📝 Abstract

We outline an approach to obtain direct $L^2$ estimates not requiring interpolation for so-called linearized partial sums operators associated with expansions in Walsh functions. We focus specifically on a simpler case of dyadic partial sums but also outline a second approach to proving bounds on general linearized partial sums.

💡 Analysis

1. 연구 배경 및 동기

• Carleson‑Hunt 정리가 Fourier 급수의 점별 수렴을 $L^2 $에서 입증한 이후, 최대 부분합 연산자의 $L^p $‑경계(특히 $p=2 $)는 보통 $L(\log L)^{1+\delta} $와 같은 약한 공간에서 먼저 증명하고 보간을 통해 $L^2 $로 끌어올린다.
• Walsh 함수는 Cantor 군의 문자이며, 그 구조가 이진 디지털(다이아딕) 형태와 일대일 대응한다는 점에서 행렬 이론과 직접 연결될 수 있다. 이는 기존의 복잡한 시간‑주파수 분석을 회피하고, 순수히 선형대수적인 방법으로 최대 부분합의 노름을 다룰 수 있는 가능성을 열어준다.

2. 핵심 아이디어

1. 다이아딕 단계 함수와 DTWH 행렬
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📄 Content

**점별 수렴에 관한 푸리에 급수 연구는 결국 널리 알려진 Carleson‑Hunt 정리[10,22]에 이르렀으며, 이후의 관점은 [15,24,32]와 [5,27]을 참고한다. 이 결과는 고차원 유클리드 공간에서 푸리에 급수와 적분의 수렴을 다루는 추가 연구를 촉발했으며, 예를 들어 [2,3,9,30] 및 최근의 [28,33]; 위상군 설정에서의 수렴, 예를 들어 [13,23,37] 및 최근의 [4,16,17,35]; 최대 부분합 연산자가 유계인 공간, 예를 들어 [29,36]; 그리고 다른 직교 함수에 대한 전개 수렴, 예를 들어 [6,20,25,31] 및 직교 다항식·특수 함수에 대한 전개, 예를 들어 [11,12] 등과 연관된 다양한 질문들을 포함한다.

희소(라쿠나리) 부분합 개념은 위의 각 설정에서 대응되는 수렴 결과를 제공했으며, 여기에는 [1,4,7,14,17] 등도 포함된다. 1924년 Kolmogorov[26]은 Cesàro 평균과의 비교를 통해 (L^{2}[0,1]) 상의 푸리에 급수의 라쿠나리 부분합이 거의 모든 점에서 수렴함을 증명하였다. 이 접근법은 최대 부분합 연산자에 대한 노름 경계(norm bound)를 고려하지 않았다.

본 연구에서는 Walsh 함수 전개의 이진(다이아딕) 부분합 (S_{2^{N}}) 를 다룬다. (L^{2}[0,1]) 함수에 대한 Walsh‑Fourier 급수의 거의 모든 점에서의 수렴은 Carleson의 작업이 발표된 직후 Billard[8]에 의해 입증되었으며(참조: Hunt[21]), 이는 Carleson의 방법을 다른 설정으로 확장한 최초의 사례라 할 수 있다. Walsh 함수가 Cantor 군의 문자라는 사실은 Gosselin[19]이 Vilenkin 군(유사한 구조를 가진 군)으로 Carleson 접근법을 확장하도록 만들었다. 이어서 Gosselin[18]은 C. Fefferman이 [15]에서 제시한 푸리에 급수의 거의 모든 점에서의 수렴에 대한 접근법을 Walsh 설정으로 확장하였다. 2000년 Thiele[38]의 작업을 시작으로 Walsh 설정이 위상공간(파동패킷) 접근법을 적용하기에 보다 깔끔한 맥락을 제공한다는 것이 밝혀졌으며, 이는 부분합 연산자와 특정 다중선형 특이 적분 연산자를 포함하는 연산자 군의 유계성을 다루는 Muscalu 등[34]의 연구와도 연결된다. 여기서 제시하는 선형화된 부분합 연산자의 균등 유계성에 대한 접근법은 기존 방법과 근본적으로 다르며, Walsh 함수의 특수한 성질을 활용한다.

