“C(K) 공간 위의 준선형 사상: 지역적 평범성 vs. c₀ 복제”

📝 Abstract

In this paper we combine topological and functional analysis methods to prove that a non-locally trivial quasi-linear map defined on a $C(K)$ must be nontrivial on a subspace isomorphic to $c_0 $. We conclude the paper with a few examples showing that the result is optimal, and providing an application to the existence of nontrivial twisted sums of $\ell_1$ and $c_0 $.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 동기

• 준선형 사상은 Kalton이 제시한 비선형 연속 사상으로, Banach 공간 사이의 정확한 시퀀스와 직접 연결된다.
• 기존 연구(특히 Kalton‑Roberts 정리)는 (L_{\infty})-공간 위의 준선형 사상이 추가적인 균등 평범성을 가짐을 보여주었지만, (C(K))와 같은 일반적인 (L_{\infty})-공간에 대한 미세한 구조는 아직 충분히 밝혀지지 않았다.
• 본 논문은 “지역적 평범성(local‑triviality)”이라는 개념을 도입해, 유한 차원 부분공간에서의 평범성을 전역적인 성질과 연결시킨다.

2. 핵심 정의와 정리

Theorem 2.1 (주요 이분법)

(\Omega:C(K)\to Y)는 지역적으로 평범하거나, (c_{0}) 복제 위에서 비지역적이다.

이 정리는 두 가지 중요한 함의를 가진다.

1. 구조적 강제성: 비평범한 준선형 사상은 반드시 “작은” (c_{0}) 복제에 제한될 수 있다.
2. 정확한 시퀀스와의 연결: 비평범한 (\Omega)는 비분리된 twisted sum (\ell_{1})와 (c_{0})을 생성한다.

3. 증명 전략 요약

1. Cantor 집합 (\Delta)에 대한 특수화

   • (\Delta)를 두 개의 서로 겹치지 않는 클로즈드 부분 (\Delta^{+},\Delta^{-})로 분할하고, 재귀적으로 제한된 사상 (\Omega^{\pm})의 평범성을 검사한다.
   • 재귀 과정이 무한히 지속되면, 선택된 부호열 (\xi\in{-1,1}^{\mathbb N})에 따라 서로 분리된 지원을 가진 함수들의 집합을 얻는다.

2. Lemma 2.2 활용

   • 유한 차원 부분공간이 (\ell_{1}^{m})와 Banach‑Mazur 거리 (\delta)를 갖는 경우, (\Omega)의 (\lambda)-trivial성은 (\delta)와 (\lambda)에 의해 제어된다.
   • 이를 통해 “지역적 평범성”이 유지되는 경우와 그렇지 않은 경우를 구분한다.

3. (c_{0}) 복제 구축

   • 서로 분리된 지원을 가진 (\ell_{\infty}^{n}) 블록들을 직교하게 배치하면, 그 폐쇄 선형 폐쇄장은 (c_{0})와 동형이 된다.
   • 이 블록 위에서 (\Omega)는 (\lambda_{n})이 무한대로 발산함을 보이므로 비지역적임을 확인한다.

4. 일반 (C(K))로 확장

   • 비지역적 (\Omega)에 대해, 각 단계에서 얻은 유한 차원 부분공간들의 직합을 취해 가산 알제브라 (A\subset C(K))를 만든다.
   • Milutin 정리와 가산 순서 (\alpha)에 대한 표준 동형성을 이용해, (A)가 (C(\Delta)) 혹은 (C(\alpha))와 동형임을 보이고, 앞 단계에서 얻은 (c_{0}) 복제를 그대로 옮긴다.

4. 주요 기여와 의의

📄 Content

이 논문은 (C(K))‑공간 위에 정의된 준선형 사상의 거동을 다룬다. 보다 정확히 말하면, 준선형 사상 (\Omega : C(K)\rightarrow Y) 가 유한 차원 부분공간들에 대해 균등하게 자명하거나 (c_{0})의 복사본 위에서 비자명임을 증명한다. (C(K))‑공간 위의 준선형 사상의 이러한 이분법은 아래와 같은 정확열

[ 0\longrightarrow Y\longrightarrow X\longrightarrow C(K)\longrightarrow 0\tag{1.1} ]

의 존재와 성질에 직접적인 영향을 미친다. 여기서 정확열이란 바나흐 공간과 연속 선형 연산자들로 이루어진 도표

[ 0\longrightarrow Y\stackrel{\jmath}{\longrightarrow}X\stackrel{q}{\longrightarrow}Z\longrightarrow 0\tag{1.2} ]

를 말하며, 각 화살표의 핵(kernel)은 바로 앞 화살표의 상(image)과 일치한다. 가운데 공간 (X)는 보통 (Y)와 (Z)의 **뒤틀린 합(twisted sum)**이라 불린다. 개방 사상 정리에 의해 (Y)는 (X)의 부분공간으로, (Z)는 몫공간 (X/Y)와 동형이다.

