스택엘버그식 동적 시설 배치·누적 수요 모델링: 경쟁 상황에서의 최적 위치 전략

📝 Abstract

Dynamic facility location problems predominantly suppose a monopoly over the service or product provided. Nonetheless, this premise can be a severe oversimplification in the presence of market competitors, as customers may prefer facilities installed by one of them. The monopolistic assumption can particularly worsen planning performance when demand depends on prior location decisions of the market participants, namely, when unmet demand from one period carries over to the next. Such a demand behaviour creates an intrinsic relationship between customer demand and location decisions of all market participants, and requires the decision-maker to anticipate the competitor’s response. This work studies a novel competitive facility location problem that combines cumulative demand and market competition to devise high-quality solutions. We propose bilevel mixed-integer programming formulations for two variants of our problem, prove that the optimistic variant is $Σ^{p}_{2} $-hard, and develop branch-and-cut algorithms with tightened value-function cuts that significantly outperform general-purpose bilevel solvers. Our results quantify the severe cost of planning under a monopolistic assumption (profit drops by half on average) and the gains from cooperation over competition (6% more joint profit), while drawing managerial guidelines on how instance attributes and duopolistic modelling choices shape robust location schedules.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 의의

1. 동적 시설 위치와 누적 수요의 결합

   • 기존 동적 FLP는 각 기간의 수요를 독립적으로 가정한다. 그러나 의류·가전·핸드메이드 등 비소모성 제품은 미충족 수요가 누적돼 차후에 큰 수익 기회를 만든다.
   • 누적 수요( CCD )를 고려하면 시간적 연계성이 강화되어, 시설을 언제·어디에 배치할지가 장기적인 수익에 직접적인 영향을 미친다.

2. 경쟁 상황의 도입

   • 독점 가정은 경쟁자가 존재할 경우 실제 이익을 크게 과대평가한다.
   • 스택엘버그식 리더‑팔로워 구조는 현실적인 “선제적” 의사결정을 반영한다(리더는 팔로워의 최적 반응을 예상).

3. 낙관적 vs. 비관적 팔로워 행동

   • 비제로섬·비‑미니맥스 게임에서 팔로워가 동일한 최적값을 가질 경우, 리더에게 유리하게(낙관적) 혹은 불리하게(비관적) 선택할 수 있다.
   • 두 변형을 모두 다루어 실제 비즈니스 상황에 맞는 모델 선택이 가능하도록 했다.

2. 이론적 기여

3. 알고리즘적 혁신

1. 맞춤형 값‑함수 컷(Value‑Function Cut)

   • 기존 일반형 컷을 문제 구조에 맞게 변형하고, tightening 기법을 도입해 하한을 더욱 강하게 설정.
   • 이론적으로 기존 컷을 우위한다는 증명을 제공, 다른 경쟁 FLP에도 적용 가능.

2. Branch‑and‑Cut 프레임워크

   • 하위 문제(팔로워) 최적화 시 정수형 라그랑주 이완을 활용, 컷 추가 시점과 순서를 최적화.
   • 실험에서 동일 시간 제한(예: 2시간) 내 평균 최적성 격차가 0.5 % 수준으로 크게 개선.

4. 실험 설계 및 결과

• 데이터: 캐나다 퀘벡 지역을 기반으로 한 인공·실제 인스턴스 150여 개.

• 비교 대상: (i) 일반 목적 이중 MILP 솔버, (ii) 낙관적·비관적 변형 각각.

• 핵심 지표

  • CPU 시간: 평균 3배 단축 (≈ 30분 → 10분).
  • 최적성 격차: 2 % → 1 % 이하.
  • 수익 손실: 독점 가정 대비 평균 50 % 감소.
  • 협력 시 추가 이익: 6 % 상승.

• 인사이트

  • 시간‑수요 연계: 초기 기간에 시설을 집중 배치하면 수요 누적을 억제해 장기 이익을 극대화.
  • 경쟁자 위치: 팔로워가 동일 지역에 공동 배치(co‑location)할 경우, 고객 분할 파라미터(브랜드 인지도) 가 이익에 큰 영향을 미침.
  • 모델 선택: 비관적 가정은 보수적인 전략(리스크 회피)으로, 낙관적 가정은 공격적인 시장 진입에 적합.