우리의 목표는 앞서 언급한 연구들에 비해 상당히 겸손하다: Walsh 설정에서 제한된 이진 부분합 연산자 군에 대한 연산자 노름의 구체적인 상한을 찾는 것이 목표이다. 궁극적인 목표(본 논문에서는 달성되지 않음)는 이 연산자 군에 대한 예리한 균등 (L^{2}!\to!L^{2}) 경계를 얻는 것이며, 이는 푸리에 급수 연구에서 처음으로 최대 부분합 경계를 직접 (L^{2}) 공간에서 확립하려는 시도이다. 전통적인 Carleson 작업에서는 먼저 (L(\log^{+}L)^{1+\delta}) 공간에서 최대 부분합 경계를 보이고, 이후 보간법(interpolation)으로 (L^{2}) 경계를 얻었다. 여기서는 다이아딕 부분합에 대해 직접적인 (L^{2}) 경계를 얻고자 하며, 최적 노름을 가질 것으로 예상되는 행렬 군을 최적화 방법으로 식별한다. 마지막 절에서는 일반(필수적으로 다이아딕이 아닌) 최대 부분합에 대해서도 직접적인 (L^{2}) 추정치를 제공할 수 있는 확장된 팽창(dilation) 접근법을 간략히 제시한다.

주요 결과와 구상

• Walsh‑Fourier 급수의 다이아딕 부분합에 대해, 우리는 선형화된 다이아딕 부분합 연산자의 최적 상한을 명시적으로 추측(conjecture)하고, 그 타당성을 뒷받침하는 논증과 구체적인 수치 증거를 제시한다.
• 부분합 추정은 다이아딕 구간 (\frac{k}{2^{N}},\frac{k+1}{2^{N}}) ((k=0,\dots,2^{N}-1)) 에서 상수인 다이아딕 스텝 함수에 적용된다. 이는 부분합 연산자의 유계성을 (다이아딕) 절단된 Walsh‑Hadamard 행렬(DTWH 행렬) 군의 유계성 문제로 재표현한다.

논문의 구성

1. 섹션 2에서는 Walsh 함수들을 복습하고, ([0,1]) 구간의 다이아딕 스텝 함수에 대해 특정 선형화된 Walsh‑Fourier(다이아딕) 부분합 연산자를 DTWH 행렬 형태로 나타내는 방법을 보인다. 이어서 Conjecture 1을 제시하는데, 이는 최대 다이아딕 부분합 연산자의 노름에 대한 예리한 상한을 제공한다. 또한, 다이아딕이 아닌 일반 선형화된 부분합 연산자에 대한 보다 느슨한 Conjecture 3도 제시한다.
2. 섹션 3에서는 DTWH 행렬의 열 집합이 가지는 분기(branching) 성질을 기반으로 한 Conjecture 6을 정식화한다. 이는 Conjecture 1을 증명하기 위한 핵심 아이디어다.
3. 섹션 4에서는 Conjecture 6의 특수 경우인 Conjecture 8을 제시하고, 이를 증명하기 위한 감소(reduction) 과정과 그 타당성을 뒷받침하는 증거를 제공한다.
4. 섹션 5에서는 Conjecture 8을 증명하기 위해 필요한 추가 세부 사항들을 채우는 가능한 경로를 개략한다. 여기서 Conjecture 1이 따라오게 된다.
5. 섹션 6에서는 일반적인 절단(측정 가능한, 다이아딕이 아닐 수도 있는) 경우에 대한 Conjecture 3의 증명을 위한 전반적인 단계들을 넓게 논의한다.
6. 부록 A에서는 섹션 4에서 언급된 Conjecture 8을 뒷받침하는 명제의 증명을 제공한다.

