주기적 강제에 의한 다상 난류에서 운동에너지와 표면에너지의 상호 전환 메커니즘

📝 Abstract

In multiphase flows, kinetic and interfacial energies coexist, and their mutual conversion can strongly influence the overall energy balance. However, in statistically steady flows these energy reservoirs remain constant, making such conversions undetectable. For them to be observed, a degree of unsteadiness must be introduced, here provided by the deliberate use of a fluctuating time-periodic input of kinetic energy into the system. The main focus of the present work is on the dynamical cycle connecting energy injection, conversion, and dissipation which we explore using numerical simulations of multiphase homogeneous isotropic turbulence, subjected to periodic forcing. The database includes various Reynolds and Weber numbers and volume fractions in the dense regime. To interpret and replicate the observed dynamics, we reformulate the \textit{Ka-Pi-bara} model of \cite{Bos2026} (an extension of the $k $– $ε$ model) in terms of total energy (the sum of kinetic and surface energy), which we further enhance by adding equations for the surface energy and its destruction. This model accurately captures a key feature of turbulence: non-equilibrium effects, seen as the phase lag between kinetic energy and its rate of dissipation, which are found to operate also in multiphase flows. Linearizing the model highlights the various relevant time scales of the system and provides predictions of how different observables are coupled and respond to the energy input. In particular, the model predicts that fluctuations of surface energy and its destruction are in phase, in good agreement with numerical simulations. Therefore, unlike kinetic energy, surface energy remains in equilibrium, indicating the absence of a surface energy cascade.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 필요성

   • 다상 흐름에서 계면 면적은 열·물질 전달에 핵심적인 역할을 하며, 이는 표면에너지(σA)와 직접 연결된다. 기존 연구들은 단일상 난류와 유사하게 큰 스케일에서 에너지가 작은 스케일로 전달되는 “에너지 캐스케이드”를 강조했지만, 다상 흐름에서는 계면 변형·파괴·재결합 과정에서 운동에너지가 표면에너지로 전환되고 다시 회수되는 복합적인 메커니즘이 존재한다.
   • 정적 통계 평균만을 이용하면 이러한 전환이 평균적으로 0이 되므로 관측이 어려워, 비정상(non‑equilibrium) 현상을 의도적으로 유도할 필요가 있다.

2. 방법론

   • 수치 실험: 삼중 주기 경계조건을 갖는 입체 격자에서 Navier‑Stokes 방정식과 인터페이스 캡처(VOF 혹은 Level‑Set) 방법을 결합해 다상 균질 등방성 난류를 시뮬레이션하였다. 강제는 Eswaran‑Pope 방식의 확률적 주기적 입력을 사용했으며, 레이놀즈(Re)와 베버(We) 수, 그리고 부피비(ϕ) 등을 폭넓게 변형하였다.
   • 모델 개발: 기존 Ka‑Pi‑bara 모델은 대·소 스케일 운동에너지 비율 γ를 고정 파라미터로 두어 비정상 효과(에너지와 소산 사이의 위상 지연)를 포착한다. 저자들은 이를 전체 에너지 Eₜ = Eₖ + Eₛ 로 재정의하고, 표면에너지 Eₛ와 그 파괴율 χ에 대한 두 개의 추가 ODE를 도입하였다.
     • 운동에너지 방정식: dEₖ/dt = F − ε − Pₛ
     • 표면에너지 방정식: dEₛ/dt = Pₛ − χ
     • ε와 χ는 각각 k‑ε와 유사한 형태(ε‑방정식, χ‑방정식)로 모델링되며, 모델 파라미터 Cₖ, Cₛ, γ, Cₛ가 필요하다.
   • 선형화 및 전이함수: 평형 상태(Eₖ⁰, Eₛ⁰, ε⁰, χ⁰)를 기준으로 작은 진동을 복소 조화 형태(F′ = F̂ e^{iωt})로 전개해, 각 변수에 대한 이득 α_X(ω)와 위상 ϕ_X(ω)를 해석적으로 도출하였다.

