“지연된 피드백을 이겨내는 ‘초과 예측(Extra Prediction)’: 무제한 이중선형 게임에서 가중 낙관적 GDA의 선형 수렴”

📝 Abstract

Feedback delays are inevitable in real-world multi-agent learning. They are known to severely degrade performance, and the convergence rate under delayed feedback is still unclear, even for bilinear games. This paper derives the rate of linear convergence of Weighted Optimistic Gradient Descent-Ascent (WOGDA), which predicts future rewards with extra optimism, in unconstrained bilinear games. To analyze the algorithm, we interpret it as an approximation of the Extra Proximal Point (EPP), which is updated based on farther future rewards than the classical Proximal Point (PP). Our theorems show that standard optimism (predicting the next-step reward) achieves linear convergence to the equilibrium at a rate $\exp(-Θ(t/m^{5}))$ after $t$ iterations for delay $m $. Moreover, employing extra optimism (predicting farther future reward) tolerates a larger step size and significantly accelerates the rate to $\exp(-Θ(t/(m^{2}\log m))) $. Our experiments also show accelerated convergence driven by the extra optimism and are qualitatively consistent with our theorems. In summary, this paper validates that extra optimism is a promising countermeasure against performance degradation caused by feedback delays.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 동기

• 피드백 지연은 온라인 광고, 분산 학습, 비동기 통신 등 실세계 시스템에서 흔히 발생한다. 기존 연구는 지연이 레지스트(후회) 증가와 수렴 불안정을 초래한다는 점을 강조했지만, 무제한 이중선형 게임에서의 수렴 속도는 아직 명확히 규명되지 않았다.
• 특히, 낙관적 알고리즘(Optimistic algorithms) 은 미래 보상을 예측해 레지스트를 감소시키지만, 지연이 존재하면 예측 정확도가 떨어져 성능이 급격히 저하된다.

2. 주요 기여

3. 핵심 이론 및 증명 개요

1. 문제 설정

   • 무제한 이중선형 게임: (\min_x \max_y x^\top B y) ( (x\in\mathbb{R}^{d_X}, y\in\mathbb{R}^{d_Y}) )
   • 피드백 지연 (m) 단계: (t) 시점에 관측 가능한 그래디언트는 (t-m) 이전까지.

2. WOGDA 알고리즘

   • 예측 길이 (n) 와 가중치 (m) 를 이용해
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📄 Content

온라인 학습은 효율적인 순차적 의사결정을 목표로 합니다. 일반적으로 현재 전략은 과거 모든 피드백으로부터 결정될 수 있다는 이상적인 상황을 가정합니다. 그러나 실제 온라인 학습 환경에서는 피드백 지연이 불가피하게 발생합니다. 예를 들어, 온라인 광고에서는 광고를 노출하고 전환(conversion)을 관찰하기까지 상당한 시간 지연이 존재합니다 (Chapelle, 2014; Yoshikawa & Imai, 2018; Yasui et al., 2020). 마찬가지로 분산 학습에서는 통신 지연과 비동기 업데이트가 그래디언트 집계에 지연을 초래합니다 (Agarwal & Duchi, 2011; McMahan & Streeter, 2014; Zheng et al., 2017). 실제로 피드백 지연을 동기로 하는 온라인 학습 논문이 다수 존재하며, 지연이 전체 피드백 (Weinberger & Ordentlich, 2002; Zinkevich et al., 2009; Quanrud & Khashabi, 2015; Joulani et al., 2016; Shamir & Szlak, 2017)과 밴딧 피드백 (Neu et al., 2010; Joulani et al., 2013; Desautels et al., 2014; Cesa‑Bianchi et al., 2016; Vernade et al., 2017; Pike‑Burke et al., 2018; Cesa‑Bianchi et al., 2018; Li et al., 2019) 모두에서 regret을 증폭시킨다고 보고합니다. 이러한 피드백 지연은 다중 에이전트 학습·게임 학습에서도 관심 대상이며 (Zhou et al., 2017; Hsieh et al., 2022), 성능을 크게 저하시킵니다 (Fujimoto et al., 2025a). 그 이유는 다중 에이전트 학습에서 좋은 성능이 각 에이전트가 미래 보상을 예측하는 데 기반하고, 피드백 지연이 이 예측을 어렵게 만들기 때문입니다. 실제로 즉시 피드백을 전제로 하는 Optimistic Follow the Regularized Leader (OFTRL) 은 (O(1))‑regret을 달성하지만, 시간 지평선 (T) 에 대해 (\Omega(\sqrt{T}))‑regret을 보입니다. “Weighted” OFTRL (WOFTRL)이라는 지연 보정 메커니즘을 적용하더라도 regret은 (O(m^{2})) 로, 지연 (m) 이 커질수록 크게 증가합니다.