Kalton은 [6,8]에서 준선형 사상이라는 비선형 사상이 정확열 (1.2)와 일대일 대응한다는 사실을 발견하였다. 여기서 준선형 사상이란 동차이며, 어떤 상수 (Q\ge 0)가 존재해

[ |\Omega(x+y)-\Omega x-\Omega y|\le Q\bigl(|x|+|y|\bigr)\qquad (x,y\in X) ]

을 만족하는 사상을 말한다. 위 부등식을 만족하는 최소 상수를 (\Omega)의 준선형 상수(quasilinearity constant) 라고 부른다.

놀라운 사실이 하나 있다([1]): 정확열 (1.2)에서 양쪽 끝 (Y,Z)가 바나흐 공간이라 하더라도 가운데 (X)가 반드시 바나흐 공간일 필요는 없다. 그러나 Kalton과 Roberts는 [9]에서 깊은 정리를 증명했는데, 이는 앞의 결과와 결합하면 (L_{\infty})‑공간 위에 정의된 모든 준선형 사상 (\Omega)는 추가적인 성질을 가진다. 구체적으로는 어떤 상수 (K)가 존재해 모든 (n\in\mathbb N)와 (x_{1},\dots ,x_{n}\in X)에 대해

[ \Bigl|\Omega\Bigl(\sum_{i=1}^{n}x_{i}\Bigr)-\sum_{i=1}^{n}\Omega x_{i}\Bigr|\le K\max_{1\le i\le n}|x_{i}| ]

이 성립한다. 따라서 (Z)가 (L_{\infty})‑공간이고 (Y)가 바나흐 공간인 경우, 정확열 (1.2)에서 가운데 (X) 역시 바나흐 공간이 된다.

이러한 배경 하에 우리는 (C(K))‑공간에서 바나흐 공간 (Y)로 가는 준선형 사상 (\Omega:C(K)\to Y) 를 자유롭게 논한다. 여기서 연관된 정확열

[ 0\longrightarrow Y\longrightarrow X\longrightarrow C(K)\longrightarrow 0 ]

은 모두 바나흐 공간들로 이루어져 있음을 전제로 한다. 우리는

[ 0\longrightarrow Y\longrightarrow X\longrightarrow Z\longrightarrow 0;\equiv;\Omega ]

라고 적어, 정확열과 준선형 사상이 서로 일대일 대응한다는 의미를 나타낸다.

1. 정확열의 자명성 및 지역 자명성

정확열

[ 0\longrightarrow Y\stackrel{\jmath}{\longrightarrow}X\stackrel{q}{\longrightarrow}Z\longrightarrow 0;\equiv;\Omega ]

이 자명(trivial) 혹은 분할(split) 되었다고 하는 것은 삽입 (\jmath)이 왼쪽 역함수, 즉 (\jmath)을 따라가는 연속 선형 사영 (P:X\to Y)가 존재한다는 뜻이다. (\Omega)의 관점에서 이는 선형 사상 (L:Z\to Y)가 존재해

[ |\Omega-L|=\sup_{|x|\le 1}|\Omega x-Lx|<\infty ]

를 만족함을 의미한다. 만약 (|\Omega-L|\le\lambda) 라면 우리는 (\lambda)-자명이라고 부른다.

정의 1. 준선형 사상 (\Omega:X\to Y) 가 국소적으로 자명(locally trivial) 하다고 할 때는, 어떤 상수 (\lambda)가 존재하여 모든 유한 차원 부분공간 (F\subset X)에 대해 (\Omega|_{F})가 (\lambda)-자명임을 의미한다.

이 개념은 Kalton이 [7]에서 도입했으며, 그는 바나흐 공간들의 정확열이 국소적으로 자명함과 그 이중선형(dual) 정확열이 자명함이 동치임을 증명하였다. 또한 (Y)가 그 이중공간의 보완 부분공간일 경우, 국소적으로 자명한 정확열은 반드시 자명함을 가진다.

2. 주요 정리와 그 증명 개요

정리 2.1 (이분법).
(C(K))‑공간 위의 준선형 사상 (\Omega:C(K)\to Y)는

1. 국소적으로 자명하거나,
2. (c_{0})의 복사본 (\tilde{c}{0}\subset C(K)) 위에서 (\Omega|{\tilde{c}_{0}})가 국소적으로 비자명인 경우 중 하나이다.