3. 핵심 결과

   • 비정상 효과 재현: 모델은 운동에너지 Eₖ와 소산 ε 사이에 유의미한 위상 지연을 예측한다. 이는 고주파 강제에서는 난류 캐스케이드가 저역통과 필터 역할을 하여 소산이 입력 변동을 따라가지 못하는 “동결(frozen) 한계”와 일치한다.
   • 표면에너지와 파괴율 위상 일치: 선형 해석 결과 ϕ_{Eₛ}=ϕ_{χ}임을 보여주며, 수치 결과에서도 두 변수는 거의 동시위상(phase‑locked)이다. 이는 표면에너지가 즉시 파괴(소멸)와 연결돼 별도의 에너지 전이(캐스케이드)가 존재하지 않음을 의미한다.
   • 레인즈 수 의존성: Kolmogorov 시간 τ_η ∝ (ν/ε)^{1/2}가 레인즈 수가 증가할수록 급격히 감소하므로, 고 Re에서는 ωτ_η → 0가 되어 Eₛ와 ε가 동기화된다. 즉, 고난류에서는 표면에너지 변동이 소산 변동을 거의 그대로 따라간다.
   • 모델 검증: 다양한 Re·We·ϕ 조합에 대해 시뮬레이션 데이터를 모델 예측과 비교했을 때, 이득·위상 모두 정량적·정성적으로 좋은 일치를 보였다. 특히, 표면에너지·파괴율의 위상 일치와 운동에너지·소산 사이의 위상 지연은 기존 단일상 모델이 놓친 다상 특성을 성공적으로 포착한다.

4. 의의 및 한계

   • 학문적 기여:
     • 다상 난류에서 “전체 에너지” 개념을 도입해 기존 단일상 k‑ε 프레임워크를 자연스럽게 확장하였다.
     • 비정상 현상(phase lag)을 다상 시스템에 적용함으로써, 에너지 전이 메커니즘을 보다 포괄적으로 이해할 수 있게 되었다.
   • 실용적 파급: 산업·환경 분야(예: 석유·가스 파이프라인, 화학 반응기, 해양 파도‑공기 상호작용)에서 계면 면적 제어가 핵심인 경우, 주기적 에너지 입력(펌프, 진동기) 설계 시 표면에너지 변동이 즉시 소멸된다는 점을 활용해 효율적인 혼합·분산 전략을 수립할 수 있다.
   • 제한점:
     • 모델 파라미터 Cₛ·γ·Cₖ는 현재 실험/시뮬레이션 기반의 캘리브레이션에 의존하며, 복잡한 물성(가변 표면장력, 온도·농도 의존성)에는 직접 적용하기 어렵다.
     • 선형화 가정에 따라 진폭이 큰 비정상 상황(강한 파동·충격)에서는 예측 정확도가 떨어질 가능성이 있다.
     • 인터페이스 캡처 방법에 따른 수치 확산이 표면에너지 측정에 미치는 영향이 충분히 검증되지 않았다.

5. 향후 연구 방향

   • 비선형·강제 진폭 의존성: 선형 해석을 넘어, 큰 진폭·비선형 강제에 대한 전이함수(transfer function)를 수치적으로 추출하고 모델에 비선형 항을 추가한다.
   • 다중 물성 효과: 가변 표면장력(Marangoni 효과), 온도·농도 구배, 그리고 물질 전이(질량·열 전달)와의 결합을 고려한 확장 모델을 개발한다.
   • 실험 검증: 주기적 강제 다상 흐름(예: 진동식 혼합기, 파동 발생 튜브)에서 PIV·LIF·고속 촬영을 이용해 Eₖ, Eₛ, ε, χ를 직접 측정해 모델 파라미터를 실험적으로 추정한다.
   • 대규모 LES/ DNS 적용: 현재 ODE 기반 모델을 대규모 LES(대규모 난류 시뮬레이션)와 연계해 서브그리드 스케일(SGS) 모델로 활용, 복잡한 산업형 다상 흐름에 적용한다.

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📄 Content

흐르는 불혼합 유체는 자연계와 산업계 모두에서 흔히 관찰됩니다. 많은 경우 두 상 사이의 계면 표면적은 열 및 물질 전달과 같은 현상을 제어하는 중요한 매개변수입니다. 그러나 계면 표면적을 예측하려면 흐름과 계면 사이의 복잡한 결합을 이해해야 하는데, 이는 아직도 큰 도전 과제로 남아 있습니다. 이러한 상호작용은 에너지 수지를 고려할 때 명확해집니다. 계면은 표면 장력에 의해 표면 에너지를 저장하고, 동시에 운동 에너지와 공존합니다[2][3][4][5]. 현재 남아 있는 핵심 질문은 서로 다른 형태의 에너지가 어떻게 상호작용하는가 하는 점입니다.

최근 연구[6][7][8][9][10][11][12][13][14]는 다상 난류에서 에너지 교환을 기술하기 위한 일관된 프레임워크로 점차 수렴하고 있습니다. 이 프레임워크에 따르면, 큰 스케일에서 주입된 운동 에너지의 일부는 작은 스케일로 전달(카스케이드)되며, 이는 단일 상 흐름과 유사합니다. 동시에 표면 장력이 존재할 경우, 주입된 에너지의 일부가 계면이 점점 왜곡되고 유체 구조가 파괴됨에 따라 계면(또는 표면) 에너지로 전환됩니다. 더 작은 스케일에서는 계면이 이완되고, 유체 구조가 다시 합쳐지면서 표면 에너지가 다시 운동 에너지로 전환될 수 있습니다. 이러한 난류 카스케이드와 에너지 전환 과정은 가장 작은 스케일까지 이어지며, 최종적으로 운동 에너지는 열로 소산됩니다.

