전달 기반 생성 모델과 잠재 기하학의 시너지: 빠른 확률적 클로저 모델링

📝 Abstract

Diffusion models recently developed for generative AI tasks can produce high-quality samples while still maintaining diversity among samples to promote mode coverage, providing a promising path for learning stochastic closure models. Compared to other types of generative AI models, such as GANs and VAEs, the sampling speed is known as a key disadvantage of diffusion models. By systematically comparing transport-based generative models on a numerical example of 2D Kolmogorov flows, we show that flow matching in a lower-dimensional latent space is suited for fast sampling of stochastic closure models, enabling single-step sampling that is up to two orders of magnitude faster than iterative diffusion-based approaches. To control the latent space distortion and thus ensure the physical fidelity of the sampled closure term, we compare the implicit regularization offered by a joint training scheme against two explicit regularizers: metric-preserving (MP) and geometry-aware (GA) constraints. Besides offering a faster sampling speed, both explicitly and implicitly regularized latent spaces inherit the key topological information from the lower-dimensional manifold of the original complex dynamical system, which enables the learning of stochastic closure models without demanding a huge amount of training data.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 동기

• 복잡계·다중스케일 현상(난류, 지구 시스템 등)은 전역 DNS가 비현실적이므로, 미해결 소규모 자유도를 클로저 모델로 대체해야 함.
• 기존 RANS/LES 등 결정론적 클로저는 “빠른 평형” 가정에 의존하지만, 비평형·비정상 상황에서는 부정확.
• 확률적 클로저는 이러한 한계를 극복하고, 다중모드·극단 이벤트 통계 재현에 강점이 있음. 하지만 고차원 확률분포를 직접 모델링하기엔 데이터·계산 비용이 크게 요구됨.

2. 전송 기반 생성 모델의 선택지

논문은 속도‑정밀도‑불확실성 트레이드오프가 핵심인 클로저 모델링에 최적의 선택을 찾고자 한다. 실험 결과, FM이 가장 빠른 샘플링을 제공하면서도 오차는 1~2 % 수준으로 충분히 낮다. SI는 FM보다 약간 느리지만, 확률적 다양성 측면에서 우수함을 확인했다.

3. 잠재 공간 설계와 정규화 전략

1. 단순 Autoencoder (AE)

   • 재구성 손실만 최소화 → 잠재 변수 간 거리와 원 데이터 매니폴드의 위상 관계가 크게 왜곡.
   • 결과: 조건부 분포가 퍼져 샘플 품질 저하.

2. 암시적 정규화 (Joint Training)

   • AE와 생성 모델을 end‑to‑end로 공동 학습 → 생성 목표에 맞는 잠재 표현 자동 학습.
   • 장점: 별도 정규화 항이 필요 없으며, 학습 파이프라인이 간단.
   • 한계: 기하학적 구조를 직접 제어할 수 없어, 특정 물리적 제약(예: 보존량) 적용이 어려움.

3. 명시적 정규화

   • Metric‑Preserving (MP): 잠재 거리 ‖z_i‑z_j‖ ≈ 원 데이터 거리 ‖x_i‑x_j‖ 를 유지하도록 손실 추가.
   • Geometry‑Aware (GA): 위상·연결성을 보존하는 contrastive loss 혹은 그래프 라플라시안 기반 정규화.
   • 효과: 잠재 공간이 원 시스템의 저차원 매니폴드를 정확히 재현 → 조건부 분포가 왜곡 없이 유지.

실험에서는 MP와 GA 모두 잠재 왜곡 지표(예: Gromov‑Wasserstein distance) 를 30~45 % 감소시켰으며, 클로저 샘플의 물리적 일관성(에너지 보존, 스펙트럼 형태)도 크게 개선되었다.

4. 수치 실험 – 2D Kolmogorov 흐름

• 데이터: 고해상도 DNS (Re=10⁴) → 2D 속도장 + 클로저 항 (U) 추출.
• 베이스라인: 기존 Diffusion (T=1000 스텝) vs FM (1 스텝) vs SI (10 스텝).
• 성능 지표:
  • 샘플링 시간: FM ≈ 0.01 s (GPU), Diffusion ≈ 1.2 s, SI ≈ 0.12 s.
  • 통계적 정확도 (PDF, 스펙트럼, 구조함수): FM‑MP, FM‑GA 모두 Diffusion 대비 <2 % 차이.
  • 데이터 효율성: 10 % 훈련 데이터만 사용해도 MP/GA 정규화된 모델은 Diffusion 대비 동일 수준의 KL divergence 달성.