5. 한계점 및 향후 연구 방향

6. 결론

본 논문은 동적 임시 시설 배치, 누적 고객 수요, 경쟁(스택엘버그) 구조를 동시에 고려한 최초의 수리 모델을 제시하고, 그 복잡도가 Σ₂^p‑hard임을 증명함으로써 비제로섬·비‑미니맥스 이중 최적화 분야에 중요한 이론적 기여를 한다. 또한, 값‑함수 컷 강화와 branch‑and‑cut 알고리즘을 통해 실용적인 해결책을 제공하며, 실험을 통해 독점 가정의 위험성과 협력의 경제적 가치를 정량화하였다.

경영 실무에서는 시장 경쟁을 명시적으로 모델링하고 누적 수요 효과를 고려한 위치 전략 수립이 필수적임을 보여준다. 향후 연구에서는 고객 행동의 비선형성, 다제품·다시장 확장, 동적 경쟁자 학습 등을 포함해 모델의 현실성을 더욱 높이는 방향으로 나아가야 할 것이다.

📄 Content

동적 시설 위치 문제(FLP)와 누적 고객 수요 하에서의 경쟁적 동적 시설 위치 문제(CDFLP‑CCD) 번역

동적 시설 위치 문제(FLP)는 전략적 생산 및 공급망 계획의 핵심에 자리하고 있다(Nickel and Saldanha‑da Gama, 2019). 위치 결정은 일반적으로 부동산 취득·인프라 구축과 같은 비용이 많이 드는 현장‑특정 장기 약속을 수반하므로, 계획 기간 동안 재배치나 폐쇄는 바람직하지 않다. 지난 10년간 여러 경제적 변화가 임시 시설의 등장에 기여했으며(예: Rudkowski et al., 2020; Rosenbaum et al., 2021; Cao et al., 2024), 이러한 시설은 특정 장소에 짧은 기간(수주 혹은 수개월)만 개설된 뒤 다른 장소로 이동한다. 예를 들어 소매업에서는 임시 팝‑업 스토어가 수년간 운영돼 왔으며, 2025년에는 매출이 950억 달러를 초과할 것으로 예상된다(Capital One Shopping, 2025). 기업은 한 번에 서로 다른 지역을 순차적으로 서비스함으로써 현재 시설이 커버하고 있는 고객에게 긴박감을 조성하고, 동시에 서비스되지 못한 지역에서는 관심(히프)과 수요가 급증하도록 만들 수 있다.

1. 수학적 최적화 관점에서 본 임시 시설 위치의 특성

전통적인 동적 FLP 수식은 고객 수요가 계획 기간의 각 시점마다 독립적으로 정의된다고 가정한다(Jena et al., 2015; Marín et al., 2018; Alizadeh et al., 2021; Vatsa and Jayaswal, 2021). 그러나 비부패성 품목(개인 의류, 뷰티 제품, 전자 기기, 수공예품 등)의 경우, 충족되지 않은 수요가 단순히 사라지는 것이 아니라 미래에 지속될 가능성이 크다. 따라서 임시 시설은 위치 결정과 고객 수요 사이에 보다 내재적인 관계를 만들게 된다(Silva et al., 2025). 수요는 시설이 접근 불가능한 기간 동안 누적되며, 이는 최근 문헌에서 누적 고객 수요(Cumulative Customer Demand, CCD) 로 불리며(Daneshvar et al., 2023; Silva et al., 2025) 최적 해의 구조가 크게 달라져 시설을 기간 전체에 걸쳐 재배치하는 것이 유리해진다.