따라서 다상 흐름은 에너지 주입·카스케이드·전환·소산이라는 복합적인 상호작용으로 특징지어집니다. 정상 상태에서는 운동 에너지와 표면 에너지가 모두 일정하게 유지되고, 에너지 전환은 사라지며 두 에너지 저장소와 에너지 주입·소산 사이에 평형이 이루어집니다(단일 상 흐름과 마찬가지). 그러나 난류 흐름에서는 정상 상태가 통계적으로만 정의될 수 있습니다; 긴 시간에 걸친 평균을 취해야만 정상 상태를 말할 수 있습니다. 순간적으로는 공간 평균이 비정상적이며, 난류는 “비평형” 시스템의 전형적인 예가 됩니다. 여기서 주입된 에너지는 소산되기 전까지 스케일을 가로질러 카스케이드되는 데 유한한 시간이 필요합니다[예: [15][16][17]]. 비평형 효과는 특히 운동 에너지 변동과 그 소산율 사이의 시간 지연으로 나타납니다.

다상 난류에서는 에너지 전환이 에너지 전달과 동시에 일어나기 때문에, 아직 충분히 탐구되지 않은 비전형적인 비평형 거동을 보일 가능성이 있습니다. 현재까지는 Mukherjee 등[6]이 운동 에너지 주입·표면 에너지 전환·열 소산을 연결하는 흥미로운 동적 사이클을 밝혀낸 것이 전부입니다. 본 연구는 다음 세 가지 주요 목표를 가지고 있습니다. (i) 비정상적인 다상 흐름에서 에너지 교환을 분석하고, (ii) 운동 에너지와 표면 에너지의 결합 및 소산·파괴 과정을 검토하며, (iii) 두 형태의 에너지 모두에 대해 다상 난류 흐름의 비평형 특성을 명확히 규명합니다.

본 연구에서는 흐름을 고의적으로 비정상적인(비정상) 상태로 유지하면서도 의미 있는 통계 분석이 가능하도록 설계했습니다. 이를 위해 주기적으로 강제된 난류를 고려했으며, 전통적인 시간 평균 대신 위상 평균(phase averaging)을 사용할 수 있습니다. 이러한 구성은 비평형 효과를 조사하거나[18,19] 대규모 스케일의 간헐성(intermittency)을 탐구하는 데 널리 활용되어 왔습니다[20,21]. 또한 일점·이점 폐쇄 모델(one‑point and two‑point closure models)의 편리한 벤치마크 역할도 수행합니다[예: 1, 22‑24].

주기적으로 강제된 흐름은 두 가지 극한 응답을 보입니다. 매우 낮은 강제 주파수에서는 시스템이 에너지 입력 변동에 충분히 적응할 시간이 있어, 일련의 국부적인 정상 상태를 연속적으로 통과합니다(정적 한계, static limit). 반대로 매우 높은 강제 주파수에서는 난류 카스케이드가 저역통과 필터(low‑pass filter) 역할을 하여, 소산이 에너지 입력 변화에 반응하지 못하게 됩니다(동결 한계, frozen limit). 이러한 극단적인 경우는 비교적 쉽게 예측할 수 있지만, 본 연구가 중점적으로 다루는 중간 강제 주파수 영역에서는 보다 흥미로운 동역학이 나타납니다.

우리는 삼중 주기적 경계조건을 갖는 정방형 도메인에서 조화 강제(harmonic forcing)를 가한 다상 난류를 표준 Navier‑Stokes 해석기와 인터페이스 캡처 방법(interface‑capturing method)을 결합해 수치 시뮬레이션했습니다. 결과 흐름은 균질하고 등방성(isotropic)입니다. 수치 관찰을 해석·재현하기 위해, 우리는 운동 에너지와 표면 에너지 사이의 결합 및 각각의 소산·파괴 메커니즘을 포함하는 모델을 제안합니다. 이 모델은 비평형 효과를 포착하기 위해 최근 확장된 k‑ε 프레임워크, 즉 Ka‑Pi‑bara 모델[1]을 기반으로 합니다.

다상 흐름으로의 확장은 두 단계로 진행됩니다. 첫째, 총 에너지(kinetic + surface)를 변수로 재정의하여, 인터페이스가 운동 에너지 소산률에 미치는 영향을 반영합니다. 둘째, 표면 에너지와 그 파괴에 대한 추가 진화 방정식을 도입하는데, 이는 k‑ε 모델에서 운동 에너지와 그 소산률을 기술하는 방정식과 직접적인 유사성을 가집니다. 모델을 선형화하면, 에너지 입력 변화에 대한 각 관측값(관측량)의 이득(gain)과 위상 지연(phase lag)을 예측할 수 있습니다.