즉, (\Omega)는 유한 차원 부분공간들에 대해 균등하게 자명하거나, 아니면 (c_{0})와 동형인 무한 차원 부분공간 위에서 비자명하게 행동한다.

정리를 증명하기 전에 다음과 같은 보조적인 기술적 보조정리를 사용한다.

보조정리 2.2.
(\Omega)가 준선형 상수 (Q)를 갖는 준선형 사상이라고 하자.
(x_{1},\dots ,x_{m})가 주어져 (\Omega|{[x{1},\dots ,x_{m}]})가 (\lambda)-자명하고, ([x_{1},\dots ,x_{m}])와 (\ell^{1}{m}) 사이의 Banach–Mazur 거리(즉, 동형 사상에 의한 왜곡 정도)가 (\delta)라고 하자.
(|y{i}|=1)인 점들 (y_{1},\dots ,y_{m})가

[ |y_{i}-x_{i}|<\varepsilon\qquad(i=1,\dots ,m) ]

을 만족한다면, (\Omega|{[y{1},\dots ,y_{m}]}) 역시 ((\lambda+2Q\delta))-자명임을 보인다. (정확한 증명은 원문을 참고.)

정리 2.1의 증명 (요약)

1. Cantor 집합 (\Delta)에 대한 경우를 먼저 다룬다. (\Omega:C(\Delta)\to Y)라 두고, (\Delta)를 두 개의 서로소 열린 부분 (\Delta^{+},\Delta^{-})로 분할한다.
2. 두 제한 사상 (\Omega^{+},\Omega^{-})가 모두 비자명하면 바로 결론이 된다.
3. 한쪽이 자명하다고 가정하면, 그 자명한 쪽을 다시 더 작은 부분으로 나누어 재귀적으로 (\lambda_{n})-자명성을 확인한다.
4. 이 과정을 무한히 진행하면, 선택된 부호열 (\xi\in{-1,1}^{\mathbb N})에 따라 서로소인 부분집합 (\Delta_{\xi(1)},\Delta_{\xi(2)},\dots)가 얻어진다.
5. 만약 (\sup_{n}\lambda_{n}<\infty)이면 (\Omega)는 전체 (C(\Delta)) 위에서 국소적으로 자명함을 보인다(보조정리 2.2 이용).
6. 반대로 (\sup_{n}\lambda_{n}=+\infty)이면, 위에서 만든 서로소 부분들의 직합은 (c_{0})와 동형이며, 그 위에서 (\Omega)는 국소적으로 비자명이다.

이와 같은 논리를 일반적인 컴팩트 Hausdorff 공간 (K)에 대해 적용하면, 임의의 비국소적으로 자명한 (\Omega:C(K)\to Y)는 반드시 어떤 (c_{0}) 복사본 위에서 비자명하게 제한된다.

3. 직접적인 귀결

정리 2.4 (귀결).
(C(K))‑공간 위의 준선형 사상 (\Omega)가 국소적으로 자명하기 위한 필요충분조건은, 모든 (c_{0}) 복사본에 대한 제한 (\Omega|{c{0}})가 역시 국소적으로 자명함이다.

이 결과는 직관적으로 “국소적 자명성은 (c_{0}) 복사본들에 대한 행동을 완전히 결정한다”는 의미를 갖는다.

4. 몇 가지 주의점 및 예시

1. 위 정리는 “모든 제한이 자명하면 전체가 자명한다”는 명제는 거짓임을 강조한다. 실제로 Sobczyk 정리에 의해 (\ell_{\infty}/c_{0})의 모든 가산 부분공간에 대한 제한은 자명하지만, 전체 사상은 비자명할 수 있다. 따라서 “locally”라는 수식어는 필수적이다.
2. 반대로, 국소적으로 자명한 (\Omega:C(K)\to Y)가 어떤 (c_{0}) 복사본에 대해 자명하지 않을 수도 있다. 이는 [3]에서 제시된 예시(비자명하지만 국소적으로 자명한 정확열
   [ 0\longrightarrow C[0,1]\longrightarrow \Diamond\longrightarrow c_{0}\longrightarrow 0 ] )에 의해 입증된다. 여기서 사영은 엄격히 특이(strictly singular) 하므로, 어떤 무한 차원 부분공간에도 동형이 아니다.
3. 엄격히 특이하지만 비국소적으로 자명한 (\Omega:c_{0}\to Y)의 예도 존재한다. 예를

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