 틸팅 복합이므로, 리카드(Rickard)의 정리([18])에 의해

[ \mu_{i}(\Lambda):=\operatorname{End}{\mathsf{K}^{b}\Lambda}\bigl(\mu{P_{i}}(\Lambda)\bigr) ]

는 (\Lambda) 와 파생동형(derived‑equivalent) 이며, 따라서 다시 대칭 대수가 된다. 파생동형은 주기성도 보존하므로, (\Lambda) 가 주기적이면 (\mu_{i}(\Lambda)) 역시 주기적이다.

이러한 변이들을 반복 적용해 얻어지는 모든 대수들의 동형류를 변이 클래스 (\mu^{\bullet}(\Lambda)) 라 부른다. 본 논문에서는 특히 프리프로젝티브(preprojective) 대수 의 경우, 변이 클래스가 바로 바닥 동형 클래스와 일치함을 보인다(Corollary 2).

주요 정리 (Main Theorem)

고정된 꼭짓점 (i) 에 대해 (\Lambda) 를 반복 변이

[ \mu_{i}^{k}(\Lambda);(k\ge1) ]

한다면, 단순 모듈 (S_{i}=P_{i}/\operatorname{rad}P_{i}) 가 (d)-주기적일 때 (\mu_{i}^{k}(\Lambda)) 의 거동을 이해하고자 한다.

주요 정리는 다음과 같다.

정리. (\Lambda = P_{i}\oplus Q) 라 하고, 모든 모듈
[ P_{0}=P_{i},;P_{1},\dots ,P_{d-1} ]
가 (Q)‑additive(즉, (\operatorname{add}Q) 에 속)이며,
[ 0\longrightarrow P_{d}\xrightarrow{g_{d-1}}

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