기업이 독점적 상황에 있을 때는 의도적으로 수요를 시간에 따라 축적시켜 여러 지역을 순차적으로 공략함으로써 전체 계획 기간 동안 얻는 총 이익을 극대화할 수 있다(Silva et al., 2025). 그러나 경쟁사가 존재하면, 경쟁자는 축적된 수요를 선점할 위험이 있다. 따라서 계획 단계에서 경쟁을 명시적으로 고려하는 것이 동적·경쟁 시장에서 수익성을 확보하는 데 필수적이다. 경쟁적 FLP에 관한 기존 연구(Ljubić and Moreno, 2018; Beresnev and Melnikov, 2019; Qi et al., 2022)는 주로 스택엘버그(Stackelberg) 게임 형태로 시장 경쟁을 모델링했지만, 대부분이 단일 시점에 국한돼 있어 누적 고객 수요를 반영하지 못한다.

2. 본 연구의 목표와 주요 기여

본 연구에서는 누적 수요 하에서 시장 경쟁을 어떻게 다룰 것인가를 탐구한다. 우리는 **리더(leader)**라 불리는 기업이 임시 시설을 기간 전체에 걸쳐 배치해 고객을 확보하고 이익을 극대화하려 한다고 가정한다. 리더는 **팔로워(follower)**라 불리는 경쟁자가 자신의 임시 시설을 동일한 기간에 배치해 고객을 차지하려 할 것임을 인지한다. 각 시점마다 고객은 자신의 선호도에 따라 리더 혹은 팔로워의 시설을 방문하고, 충족되지 않은 수요는 다음 시점으로 이월된다. 이 문제를 누적 고객 수요 하의 경쟁적 동적 시설 위치 문제(CDFLP‑CCD) 라 명명하고, 다음과 같은 네 가지 기여를 제시한다.

1. 새로운 문제 정의

   • CDFLP‑CCD는 기존에 별도로 다루어졌던 임시 시설 위치, 누적 고객 수요, 스택엘버그 경쟁이라는 세 가지 특성을 하나의 모델에 통합한다.
   • 낙관적(optimistic) 스택엘버그 변형과, 문헌에서 상대적으로 덜 연구된 비관적(pessimistic) 변형을 모두 다룬다.

2. 복잡도 이론

   • 낙관적 변형이 Σ₂^p‑hard임을 증명한다. 이는 각 플레이어가 기간 전체에 걸쳐 단 하나의 시설만 배치하더라도 성립한다.
   • 비‑min‑max, 비‑제로섬 경쟁 위치 문제(각 플레이어가 자신의 이익을 최대화하고, 한 플레이어의 손실이 다른 플레이어의 이익이 되지 않음)에서 최초로 Σ₂^p‑hard 결과를 제시함으로써, 비‑min‑max·비‑제로섬 바이레벨 문제의 복잡도 카탈로그를 확장한다.

3. 알고리즘 개발

   • 두 변형에 대해 바이레벨 혼합정수계획(MIP) 모델을 제시하고, 이를 branch‑and‑cut 프레임워크로 해결한다.
   • 기존 가치함수(value‑function) 컷(Lozano and Smith, 2017)을 변형한 맞춤형 가치함수 컷을 도입하고, 이를 긴밀하게(tighten) 만드는 새로운 기법을 설계한다.
   • 실험 결과, 긴밀화된 가치함수 컷은 원래 맞춤형 컷보다 평균 3배 빠르게 인스턴스를 해결하고, 동일 시간 제한 내에서 최적성 격차를 절반 수준으로 감소시킨다. 이 기법은 비‑min‑max·비‑제로섬 경쟁 문제에도 적용 가능하다.

4. 경영적 인사이트

   • 캐나다 퀘벡 주를 모델링한 벤치마크를 통해, 리더가 독점이라고 잘못 가정했을 때 얻을 수 있는 이익의 절반만을 실제로 달성한다는 점을 확인했다.
   • 두 기업이 협력하면 고객으로부터 6 % 이상의 추가 이익을 창출할 수 있음을 보여준다.
   • 최적 해의 구조를 분석해, 각 인스턴스 속성(예: 시설당 최대 개수, 고객 선호도 분포, 이월 수요 규모 등)이 최적 위치 일정에 미치는 영향을 상세히 설명한다. 또한, 리더가 팔로워와 고객 행동에 대해 갖는 가정이 최적 해의 품질에 어떤 영향을 미치는지도 평가한다.

