일반화된 Reedy 도표와 트라이브 구조: 일반화된 역카테고리 위의 피브레이트 도표에 대한 새로운 접근

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📝 Abstract

Starting from a generalized Reedy category $R$ satisfying a simple condition, we construct an absolutely dense functor $\mathbf{D}_R \to R$ with domain a strict Reedy category. In the case of a generalized inverse category $R $, and given any tribe $\mathcal{T} $, we leverage this construction to provide a tribe structure on a subcategory of fibrant diagrams in $\mathcal{T}^R $.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 동기

• 모델 카테고리와 Reedy 구조: 전통적인 Reedy 카테고리는 프로젝트·인젝티브 모델 구조와 달리 “Reedy 모델 구조”를 제공한다. 이는 특히 피브레이션 카테고리(예: fibration category)에서 도표들의 피브레이트성을 정의하는 데 유용하다.
• 트라이브(Tribe): Voevodsky의 모델로부터 유도된 구조로, 동형 사상과 피브레이션, anodyne 사상을 동시에 만족한다. 트라이브 위에 도표 카테고리를 올리는 작업은 아직 역카테고리(전통적인 Reedy) 경우에만 체계화돼 있었다.
• 일반화된 Reedy 카테고리: Cisinski와 Berger–Moerdijk이 제시한 일반화된 Reedy 카테고리는 비동형(isomorphism)도 허용해 보다 풍부한 예(예: 대칭 큐브 카테고리)를 포함한다.

2. 핵심 구성 요소

2.1. 절대 조밀성 증명

• Ada–Marmolejo 기준을 이용해, 임의의 사상 (f:x\to y) 에 대해 (p)-factorization category가 비공허하고 연결됨을 보인다.
• 이 과정에서 “free” isomorphism 과 (R_0) 의 리프팅을 핵심적으로 활용한다.

2.2. (\mathbf{D}_R) 의 Reedy 구조

• 객체의 차수는 ( \deg(y)-\deg(x)+k) 로 정의 ( (k=0) 혹은 (1) ).
• ( \mathbf{D}_R^{+}) 와 ( \mathbf{D}_R^{-}) 를 각각 “증가”와 “감소” 사상으로 구분하고, 유일한 분해(factorization) 를 보임으로 Reedy axioms 를 만족한다.

2.3. 트라이브 구조 전이

• Theorem 2.1 (HV19) 를 모델 카테고리 대신 트라이브에 그대로 적용한다. 핵심은
  • 전치함수 (p^*) 가 Reedy 피브레이션을 보존,
  • 점별 anodyne 사상이 그대로 유지,
  • 한계와 푸시아웃이 트라이브의 기본 연산과 호환됨.
• Proposition 2.2 와 2.4 를 통해 (\pi)-트라이브(내부 곱을 갖는 트라이브) 구조까지 전이한다.

3. 주요 기여

1. 절대 조밀한 사상 (p) 의 일반적 구성

   • 기존에는 특정 예(예: 카테고리 of cubes) 에서만 알려졌던 절대 조밀성을, 일반적인 일반화된 Reedy 카테고리 전반에 적용 가능하도록 일반화.

2. 트라이브 위의 피브레이트 도표 카테고리 구축

   • 역카테고리(전통 Reedy)에서만 가능했던 트라이브 구조를 일반화된 역카테고리까지 확장. 이는 대칭 큐브, 그룹 행동 등 비동형이 풍부한 상황에 적용 가능하게 만든다.

3. (\pi)-트라이브 구조 보존

   • 내부 곱(Π) 연산을 보존함으로써, 형식적 고차원 타입 이론(HoTT)에서 요구되는 함수형 구조를 그대로 유지한다.

4. 구체적 예시 제공

   • 그룹 G 를 한 객체 카테고리로 잡아, (\mathbf{D}_G) 를 직접 계산하고, ( \mathcal{T}^G) 에서의 트라이브 구조를 설명함으로 실용성을 강조.

4. 비판적 검토

5. 향후 연구 방향

1. 무한 차수/무한 동형 허용

   • 현재 가정은 “각 차수당 유한 객체·동형”이다. 이를 완화하고, locally presentable 혹은 accessible Reedy 구조로 일반화하는 연구가 필요.

2. HoTT와의 직접 연결

   • (\pi)-트라이브 구조를 이용해 형식적 고차원 유형(higher inductive types, univalence) 모델을 구축하고, 정규화(normalization) 결과와 연결하는 작업.

3. 컴퓨터 구현

   • Coq/Agda 플러그인 형태로 (\mathbf{D}_R) 와 (p^*) 를 자동 생성하고, 트라이브 위의 도표를 다루는 라이브러리를 개발.

4. 다른 대칭 구조와의 비교

   • 대칭 큐브 카테고리 외에도 다중 사다리꼴(lattice) 카테고리, 다중 그래프 카테고리 등에서 일반화된 Reedy 구조를 적용해 볼 수 있다.