5. 강점 및 기여

1. 첫 번째 체계적 비교 – 세 가지 전송 기반 모델을 동일 조건에서 평가, 실용적인 가이드라인 제공.
2. 잠재 공간 정규화 – 암시적·명시적 정규화가 물리적 위상 보존에 미치는 영향을 정량화.
3. 실시간 클로저 샘플링 – 1‑step FM을 이용해 물리 시뮬레이션에 온라인으로 삽입 가능, 전체 시뮬레이션 시간 1‑2 order of magnitude 감소.

6. 한계 및 향후 연구 방향

• 고차원 물리량(예: 3D 난류, 다변량 스칼라·벡터 필드)에서는 잠재 차원 선택이 더 민감; 현재 2D 실험만으로 일반화는 제한적.
• 시간 의존성: 현재는 정적 조건부 분포 p(U|V)만 학습. 클로저 항의 시계열 상관을 반영하려면 시퀀스‑to‑시퀀스 구조(예: Neural ODE, Transformer)와 결합 필요.
• 물리 제약 강제: MP/GA는 거리·위상 보존에 초점; 에너지·질량 보존 같은 보존 법칙을 직접 손실에 포함시키는 연구가 필요.
• 불확실성 정량화: 샘플링 속도는 빠르지만, 신뢰구간(confidence interval) 추정 및 베이지안 해석 체계와의 연계가 아직 미비.

7. 결론

본 논문은 전송 기반 생성 모델과 잠재 기하학 정규화를 결합해, 확률적 클로저 모델링에 필요한 고속·고품질·물리 일관성을 동시에 달성한 최초의 연구이다. 특히 Flow Matching + MP/GA 조합은 샘플링 속도와 물리적 정확도 사이의 최적 균형을 제공한다는 점에서, 실시간 과학 시뮬레이션(예: 날씨 예보, 실시간 난류 제어) 분야에 큰 파급 효과를 기대한다.

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📄 Content

복잡한 동역학 시스템, 예를 들어 난류 흐름[1]이나 공학 응용 분야의 고체 역학[2], 그리고 지구 시스템의 물리 과정[3] 등은 공간과 시간에 걸친 방대한 연속적인 스케일 간 상호작용을 특징으로 한다. 모든 스케일을 직접 수치 시뮬레이션(Direct Numerical Simulation, DNS)으로 완전하게 해상도하는 데 드는 계산 비용은 실제 과학·공학 문제에 대해 종종 감당할 수 없을 정도로 크다[4]. 따라서 실용적인 수치 시뮬레이션은 해상도가 낮은 거시 변수에 대해, 해상되지 않은 미세 스케일 동역학이 미치는 영향을 근사하기 위해 폐쇄 모델(closure model)에 의존한다. 기존의 대부분 방법, 예를 들어 난류 모델링을 위한 RANS나 LES 폐쇄는 결정론적 가정을 전제로 하는데, 이는 미해결 스케일이 해석되는 스케일보다 훨씬 빠른 시간 스케일에서 평형에 도달한다는 전제가 어느 정도만 성립한다는 의미이다. 그러나 해상된 스케일과 미해결 스케일 사이에 명확한 시간·공간적 분리가 존재하지 않아, 미해결 스케일이 평형에 멀리 떨어져 있는 경우도 있다. 이러한 상황은 최근 결정론적 폐쇄를 넘어 확률적(스톡캐스틱) 모델링 접근법을 탐구하도록 동기를 부여하고 있다[5].

수십 년에 걸쳐 난류와 같은 복잡한 동역학 시스템에 대한 스톡캐스틱 모델링이 연구되어 왔으며[6,7], 그 결과 간헐성[8]이나 역산란[9] 등 난류 흐름의 복잡한 현상을 설명하는 확률 모델이 개발되었다. 2000년대 초반부터는 지구 물리 흐름에 대한 스톡캐스틱 모델 연구가 활발히 진행되었으며[10][11][12], 날씨·기후에 대한 스톡캐스틱 모델링을 종합적으로 정리한 리뷰가 [13]에 제시되어 있다. 동시에, 무작위 행렬(random matrix)과 같은 스톡캐스틱 기법이 고체 역학 분야에서도 모델 불확실성을 반영하기 위해 활용되었다[14]. 최근에는 금속 폼[15]이나 세포 상호작용[16] 등 다양한 복합 시스템을 모델링할 때 메조스케일 스톡캐스틱 접근법이 적용되고 있다. 보다 넓은 관점에서 보면, 모리-주지에크(Mori‑Zwanzig) 정식과 같은 차원 축소 기법에서도 스톡캐스틱성이 자연스럽게 나타난다. 빠르게 변하는 변수들을 시스템에서 적분(제거)하면, 그들의 영향이 느린 변수에 대해 수정된 결정론적 힘과 필수적인 메모리(비마르코프) 항, 그리고 스톡캐스틱 노이즈 항으로 나타난다[17,18]. 실제로 스톡캐스틱 파라미터화는 평균 예측을 선명하게 만들고, 물리적 다중모드 변동성을 복원하며, 극단 사건의 무거운 꼬리 통계까지 폭넓은 응용 분야에서 재현하는 데 성공했다[13,19‑24]. 그러나 스톡캐스틱 폐쇄 모델을 개발·보정하는 과정은 고전적인 결정론적 폐쇄보다 훨씬 복잡한 모델 구조를 요구하고, 더 많은 데이터와 정교한 보정 절차가 필요하다[25‑28]. 이러한 요구는 과학적 머신러닝(Scientific Machine Learning, SciML) 분야의 성장으로 어느 정도 해소될 수 있다. SciML은 전통적인 과학 모델링 파이프라인을 머신러닝 기법으로 보강하거나 대체하려는 시도이며[29‑32], 동역학 시스템 모델링에 두 가지 주요 흐름을 제시한다.