행렬 노름에 대한 주의
행렬의 노름이라 하면 **연산자 노름(최대 특이값)**을 의미한다. 가장 큰 절대값을 갖는 고유값이 양수인 대칭 행렬에 대해서는 해당 고유벡터를 노름 고유벡터, 그 고유값을 **노름 고유값(또는 단순히 노름)**이라 부른다.

2. Walsh‑Fourier 급수의 부분합

여기서는 Paley 순서를 사용한다(참조: [38]). (n\in\mathbb{N}) 에 대해 (n)번째 Walsh 함수 (W_{n}(t))는 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.

[ W_{0}(t)=1,\qquad W_{2n}(t)=W_{n}(t),\qquad W_{2n+1}(t)=r_{0}(t),W_{n}(t), ]

여기서 (r_{k}(t)=\operatorname{sign}\sin(2^{k}\pi t))는 Rademacher 함수이다. 또다른 표현은

[ W_{n}(t)=\prod_{k=0}^{\infty} r_{k}(t)^{\varepsilon_{k}(n)}, ]

where (\varepsilon_{k}(n))는 (n)의 이진 전개 (n=\sum_{k\ge0}\varepsilon_{k}(n)2^{k}) 에서 얻어진 비트이다. (\varepsilon_{k}(t))는 (t\in[0,1)) 의 다이아딕 전개 ((t=\sum_{k\ge1}\varepsilon_{k}(t)2^{-k})) 에서 얻어진 비트이며, (t)가 다이아딕 유리수이면 끝이 0으로 마감된다. Walsh 함수들은 ({W_{n}}_{n\ge0})가 (,L^{2}[0,1]) 의 정규 직교 기저를 이룬다.

다이아딕 스텝 함수(레벨 (N) 이하) 즉, 구간 (\bigl[\frac{k}{2^{N}},\frac{k+1}{2^{N}}\bigr)) 에서 상수인 함수들을 기저로 삼을 때, 처음 (2^{N})개의 Walsh 함수는 Walsh‑Hadamard 행렬이라 부르는 (2^{N}\times2^{N}) 행렬의 열들로 나타낼 수 있다. 행렬 (W!H_{N})는 다음과 같이 재귀적으로 정의한다.

• (N=1) 일 때, (W!H_{1})는 Haar 행렬

[ W!H_{1}= \begin{pmatrix} 1 & 1\ 1 & -1 \end{pmatrix} ]

이다.

• 일반 (N) 에 대해서는

[ W!H_{N+1}

\begin{pmatrix} W!H_{N} & W!H_{N}\[2pt] W!H_{N} & -W!H_{N} \end{pmatrix}. ]

그림 1에 (W!H_{5})가 제시되어 있다. 표준 Hadamard 행렬은 Haar 행렬의 (N)중 Kronecker 곱으로 정의된다.

(W!H_{N}(k,n))는 Walsh 함수 (W_{n}(t))를 점 (t=k/2^{N}) 에서 정규화된 표본 (2^{-N/2}W_{n}(t)) 으로 나타낸다 ((n=0,\dots,2^{N}-1,;k=0,\dots,2^{N}-1)). 따라서 (W!H_{N+1})의 처음 (2^{N})열은 두 배의 샘플링 속도 (2^{N+1}) 로 첫 (2^{N}) Walsh 함수를 구분하는 표본이다.

레벨 (N) 의 다이아딕 스텝 함수 공간을

[ D_{N}=\Bigl{,c\in\mathbb{R}^{2^{N}}:;f(t)=\sum_{k=0}^{2^{N}-1}c_{k},\mathbf{1}_{[k/2^{N},(k+1)/2^{N})}(t)\Bigr} ]

라 두고, (c=[c_{0},\dots,c_{2^{N}-1}]^{\mathsf{T}}) 로 표기한다.

Walsh‑Fourier 전개는

[ f(t)=\sum_{n=0}^{\infty}\langle f,W_{n}\rangle,W_{n}(t) ]

이며, 여기서 (\langle f,W_{n}\rangle)는 (L^{2}) 내적이다.

C. Fefferman이 푸리에 급수의 거의 모든 점에서의 수렴을 보이기 위해 사

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