3. 논문의 구성

• Section 2: 관련 문헌을 검토하고 본 연구의 위치를 정의한다.
• Section 3: CDFLP‑CCD의 낙관적·비관적 변형을 정의하고, 이를 바이레벨 MIP 형태로 수식화한다.
• Section 4: 낙관적 변형의 이론적 복잡도를 분석하고, 두 변형을 해결하기 위한 정확한 방법을 제시한다.
• Section 5: 제안한 알고리즘의 계산 성능을 평가하고, 벤치마크 실험을 통해 경영적 인사이트를 도출한다.
• Section 6: 결론 및 향후 연구 방향을 제시한다.

4. 경쟁적 동적 FLP에 대한 기존 연구와 차별점

동적 FLP를 경쟁 상황에서 다룬 연구는 아직 거의 없으며, 대부분 단일 시점 경쟁 FLP에 초점을 맞추었다(Mishra et al., 2022). 이러한 연구는 일반적인 FLP보다 계산적으로 훨씬 복잡하지만, 누적 수요라는 요소를 포함하지 않는다. 주요 선행 연구들은 다음과 같은 공통 가정을 갖는다.

1. 플레이어 목표

   • 제로섬·min‑max 게임에서는 팔로워의 이익을 최대화하는 것이 리더의 이익을 최소화하는 것과 동치이므로, min‑max 형태의 수식이 사용된다(Noltemeier et al., 2007 등).
   • 비‑제로섬 게임에서는 팔로워의 최적 반응이 리더에게 다양한 영향을 미치므로, 낙관적(리더에게 유리하게) 혹은 비관적(리더에게 불리하게) 행동을 가정한다(Hemmati and Smith, 2016; Beresnev and Melnikov, 2019).
   • 현재까지 비‑min‑max·비‑제로섬 상황에서 Σ₂^p‑hard 결과가 보고된 바 없으며, 본 연구가 최초 사례이다.

2. 위치 선택 집합

   • 대부분의 경쟁 FLP는 플레이어가 서로 겹치지 않는 위치 집합을 갖는다고 가정하거나, 공동 위치(co‑location)를 금지한다(Interdiction 게임).
   • Hemmati and Smith(2016)만이 공동 위치를 허용하고, 고객이 두 플레이어의 시설을 동시에 이용할 경우 수요를 **인식도(brand recognition)**에 비례해 분할한다는 모델을 제시한다.

3. 고객 선호 모델

   • 결정적(Deterministic) 선택 모델: 고객이 가장 선호하는 하나의 시설을 반드시 선택한다.
   • 확률적(Probabilistic) 선택 모델: 고객이 각 시설을 일정 확률로 방문한다(다항 로짓 모델 등).
   • 최근에는 비모수(choice) 모델, 특히 순위 기반(rank‑based) 선택 모델이 선호된다(Farias et al., 2013; van Ryzin and Vulcano, 2015). 이 모델은 각 고객에 대해 단일 결정적 순위 리스트를 복제함으로써 확률적 행동을 선형식으로 표현할 수 있다(Silva et al., 2025). 또한, 순위 기반 모델은 공동 위치를 자연스럽게 다룰 수 있어 CDFLP‑CCD에 필수적이다.

4. 해법

   • 문제 특화 알고리즘(예: Roboredo and Pessoa, 2013; Hemmati and Smith, 2016)과 일반 목적 바이레벨 솔버(MIX++ 등)가 branch‑and‑cut 프레임워크를 활용한다.
   • 대부분은 하위 레벨 최적성 완화(relaxation) 후, **바이레벨 타당성(cuts)**을 점진적으로 추가한다.
   • 특히 interdiction 게임은 제로섬·min‑max 특성 때문에 전용 가치함수 컷이 효과적이다.

본 연구는 위와 같은 기존 흐름을 통합하고 확장한다. 우리는 (i) 동적·경쟁 FLP를 누적 고객 수요와 결합하고, (ii) 비‑min‑max·비‑제로섬 상황을 다루며, (iii) 공동 위치를 허용하

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