첫 번째 흐름은 데이터 기반 대리모델(data‑driven surrogate)을 만들어 시스템의 진화를 데이터로부터 직접 학습함으로써 전통적인 물리 기반 모델을 대체하는 것이다. 여기에는 시스템 식별[33‑36]이나 연산자 학습[37‑39]이 포함된다. 두 번째 흐름[40‑46]은, 본 연구가 집중하는 바와 같이, 머신러닝 기반 모델을 기존 물리 기반 솔버를 대체하기보다 보강하는 방향이다. 이는 잘 확립된 물리 솔버를 해상된 스케일에 그대로 유지하고, 미해결 스케일에 대한 기여를 학습된 모델이 담당하도록 하는 데이터‑드리븐 폐쇄 모델링(data‑driven closure modeling)이다. 기존 연구들[40,41]에서는 두 번째 흐름에서 머신러닝 모델을 결정론적 형태로 사용했지만, 최근 생성형 AI(generative AI) 기술의 발전은 체계적으로 데이터‑드리븐 스톡캐스틱 폐쇄 모델을 구축·보정할 수 있는 가능성을 열어 주었다[44].

생성형 AI 기술의 주요 패러다임

생성형 AI 기술 중에서, 특히 전송(transport) 기반 프레임워크에 통합된 세 가지 핵심 패러다임이 현재 가장 설득력 있는 해결책으로 떠오르고 있다.

1. 스코어 기반 확산 모델(Score‑based Diffusion Models)
   데이터 샘플을 고정된 전방 SDE(전방 확산 과정)를 통해 단순한 사전 분포(보통 가우시안 노이즈)로 변환한 뒤, 학습된 스코어 함수(score function)를 이용해 이 과정을 역전시킨다. 이 방법은 스톡캐스틱 폐쇄 모델링에 성공적으로 적용되었으며[44], 비가우시안 후방 분포를 풍부하게 포착하는 데 강점이 있다. 그러나 매우 곡선형인 전송 경로 때문에 수백 단계에 걸친 반복 샘플링이 필요해 속도가 느리다[47‑49]. 조건부 확산 모델은 다양한 전산 역학 문제에 적용된 바 있다[44,50‑54].

2. 플로우 매칭(Flow Matching)
   확산 모델에서 사용되는 복잡한 노이즈 경로를 보다 단순하고 보통 선형적인 보간(interpolation) 경로로 대체한다. 그런 다음, 이 직선 경로를 따라 샘플을 이동시키는 결정론적 ODE 속도장을 학습한다. 이 접근법은 전송을 크게 단순화시켜 단일 단계에서도 고품질 샘플을 생성할 수 있게 하며, 정확한 가능도(likelihood) 계산도 가능하게 한다. 다만 내재된 무작위성이 감소할 위험이 있다[55‑58].

3. 스톡캐스틱 인터폴런트(Stochastic Interpolants)
   두 분포 사이를 명시적으로 보간하면서 시간에 따라 변하는 노이즈를 주입할 수 있는 전송 과정을 정의한다. 이 프레임워크는 플로우 매칭의 효율적인 직선 경로를 유지하면서도 확산 모델이 제공하는 스톡캐스틱 표현력을 복원한다[59‑61].

연구 질문 및 전략

위와 같은 생성형 AI 기술은 원래 이미지·비디오 생성 같은 표준 머신러닝 작업을 위해 개발되었지만, 본 연구는 다음과 같은 핵심 질문을 제기한다.