5. 동형성 이론과의 연계

   • 절대 조밀성은 dense functor 와 Kan extension 이론에서 중요한 역할을 한다. 이를 (∞,1)-카테고리 혹은 (∞,2)-카테고리 수준으로 끌어올려, higher categorical 트라이브 구조를 탐구할 여지가 있다.

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📄 Content

번역 (한국어, 최소 2000자)

서론

조합론적 모델 범주 ( \mathcal{M} )와 임의의 작은 범주 ( C )가 주어지면, ( \mathcal{M}^{C} ) 위의 프로젝티브 모델 구조와 인젝티브 모델 구조가 모두 존재한다. 만일 ( C )가 레디(Reedy) 범주라면, 일반적으로 앞의 두 구조와는 다른 레디 모델 구조가 존재한다. 이 구조는 ( \mathcal{M} )가 조합론적이라는 가정을 버려도 성립한다.

파이버레이션 범주와 레디 구조

파이버레이션 범주 ( \mathcal{F} )에 대해서는 상황이 약간 다르다.
( \mathcal{F} )가 주어지면, ( C )-형태의 다이어그램 범주 ( \mathcal{F}^{C} )에 “자연스러운” 파이버레이션 범주 구조를 부여하는 가장 설득력 있는 방법은 레디 모델 구조이다. 여기서 ( C )가 역(inverse) 범주일 때 레디 모델 구조가 그대로 적용되어 레디 파이버레이트(diagram) 를 정의하고, 이들 객체들 사이에서 파이버레이션 범주의 공리들을 만족하도록 사상들을 적절히 분해할 수 있다.

( C )가 직접(direct) 범주라는 가정을 하지 않더라도, ( \mathcal{F}^{C} )에 점별(pointwise) 파이버레이션과 점별 약등사를 취하는 파이버레이션 범주 구조를 부여할 수 있다. 이는 [Rad06, Theorem 9.5.5]에서 증명되었으며, 여기서는 (\Delta’) (단순체 범주 (\Delta) 안의 삽입 사상들만을 포함하는 직접 범주) 위의 레디 파이버레이션 구조를 이용한다.

또 다른 접근법으로는 [Cis10, Théorème 6.17]에 나와 있는 (\tau)-파이버레이트 다이어그램의 부분범주에 파이버레이션 구조를 주는 방법이 있다. 이 경우 (\tau : \Delta’ \downarrow C \to C) 라는 전형적인 함수를 사용한다.

트라이브(Tribe)와 레디 구조

트라이브는 파이버레이션 범주에 추가적인 구조(예: 내부 곱, (\Pi)-형)까지 갖춘 특수한 경우이다. 현재까지는 역(inverse) 범주인 경우에만 트라이브 구조가 다이어그램 범주 ( \mathcal{T}^{C} )에 부여된 사례가 알려져 있다([KS19, Lemma 2.22]).

본 논문에서는 일반화된 레디 범주(generalized Reedy category) 를 이용해 역(inverse) 일반화된 범주 ( \mathcal{R} ) 위의 다이어그램 트라이브 구조를 구축하고자 한다. 일반화된 레디 범주는 기존 레디 범주의 정의를 완화하여 동형사상(isomorphism) 이 항등이 아닌 경우도 허용한다. 이 개념은 Cisinski가 [Cis+06]에서 처음 제시했으며, Berger와 Moerdijk가 [BM11]에서 약간 일반화하였다.

1. 일반화된 레디 범주와 그 구조

가정

( \mathcal{R} )는 다음 조건을 만족하는 일반화된 레디 범주이다.

• 조건: 어떤 (엄격) 레디 범주 ( \mathcal{R}{0} )와 함수 ( c : \mathcal{R}{0} \to \mathcal{R} )가 존재하여, ( \mathcal{R} )의 모든 사상 ( f : a \to b )가 ( \mathcal{R}_{0} )의 사상 ( k : x \to y )와 동형사상 ( w : a \cong c(x) ), ( w’ : b \cong c(y) )를 통해

[ \begin{tikzcd} a \arrow[r,“f”] \arrow[d,“w”’] & b \arrow[d,“w’”] \ c(x) \arrow[r,“c(k)”’] & c(y) \end{tikzcd} ]

와 같이 교환사각형을 이루도록 “동형까지 끌어올릴 수 있다”.

예시 1.1 (큐브 범주)

주된 예는 큐브 범주이다. Camara가 [Cam23]에서 다룬 여러 변형 중, 동형이 없는 기본 큐브 범주 ( \square )와 대칭을 허용한 ( \square^{s} )가 있다. 포함

[ \square \hookrightarrow \square^{s} ]

은 위의 조건을 만족한다. 대각선이 없는 경우, 저자는 Theorem 7.9에서 ( \square^{s} )가 EZ‑범주(특히 일반화된 레디 범주)임을 보인다. 따라서 다음이 구체적인 사례가 된다.

• ( \square ) : 두 개의 투사와 하나의 퇴화 사상을 생성하는 자유 모노이달 범주.
• ( \square^{s} ) : 위의 자유 모노이달 범주에 대칭을 추가한 자유 대칭 모노이달 범주.