1. 연구 동기와 문제 정의

위와 같은 선행 연구에도 불구하고, 다중 에이전트 학습에서 피드백 지연에 관한 근본적인 난제는 여전히 남아 있습니다. 특히 이중선형 게임(bilinear game) 에서의 수렴 분석은 아직 충분히 해결되지 않았습니다.

이전 연구 (Fujimoto et al., 2025a)에서는 X와 Y가 확률공간에 제한된 경우, WOFTRL이 마지막 반복 수렴(last‑iterate convergence, LIC) 을 달성한다는 것을 증명했습니다. 그러나 제한이 없는 경우 (X=\mathbb{R}^{d_{X}},;Y=\mathbb{R}^{d_{Y}}) 에서 지연 피드백 하에 LIC가 보장되는지는 알려지지 않았으며, 수렴 속도 역시 확립되지 않았습니다. 수렴 속도는 실제 응용에서 에이전트가 전략을 얼마나 빠르게 안정화할 수 있는지를 판단하는 핵심 지표이므로, 게임 학습 분야에서 매우 중요한 연구 주제입니다. 또한, 기존 실험에서는 “추가 예측(extra prediction)”—필요한 만큼보다 더 먼 미래를 예측하는 것이 수렴을 가속한다는 현상을 관찰했지만, 그 이론적 타당성은 아직 입증되지 않았습니다.

2. 본 논문의 기여

본 논문은 제한 없는 이중선형 게임에서 위의 미해결 문제들을 해결합니다. 주요 기여는 다음과 같습니다.

1. 피드백 지연이 존재해도 선형 수렴률을 확보

   • 알고리즘 Weighted Optimistic Gradient Descent‑Ascent (WOGDA) 를 Extra Proximal Point (EPP) 로 근사합니다. EPP는 전통적인 Proximal Point(PP) 방법을 미래 보상을 예측하도록 확장한 형태입니다.
   • EPP가 선형적으로 수렴함을 증명하고, 스텝 사이즈를 적절히 설정하면 WOGDA와 EPP 사이의 차이가 충분히 작아 실제 알고리즘도 선형 수렴한다는 것을 보였습니다.

2. 추가 예측이 수렴을 가속한다는 사실을 입증

   • 추가 예측을 사용하면 허용 가능한 스텝 사이즈가 커지고, 그에 따라 EPP 자체의 수렴 속도가 빨라집니다.
   • 결과적으로, WOGDA는 지연 (m) 에 비례하는 스케일에서 훨씬 빠른 수렴을 달성합니다.

3. 이론적 결과를 실험으로 재현

   • 대표적인 게임인 Matching Pennies와 의도치 않은 (5\times5) 무작위 행렬 게임에서 실험을 수행했습니다.
   • 실험은 모두 선형 수렴과 추가 예측에 의한 가속 현상을 확인했으며, 이론과 일치함을 보여줍니다.

3. 제한 없는 이중선형 게임

정의

이 연구가 다루는 클래스는 제한 없는 이중선형 게임이며, 이는 min‑max 최적화와 밀접한 관계가 있습니다. 또한, 제로섬 유틸리티와 유클리드 전략 공간이라는 최소 구성 요소를 포함하고 있어, 다중 에이전트 학습에서 발생하는 특수한 어려움을 그대로 담고 있습니다. 따라서 이 클래스는 볼록‑오목 유틸리티·제한된 전략 공간 등 보다 복잡한 설정으로 확장될 가능성이 높습니다.

