“비등방성 최대 (L^p) 정규성: 저차원 오르니슈 웰런베르크 연산자의 새로운 접근”

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📝 Abstract

We consider the maximal regularity of a specific Vlasov-Fokker-Planck equation $\mathcal{A}u=f$ in the Euclidean space. The operator $\mathcal{A}=Δ_{y}u-y\cdot \nabla_x{u}$ is an example of the Ornstein-Uhlenbeck operators. We prove the existence of a solution that satisfies the anisotropic maximal regularity estimates. To prove this we also show a similar estimates and a weak (1, 1) estimate for $L=\partial_t-\mathcal{A} $, which is of independent interest. These results rely on the pointwise estimates of the fundamental solution of $L $.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 위치

• Ornstein‑Uhlenbeck 연산자는 확률 미분 방정식, 기체역학, 금융수학 등에서 핵심적인 역할을 한다.
• 기존 연구(

📄 Content

1. 서론

우리는 (\mathbb {R}^{N}) 에서 Ornstein‑Uhlenbeck 연산자를 다음과 같이 고려한다.

[ L=\partial t-A,\qquad A:=\sum{i,j=1}^{N}a_{ij}\partial_{x_i x_j} +\sum_{i,j=1}^{N}b_{ij}x_j\partial_{x_i}, ]

여기서 (A=(a_{ij})) 는 대칭이며 양의 반정치(positive semi‑definite)인 (N\times N) 상수 행렬이고, (B=(b_{ij})) 는 (N\times N) 상수 행렬이다. 연산자 (A) 는 Uhlenbeck‑Ornstein 반군집의 무한소 발생자이며, 이는 입자가 유체 속에서 무작위로 움직이는 현상을 기술하는 확률 미분 방정식에 대응하는 마르코프 반군집이다.

Hörmander는 [8]에서 (L:=\partial t-A) 가 저타원성(hypoellipticity) 을 갖는 경우를 연구하였다. 대략적으로, 미분 연산자 (P) 가 저타원적이라는 말은 (Pu) 가 매끄러울 때 원함수 (u) 도 매끄럽다는 것을 의미한다. Hörmander는 [ \int{0}^{t}\exp (-sB^{\top })A\exp (-sB),ds>0\qquad(\forall,t>0) ] 인 경우에만 (L) 이 저타원적임을 보였다. 여기서 (B^{\top }) 는 (B) 의 전치이다. Lanconelli와 Polidoro는 [11]에서 (L) 이 저타원적이면 다음과 같이 행렬을 정규형으로 만들 수 있음을 증명하였다.

[ A= \begin{pmatrix} A_{0}&0\[2mm] 0&0 \end{pmatrix}, \qquad B= \begin{pmatrix} 0&B_{1}&0&\cdots &0\ 0&0&B_{2}&\cdots &0\ \vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots\ 0&0&\cdots &0&B_{r}\ 0&0&\cdots &0&0 \end{pmatrix}, ]

여기서 (A_{0}) 는 차원 (p_{0};(p_{0}\le N)) 인 대칭 양정치 행렬이며, (B_{j}) 는 (p_{j-1}\times p_{j}) 블록이며 (\operatorname{rank}B_{j}=p_{j}) 를 만족한다. (p_{0}\ge p_{1}\ge\cdots\ge p_{r}\ge1) 이고 (p_{0}+p_{1}+\cdots +p_{r}=N) 이다. (p_{0}<N) 일 때 (L) 을 퇴화(degenerate) 라고 하고, 그 외의 경우를 비퇴화(non‑degenerate) 라고 부른다.

본 논문에서는 Ornstein‑Uhlenbeck 연산자의 특별한 경우, [ N=2d,\qquad A= \begin{pmatrix} 0&0\[2mm] 0&I_{d} \end{pmatrix}, \qquad B= \begin{pmatrix} 0&-I_{d}\[2mm] 0&0 \end{pmatrix}, ] 을 연구한다. 여기서 (I_{d}) 는 (d\times d) 단위 행렬이다. 이 경우 (L) 은 저타원적이며 퇴화된 연산자이다. 이를 다루기 위해 다음과 같이 기호를 도입한다.

[ x=(x_{1},\dots ,x_{d}),\qquad y=(y_{1},\dots ,y_{d})=(x_{d+1},\dots ,x_{2d}). ]

그리하여 (A) 는

[ A= \begin{pmatrix} 0_{d\times d}&0_{d\times d}\[2mm] 0_{d\times d}&I_{d} \end{pmatrix} ]

와 같이 쓰여진다.

주요 결과를 서술하기 전에 기본 개념들을 정의한다.

정의 3. (1\le p\le 2) 일 때, 함수 (f) 의 (L^{q}{y}L^{p}{x,t}) 노름은 [ |f|{L^{q}{y}L^{p}{x,t}} :=\Bigl(\int{\mathbb R^{d}} \Bigl(\int_{\mathbb R^{d+1}} |f(x,y,t)|^{p},dx,dt\Bigr)^{q/p}dy\Bigr)^{1/q} ] 로 정의한다.
(L^{q}{y}L^{p}{x}) 노름도 같은 방식으로 정의한다.

위 정의는 (1\le p\le 2) 일 때 푸리에 변환을 이용한 정의와 동치이다(예: Kwaśnicki [10]).

본 논문의 주요 결과는 다음과 같은 전역 추정식이다.

