Riesz 잡음이 가미된 확률 편미분 방정식에 대한 지수 적분법의 강수렴 분석

📝 Abstract

We present and study an explicit exponential integrator for parabolic SPDEs in any dimension driven by a Gaussian noise which is white in time and with spatial correlation given by a Riesz kernel. Under assumptions on the coefficients of the SPDE, we prove strong error bounds and exhibit how the rate of convergence depends on the exponent in the Riesz kernel. Finally, numerical experiments in spatial dimensions $1$ and $2$ are provided in order to confirm our convergence results.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 동기

• SPDE 수치 해석은 1차원에서 강수렴 결과가 풍부히 축적돼 왔으나, 다차원(특히 random field 설정)에서는 아직 체계적인 이론이 부족하다.
• Riesz 잡음은 공간적 장거리 상관을 모델링하는 대표적인 커널로, α ∈ (0, 2∧d/2) 구간에서 정의된다. 이 잡음에 대한 수치 스키마는 기존에 Euler‑Maruyama 기반 방법만이 다루어졌으며, 시간 스텝 제한(CFL)이나 암시적 스키마의 구현 복잡도가 문제였다.

2. 주요 기여

📄 Content

수치 스키마의 수렴성 분석에 관한 서론 (한국어 번역)

수치 스키마가 확률 편미분 방정식(SPDE) 해에 수렴한다는 분석은 선구적인 논문 [32]에서 시작되었습니다. 해당 논문에서 저자들은 구간 ((0,1)^{d}) 위에 정의된 비선형 항을 갖는 확률적 열 방정식에 대한 암시적 수치 스키마가 가산 백색 잡음에 의해 구동되는 경우, 확률적으로 수렴함을 보였습니다. 특히 1차원 파라볼릭 SPDE에 대한 (강) 수렴성 이론은 현재 잘 정립되어 있으며, 관련 문헌으로는 예를 들어 [49,31,54,28,39,35,44,3,62,5,22,50,51,61,59,48,24,9,10,30,53,8,29,16,57] 등을 들 수 있습니다.

다차원 무작위 장 설정으로의 확장

1차원 경우를 넘어 무작위 장(random field) 설정에 초점을 맞추면, 차원이 1보다 큰 경우에 대한 SPDE 수치 방법의 수렴 결과는 아직 충분히 제시되지 않았습니다. 포괄적인 목록은 아니지만, 관심 있는 독자는 [12,51,63]을 참고할 수 있습니다. 실제로 본 논문에서 제시하는 결과는 [51]에서 얻은 결과와 밀접한 관련이 있습니다. 보다 구체적으로, [51]에서는 파라미터 (\alpha\in(0,2]^{d}) 를 갖는 리즈 잡음에 의해 구동되는 다음 반선형 확률적 열 방정식의 명시적·암시적(반) 이산화 스키마의 수렴 속도를 연구했습니다.

[ \begin{cases} \partial_{t}u(t,x)=\Delta u(t,x)+b(t,x,u(t,x))+\sigma(t,x,u(t,x))\dot{F}{\alpha}(t,x),\[4pt] u(0,x)=u{0}(x),\qquad x\in(0,1)^{d}, \end{cases} \tag{1} ]

여기서 (\Delta)는 ((0,1)^{d}) 위의 라플라시안(디리클레 경계조건)이며, (F_{\alpha})는 시간에 대해 백색이며 공간 상관은 리즈 커널을 갖는 가우시안 잡음(정확한 정의는 §2.2)입니다. 초기 조건 (u_{0})는 ((0,1)^{d}) 위의 연속 함수이고, 비선형 항 (b,\sigma)는 §2.4에 명시된 조건을 만족합니다.

본 연구의 목표와 주요 기여

본 논문의 주요 목적은 위 (1)식에 대한 명시적 확률적 지수 적분기법(stochastic exponential integrator)의 강한 수렴률을 분석하는 것입니다. 주요 기여는 두 가지로 요약됩니다.