• 역사적 배경
  • LIC를 제한 없는 이중선형 게임에서 최초로 보인 연구는 Daskalakis et al., 2018이며, 이후 Mertikopoulos et al., 2019 등이 제한된 상황에 적용했습니다.
  • 선형 수렴은 Mokhtari et al., 2020 에서 처음 제시되었고, Wei et al., 2021 을 통해 제한된 saddle‑point 문제에도 확장되었습니다.
  • 시간 변동 게임에 대한 LIC는 Feng et al., 2023 에서 제한 없는 경우에, Feng et al., 2024 및 Fujimoto et al., 2025b 에서 제한된 경우에 각각 증명되었습니다.

PP(Proximal Point) 방법 기반 분석

다수의 게임 학습 알고리즘은 PP 방법을 기반으로 분석됩니다. PP는 다음 단계 보상 정보를 이용해 선형적으로 수렴하지만, 다음 단계 보상을 필요로 하는 암시적·결합된 특성 때문에 실제 적용이 제한됩니다. 예를 들어, 제한 없는 상황에서는 PP가 Optimistic Gradient Descent‑Ascent (OGDA) 를 평가하는 데 사용됩니다(Mokhtari et al., 2020). 제한된 상황에서도 낙관적 알고리즘은 다음 단계 보상을 활용해 분석됩니다(Rakhlin & Sridharan, 2013; Syrgkanis et al., 2015). 최근에는 PP를 임의의 정밀도로 근사하는 방법도 제안되었습니다(Piliouras et al., 2022; Cevher et al., 2023). 그러나 다음 단계보다 더 먼 미래를 예측하는 것이 어떤 이점을 제공하는지는 아직 명확히 설명되지 않았습니다.

4. 문제 설정

이중선형 게임 모델

우리는 다음과 같은 제한 없는 이중선형 게임을 고려합니다.

[ \min_{x\in\mathbb{R}^{d_X}}\max_{y\in\mathbb{R}^{d_Y}} ; x^{\top} B y, ]

여기서 (B\in\mathbb{R}^{d_X\times d_Y}) 는 정규 행렬(regular matrix) 로 가정합니다. 게임의 해 ((x^{},y^{}))는

[ x^{}=y^{}=0 ]

으로 유일하게 정의됩니다.

각 시간 단계 (t\in{1,\dots,T}) 에서 두 플레이어는 각각 전략 (x_t\in\mathbb{R}^{d_X},;y_t\in\mathbb{R}^{d_Y}) 를 선택하고, 전체 피드백을 통해 다음과 같은 그래디언트를 관찰합니다.

[ u_t = B y_t \quad (\text{플레이어 }X), \qquad v_t = -B^{\top} x_t \quad (\text{플레이어 }Y). ]

피드백 지연 모델

표준 온라인 학습은 즉시 피드백을 가정합니다. 본 연구에서는 고정된 지연 (m\in\mathbb{N}) 가 존재한다는 현실적인 시나리오를 다룹니다. 즉, 플레이어 (X)는 다음 전략을 결정할 때 현재까지 관찰한 (t-m) 단계까지의 보상만을 사용할 수 있습니다.

[ x_{t+1}=f\bigl({x_s}{0\le s\le t},{u_s}{0\le s\le t-m}\bigr). ]

편의를 위해 다음 기호를 정의합니다.

[ z_t = \begin{bmatrix}x_t \ y_t\end{bmatrix}, \qquad w_t = \begin{bmatrix}u_t \ v_t\end{bmatrix}, \qquad w_t = A z_t, ]

여기서 (A = \begin{bmatrix}0 & B \ -B^{\top} & 0\end{bmatrix}) 이며, (\bar A)는 (\bar A^{\top}=\bar A) 를 만족하는 대칭 행렬입니다.

정규 행렬 가정

Assumption 2.1 (Regular Matrix Game).
(B)가 정규 행렬이라면

[ B B^{\top}=B^{\top} B, ]

또는 동등하게 (A)가 스큐 대칭(skew‑symmetric) 이며, 모든 비영벡터 (z\neq0)에 대해

[ \lambda_{\min}|z|^{2}\le z^{\top}\bar A^{2}z\le \lambda_{\max}|z|^{2} ]

을 만족합니다. 여기서 (|\cdot\

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