[ |\Delta_{y}u|{L^{q}{y}L^{p}{x}} +||\partial{x}|^{2/3}u|{L^{q}{y}L^{p}{x}} ;\le; C(p,q,d),|f|{L^{q}{y}L^{p}{x}} . \tag{1} ]

위 식을 만족하는 약한 해 (u) 가 존재한다.

정리 1 의 핵심 단계는 비정상(non‑stationary) 문제에 대한 다음과 같은 추정식이다. [ |\Delta_{y}u|{L^{q}{y}L^{p}{x,t}} +||\partial{x}|^{2/3}u|{L^{q}{y}L^{p}{x,t}} ;\le; C(p,q,d),|f|{L^{q}{y}L^{p}{x,t}} . \tag{2} ]

또한 상수 (C’>0) 가 존재하여

[ \bigl|{(x,y,t):|u(x,y,t)|>\lambda\bigr|;\le; \frac{C’}{\lambda},|f|_{L^{1}} \qquad(\lambda>0) \tag{3} ]

와 같은 약한 ((1,1)) 추정도 성립한다. 여기서 (C’) 은 차원에만 의존한다.

(p=q=2) 인 경우, (1)은 Bouchut [1] 가 사전 추정(a priori estimate) 형태로 증명하였다. 그 증명은 Hörmander의 교환자 [ [\partial_{x},,\partial_{t}-A] ] 와 적분에 의한 에너지 방법에 의존한다. 또한 같은 방법은 (Au=f) 형태의 방정식에도 적용 가능하다.

일반적인 저타원적 퇴화 Ornstein‑Uhlenbeck 연산자에 대한 (\Delta_{y}u) 의 (L^{p}) 추정은 Bramanti, Cupini, Lanconelli, Priola [2] 가 증명하였다. 그러나 그들은 (\operatorname{tr}B\neq0) 인 경우를 다루면서 노름을 (\mathbb R^{N}\times[-1,1]) 에서만 취해야 했으며, 전역 시간 구간 (\mathbb R^{N}\times\mathbb R) 에서는 적용되지 못했다. 본 논문에서는 이러한 결과를 시간 전역으로 확장하되, 연산자를 특수화함으로써 가능하게 하였다.

고전적인 결과에 따르면, (Au=f) 이고 (f\in W^{\alpha,p}) ((p\in(1,\infty),;\alpha\ge0)) 이면 (u\in W^{\alpha+2/3,p}{\text{loc}}) 가 된다([13]).
(\Delta{y}) 를 분수 라플라시안 (\Delta_{y}^{\alpha/2}= -(-\Delta_{y})^{\alpha/2}) ((\alpha\in(0,2))) 로 바꾸면 (x) 와 (y) 양쪽에 대한 최대 정규성은 Chen–Zhang [3] 와 Huang–Menozzi–Priola [9] 가 증명하였다. [3] 은 Fefferman–Stein 형식의 추정에 기반해 (L^{\infty})–BMO 유계성을 얻고, [4] 는 시간 의존 계수를 갖는 Kolmogorov‑형 저타원 연산자에 같은 방법을 적용한다. [9] 의 증명은 Hörmander 조건을 이용해 약한 ((1,1)) 추정을 얻으며, 우리와 유사하지만 핵심 차이는 (2) 에서 보이는 (|\partial_{x}|^{2/3}\Gamma) 의 점별 추정이 보다 명시적이라는 점이다. Hölder 공간에서의 최적 스무딩 추정은 Da Prato–Lunardi [5] (비퇴화 경우)와 Lunardi [12] (퇴화 경우) 가 다루었다.

위에 언급된 선행 연구들([2,4,9,13])은 모두 등방성(isotropic) (L^{p}) 추정을 다루었다. 반면, 현재 다루는 연산자 (A) 는 (x) 와 (y) 에 대해 이방성(anisotropic) 구조를 가지고 있으므로, 해의 이방성 추정을 연구하는 것이 자연스럽다. 예를 들어, Dong–Yastrzhembskiy [6] 은 이방성 노름을 사용했지만, 그들의 추정식에는 (u) 자체가 상한에 포함돼 있어 본 논문의 결과를 포함하지 못한다. 이러한 이방성 (L^{p}) 추정은 유체역학의 경계층 이론에서 등장하는 triple‑deck 방정식 등, (A) 가 주된 선형항으로 나타나는 비선형 문제를 다루는 데도 유용할 것으로 기대된다.

우리의 최종 목표는 정상 문제 (Au=f) 에 대해 이방성 (L^{p}) 공간에서 최대 정규성(maximal regularity) 추정을 확립하는 것이다. 하지만 일반적인 경우 직접적으로 다루기는 어렵다.
특수한 경우 (L^{2}(\mathbb R^{2d})) 에서는 Bouchut [1] 와 같이 기본적인 에너지 방법이 적용될 수 있다. 우선 연산자 (L=\partial_{t}-A) 를 고려한다.
(L) 의 기본 해 (\Gamma) 는 Hörmander [8, p.148] 에서 구성되었으며, 다음과 같은 점별 추정이 핵심이다.

[ \bigl|\partial_{x}^{,l}\partial_{y}^{,m}\partial_{t}^{,n}\Gamma(x,y,t)\bigr| ;\le; C_{l,m,n}, \bigl(| (x,y,t)|^{,4d+2}\bigr)^{-1} \qquad(l+m+n=0\text{ 또는 }1). \tag{4} ]

위 식은 (\Gamma) 로 정의되는 특이 적분 커널이 Hörmander 조건을 만족함을 의미한다. 따라서 일반화된 Calderón‑Zygmund 이론을 적용해 (L^{p}(\math

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