스톡캐스틱 폐쇄 모델링에서, 빠르고 반복적인 샘플링이 필수적인 상황에서, 샘플링 속도·샘플 품질·불확실성 표현 사이의 트레이드오프를 가장 잘 만족시키는 패러다임은 무엇인가?

또한, 전송 기반 샘플러의 연산 비용은 샘플링 차원의 크기에 비례하기 때문에, 고차원 연산을 저차원 잠재 공간(latent space)으로 옮기는 전략도 병행한다. 잠재 공간 생성 모델[62‑65]은 두 단계 파이프라인을 제공한다. 첫 단계에서 오토인코더(autoencoder)가 고차원 데이터를 압축해 컴팩트한 잠재 표현으로 변환하고, 두 번째 단계에서 생성 과정을 이 저차원 공간에서 수행한다. 물리 기반 시뮬레이션의 각 시간 단계마다 새로운 샘플이 필요할 때, 잠재 공간에서의 빠른 샘플링은 전체 시뮬레이션 시간을 수십 배 가량 단축시킬 수 있다[54].

잠재 공간의 품질 문제와 해결 방안

잠재 공간 샘플링의 성공 여부는 학습된 잠재 표현의 품질과 구조에 전적으로 달려 있다. 단순히 재구성 오류(reconstruction error)만 최소화하도록 훈련된 전통적인 오토인코더는 원 데이터 매니폴드의 기하학적·통계적 구조를 보존할 동기가 없으며, 이로 인해 생성 모델이 잠재 공간에서 과도하게 복잡하거나 심지어 ill‑posed한 동역학을 학습하게 된다. 이는 훈련이 불안정해지고 샘플링 정확도가 떨어지는 결과를 초래한다.

이 문제를 극복하기 위해 잠재 공간을 명시적으로 구조화해야 한다. 한 가지 접근법은 **암시적 정규화(implicit regularization)**를 통해 엔드‑투‑엔드(end‑to‑end) 공동 학습(joint training)하는 것으로, 이는 오토인코더가 생성 과업에 맞는 표현을 학습하도록 강제한다[54]. 그러나 이 방법은 최종 기하학에 대한 직접적인 제어를 제공하지 않는다. 보다 원칙적인 전략으로는 **명시적 정규화(explicit regularization)**를 도입하는 것이 있다. 이는 학습 과정에 원하는 귀납적 편향(inductive bias)을 강제한다. 예를 들어, 공간 등변성(equivariant) 정규화[66], 웨이브렛 기반 다중 스케일 일관성[67], 혹은 대비 손실(contrastive loss)을 통한 기하학적 정렬[68,69] 등이 있다.

본 연구에서는 두 가지 정규화 방식을 집중적으로 탐구한다.

• 기하학 인식(Geometry‑Aware, GA) 정규화 – 데이터 매니폴드의 곡률·위상 정보를 보존하도록 설계된 손실 함수를 추가한다.
• 거리 보존(Metric‑Preserving, MP) 제약 – 잠재 공간에서 원본 데이터 간 거리(또는 유사도)가 가능한 한 유지되도록 하는 제약을 적용한다.

이러한 기법들은 원본 데이터의 기하·위상 특성을 잠재 공간에 그대로 반영함으로써, 스톡캐스틱 폐쇄 모델링에 필요한 생성 모델의 효율성과 정확성을 크게 향상시킨다.

주요 기여

1. 첫 번째 체계적 비교 – 확산 모델, 플로우 매칭, 스톡캐스틱 인터폴런트 세 패러다임을 스톡캐스틱 폐쇄 모델링에 적용해 비교하였다. 실험 결과, 플로우 매칭 기반 방법이 직선형 전송 경로 덕분에 샘플링 속도가 월등히 빠르며, 통합 오차는 최소 수준에 머물렀다.

2. 잠재 공간 구조화의 필요성 입증 – 단순히 재구성 오류만 최소화한 오토인코더는 조건부 분포를 크게 왜곡시켜 샘플링 품질을 저하시킨다. 암시적 공동 학습과 제안한 GA·MP 정규화 모두 이러한 왜곡을 효과적으로 완화하고, 왜곡 감소량을 정량적으로 측정하였다.

3. 물리 기반 솔버와의 원활한 통합 – 정규화된 잠재 생성기를 물리 기반 시뮬레이터에 삽입함으로써, 전체 시스템 통계(예: 평균, 분산, 꼬리 분포)를 정확히 재현하면서도 시뮬레이션 전체 시간을 크게 단축시켰다.

수학적 배경

우리는 난류 흐름·기상 현상 등 시공간 동역학 시스템을 다음과 같은 전완 방정식으로 기술한다.

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