1. 강한 수렴률의 정밀한 추정
   우리는 지수 적분기법의 강한 수렴률이

   [ \gamma = \frac{1}{2}-\frac{\alpha}{4} ]

   임을 증명합니다(정확한 명제는 Theorem 8). 이 수렴률은 최적이며, 이는 (1)식 해 (u)의 시간 정규성(time regularity)과 일치합니다(Prop. 7). 또한, 이 결과는 [51]에서 다룬 명시적·암시적 Euler‑Maruyama 스키마의 수렴률과 동일합니다. 더욱이, 우리의 오차 추정은 시간·공간 전역에 대해 균등하게(식 (35)) 제공되며, 초기 조건이 연속 함수라는 최소 가정만을 필요로 합니다.

   지수 적분기법은 두 가지 실질적인 장점을 가집니다. 첫째, 명시적 Euler‑Maruyama 스키마에서 발생하는 CFL 조건에 얽매이지 않습니다. 둘째, 암시적 Euler‑Maruyama 스키마에 비해 구현이 간단합니다(섹션 5의 수치 실험을 참고).

2. 다차원(특히 (d=2))에서의 수치 검증
   우리는 차원 (d=1) 및 (d=2)에서 이론적으로 도출된 강한 수렴률을 수치적으로 확인합니다(섹션 5). 현재까지 무작위 장 설정에서 차원 2에 대한 이러한 수치 결과를 제시한 문헌은 존재하지 않는 것으로 알고 있습니다.

관련 연구와 배경

지수 적분기법은 결정론적 ODE·PDE 수치 해석에서 오랜 역사를 가지고 있으며, 이에 대한 종합적인 리뷰는 [36]을 참고하면 됩니다. SPDE 분야에서의 적용 사례도 다수 존재합니다(예: [38,43,37,14,6,7,42,33] 등). 특히, 1차원 백색 잡음에 의해 구동되는 열 방정식에 대한 연구는 [3]에서 다루었으며, 파동 방정식에 대한 연구는 [19,60,58,20,2,55,18,21,46,11]에, 확률적 슈뢰딩거 방정식에 대한 연구는 [52,17,1,34,41,15,23]에 각각 수록되어 있습니다.

주요 증명 전략

Theorem 8의 증명은 두 가지 핵심 요소에 기반합니다. 첫째, 리즈 잡음에 대한 확률 적분의 기존 추정식을 활용합니다. 여기서는 Dalang의 선구적인 논문 [25]에서 제시된 이론을, 우리와 같이 유계 영역 ((0,1)^{d})에서 정의된 SPDE에 맞게 변형합니다. 둘째, 라플라시안에 대한 그린 함수 (G_{d})의 정밀한 추정이 필요합니다. 구체적으로는, Dirichlet 경계조건을 갖는 열 방정식의 그린 함수에 대한 여러 보조 정리(Lemmas 3, 4)를 증명하고, 이를 메인 정리의 증명 전반에 걸쳐 정교하게 활용합니다. 이러한 추정은 (F_{\alpha})의 공간 공분산에 의해 정의된 힐베르트 공간에서의 (G_{d})의 노름을 포함하며, 기존 문헌 [51]에서는 간략히 언급만 되었으나, 본 논문 부록 A에서 모든 세부 증명을 제공했습니다.

논문의 구성

• §2: 전역 기호와 기본 설정을 소개하고, 리즈 잡음 (F_{\alpha})와 그에 대한 확률 적분, 그린 함수 (G_{d})의 성질, 그리고 비선형 항 (b,\sigma)에 대한 가정을 제시합니다.
• §3: (1)식의 약해 해(mild solution)를 정의하고, 존재·유일성 및 기본적인 모멘트 경계와 시간‑호lder 정규성을 증명합니다(Prop. 6, 7).
• §4: 연속시간 형태의 확률적 지수 적분기법을 제시하고, 메인 결과인 Theorem 8을 기술합니다.
• §5: 차원 (d=1,2)에서의 수치 실험을 통해 이론적 수렴률과 계산 비용을 검증합니다.
• §6: Theorem 8의 상세 증명을 전개합니다.
• 부록 A: 그린 함수 (G_{d})에 대한 모든 기술적 추정의 증명을 제공하며, 부록 B·C에서는 차원 1·2에서 잡음 공분산 행렬을 구현하는 구체적인 방법을 설명합니다.