2. 자유 범주 코모나드와 ( D\mathcal{R} )의 정의

정의 1.1

( F )를 Cat 위의 자유 범주 코모나드라 하자. 아래와 같은 푸시아웃을 만든다.

[ \begin{tikzcd} F(\mathcal{R}{0}) \arrow[r] \arrow[d] & F(\mathcal{R}) \arrow[d] \ \mathcal{R}{0} \arrow[r,“c”’] & \mathcal{R} \end{tikzcd} ]

그 결과 얻어지는 범주를 ( D\mathcal{R} )라 명명한다. 구체적으로는 twisted arrow category ( \operatorname{Tw}(F^{\simeq}(\mathcal{R})) ) 안에서

• 객체: ( x \xrightarrow{,} z \xrightarrow{,} y ) 형태이며, 첫 번째 사상은 ( \mathcal{R}_{0} )의 사상, 두 번째 사상은 “자유 동형” 혹은 항등이다.
• 사상: 자연스러운 사각형으로 정의된다.

( D\mathcal{R} )는 ( p : D\mathcal{R} \to \mathcal{R} ) 라는 투사 함수를 갖는다.

보조정리 1.1

( D\mathcal{R} )는 (엄격) 레디 범주 구조를 상속한다.

증명 개요
각 객체 ( (x \to z \to y) )에 대해 차수를

[ \deg(y) - \deg(x) + \begin{cases} 0 & (z \to y \text{가 항등})\ 1 & (\text{그 외}) \end{cases} ]

로 정의한다. ( D\mathcal{R}{+} )와 ( D\mathcal{R}{-} )를 각각 “증가 사상”과 “감소 사상”으로 정의하고, 레디 범주의 분해 공리를 검증한다.

특히, 사상 ( F : X \to Y )는

[ x \xrightarrow{w!\cdot!f_{s}} z \xrightarrow{w’} y ]

와 같이 쓸 수 있고, 여기서 ( f_{s} )는 ( \mathcal{R}{0} )의 사상, ( w,w’ )는 자유 동형이다. ( f{s} )와 ( f’{s} )를 각각 ( \mathcal{R}{0}^{-} )와 ( \mathcal{R}_{0}^{+} )로 분해하면 원하는 레디 분해가 얻어진다. 유일성은 자유 동형이 다른 방법으로 분해될 수 없다는 점에서 바로 따라온다.

보조정리 1.2

투사 ( p : D\mathcal{R} \to \mathcal{R} )는 절대적으로 조밀(absolute dense) 하다. 즉, 전치함수

[ p^{*} : \mathbf{Set}^{\mathcal{R}} \longrightarrow \mathbf{Set}^{D\mathcal{R}} ]

가 전사이며 전단사이다.

증명 개요
[Ada+01, Theorem 1.1]의 기준을 이용한다. 임의의 사상 ( f : x \to y )에 대해 ( D\mathcal{R} ) 안의 항등 객체 ( y \to y )를 통해 하나의 분해가 존재한다. 두 분해 사이의 연결성을 보이기 위해, 자유 동형을 포함하거나 제외하는 적절한 “중간” 객체들을 구성하고, 이들 사이에 사다리꼴(zig‑zag) 사상을 만든다. 이렇게 하면 모든 분해가 하나의 연결된 군집을 이룬다.

3. ( D\mathcal{R} )가 직접(direct) 범주가 되는 경우

이후 우리는 ( \mathcal{R} )가 일반화된 직접 범주(generalized direct category) 로, 각 차수마다 객체와 동형이 유한하게 존재한다고 가정한다. 이때 ( D\mathcal{R} ) 역시 (엄격) 직접 범주가 된다.

4. 트라이브 구조를 위한 준비

고정된 트라이브 ( \mathcal{T} )를 잡고, ( \mathcal{T}^{\mathcal{R}^{op}} ) 의 “파이버레이트” 다이어그램을 다루고자 한다. 여기서 도입할 파이버레이션은 [Cis10]의 (\tau)-파이버레이션과 유사한 형태이다.

정의 2.1 (p‑파이버레이션)

( p : D\mathcal{R} \to \mathcal{R} )에 대해, 사상

[ m : X \longrightarrow Y \quad (X,Y \in \mathcal{T}^{\mathcal{R}^{op}}) ]

가 p‑파이버레이션이라 함은, 각 ( \alpha \in \mathcal{R} )에 대해

[ X(\alpha) \longrightarrow Y(\alpha) \times_{\displaystyle \lim_{(\beta \to \alpha) \in (\mathcal{R}{+}/\alpha)} Y(\beta)} \lim{(\beta \to \alpha) \in (\mathcal{R}_{+}/\alpha)} X(\beta) ]

가 ( \mathcal{T} )의 파이버레이션(즉, 트라이브에서 정의된 파이버레이션)인 경우이다.

정의 2.2

( \mathcal{T}^{\mathcal{R}^{op}}_{f} )를 **p‑파이버레이트 다이어그램

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