2. 기본 기호와 설정

2.1 기호 정의

(Q:=(0,1)^{d}) 를 기본 공간으로 두고, (L^{2}(Q)) 를 실수값 제곱 적분 가능 함수들의 공간이라 하자. (D(Q)) 는 (Q) 위에서 정의된 무한히 미분 가능한 함수들의 집합이다.

라플라시안 (\Delta) 는 (Q) 위에서 동차 디리클레 경계조건을 갖는 연산자이며, 고유값·고유함수는 다음과 같이 전개된다.
[ \phi_{k}(x)=\prod_{j=1}^{d}\sqrt{2}\sin(k_{j}\pi x_{j}),\qquad k\in\mathbb{N}^{d}, ] ({\phi_{k}}{k\in\mathbb{N}^{d}}) 은 (L^{2}(Q)) 의 완전 정규 직교계(ONB)이며, (\Delta\phi{k}= -|k|^{2}\pi^{2}\phi_{k}) 를 만족한다.

확률공간 ((\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})) 를 고정하고, (\mathbb{E}) 를 기대값 연산자로 둔다. 임의의 실수값 확률변수 (X) 에 대해 (|X|_{p}:=(\mathbb{E}|X|^{p})^{1/p}) 로 표기한다.

2.2 리즈 잡음 (F_{\alpha}) 와 확률 적분

(\alpha\in(0,2]^{d}) 를 고정하고, 내부곱 (\langle\cdot,\cdot\rangle_{\alpha}) 와 노름 (|\cdot|{\alpha}) 를 다음과 같이 정의한다.
[ \langle\varphi,\psi\rangle{\alpha}:=\int_{\mathbb{R}^{d}}\int_{\mathbb{R}^{d}}\varphi(x)\psi(y),|x-y|^{-\alpha},dx,dy,\qquad |\varphi|{\alpha}:=\langle\varphi,\varphi\rangle{\alpha}^{1/2}. ]

위 내부곱에 의해 정의된 힐베르트 공간을
[ \mathcal{H}{\alpha}:= \overline{C{c}^{\infty}(\mathbb{R}^{d})}^{|\cdot|_{\alpha}} ]
라 하자.

({F_{\alpha}(t,\varphi);,t\ge0,\ \varphi\in\mathcal{H}{\alpha}}) 은 평균 0, 공분산
[ \mathbb{E}\big[F{\alpha}(t,\varphi)F_{\alpha}(s,\psi)\big]= (t\wedge s),\langle\varphi,\psi\rangle_{\alpha} ]
을 갖는 가우시안 랜덤 필드이며, 이를 리즈 잡음이라 부른다.

Walsh‑Dalang 의미에서의 확률 적분은 다음과 같이 정의된다.
임의의 예측 가능 과정 (X:[0,T]\times Q\times\Omega\to\mathbb{R}) 가
[ \int_{0}^{T}!!\int_{Q}!!\int_{Q}\mathbb{E}\big[|X(t,x)X(t,y)|\big],|x-y|^{-\alpha},dx,dy,dt<\infty ]
을 만족하면,
[ \int_{0}^{T}!!\int_{Q} X(t,x),F_{\alpha}(dt,dx) ]
가 정의된다.

2.3 열 커널 (G_{d}) 의 성질

(G_{d}(t,x,y)) 는 Dirichlet 경계조건을 갖는 열 방정식의 그린 함수이다. 주요 추정식은 다음과 같다.

1. 핵심 상한
   [ 0\le G_{d}(t,x,y)\le C,t^{-d/2}\exp!\Big(-c\frac{|x-y

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