논문의 구성은 다음과 같습니다. §II에서는 모델 유도와 선형화 해를 제시하고, §III에서는 수치 절차와 탐색한 파라미터들을 상세히 설명합니다. §IV에서는 결과를 정리·논의하고, §V에서는 주요 결론을 요약합니다.

1. 표준 k‑ε 모델

단일 상, 균질, 강제 난류에 대한 표준 k‑ε 모델[25]은 다음과 같이 기술됩니다.

[ \frac{dE_k}{dt}=F-\varepsilon, \qquad \frac{d\varepsilon}{dt}=C_1\frac{\varepsilon}{E_k}\bigl(F-\varepsilon\bigr)-C_2\frac{\varepsilon^2}{E_k}, ]

여기서 (E_k=\langle\rho|\mathbf{u}|^2\rangle)는 운동 에너지이며, 꺽쇠는 부피 평균을 의미하고 (\rho)는 밀도입니다. 운동 에너지 소산률은 (\varepsilon=\langle\mu \mathbf{S}:\mathbf{S}\rangle)로 정의되며, (\mu=\nu/\rho)는 동점성계수, (\nu)는 운동 점성계수, (\mathbf{S})는 변형률 텐서입니다. 임의의 양 (X)에 대한 시간 미분은 (\dot X)로 표기합니다.

식(1a)는 정확하지만, 식(1b)는 (\varepsilon)의 시간 변화를 모델링한 방정식이며, 모델 파라미터 (C_1, C_2)를 필요로 합니다. k‑ε 모델은 강제 (F)를 입력으로 하여 운동 에너지와 소산을 추정하는 폐쇄된 상호 연결된 상미분 방정식(ODE) 집합입니다. 정상 상태에서는 (1a)의 해가 (F_0=\varepsilon_0) (첨자 0은 정상 상태 값을 의미)이며, (1b)가 정상 상태와 일치하려면 (C_1=C_2=C_k)이어야 합니다. 따라서 k‑ε 모델은

[ \frac{dE_k}{dt}=F-\varepsilon,\qquad \frac{d\varepsilon}{dt}=C_k\frac{\varepsilon}{E_k}\bigl(F-\varepsilon\bigr) ]

로 다시 쓸 수 있습니다.

시간‑주기 강제 난류에 대해, k‑ε 모델은 강제와 소산 사이에 유한한 시간 지연을 예측하지만, (E_k)와 (\varepsilon)가 위상이 맞는다고 가정합니다. 이는 비평형 동역학을 관측한 다수의 실험·시뮬레이션 결과와 모순됩니다.

2. Ka‑Pi‑bara 모델

Bos와 Bos‑Araki[1,26]는 강제 균질 난류의 스펙트럼 균형 방정식에서 출발해, 대규모 운동 에너지 (E_k^{<})와 소규모 운동 에너지 (E_k^{>})를 다음과 같이 구분했습니다.

[ \frac{dE_k^{<}}{dt}=F-\Pi,\qquad \frac{dE_k^{>}}{dt}= \Pi, ]

여기서 (\Pi)는 스케일 간 에너지 전송이며, (\Pi\sim E_k^{<,3/2}/L)라는 테일러식 근사를 적용해 Ka‑Pi‑bara 모델을 도출했습니다[식(59) of [1]]:

[ \frac{dE_k}{dt}=F-\Pi,\qquad \frac{d\Pi}{dt}=C_k\frac{\Pi}{E_k}\bigl(F-\Pi\bigr), ]

여기서 (\gamma=E_k^{>}/E_k^{<})는 소규모와 대규모 운동 에너지 비율이며, (\gamma)는 시간에 대해 일정하다고 가정합니다. (\gamma=0)이면 원래 k‑ε 모델로 회귀합니다. 따라서 (\gamma)가 존재함으로써 (E_k)와 (\varepsilon) 사이의 위상 지연이 모델에 내재됩니다.

3. 다상 흐름으로의 확장

이제 위 프레임워크를 다상 흐름에 적용합니다. 여기서는 운동 에너지 (E_k)와 함께, 계면 장력 (\sigma)에 의해 정의되는 표면 에너지 (E_s)가 존재합니다.

[ E_s = \sigma A, ]

(A)는 두 상 사이의 단위 부피당 계면 면적 밀도이며, 통계적으로 균질한 흐름에서는 질량·열 교환이 없을 때 운동 에너지 진화식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다[예: 4,5,14,27‑29]:

[ \frac{dE_k}{dt}=F - \varepsilon - \underbrace{\sigma\frac{dA}{dt}}_{\displaystyle \text{운동→표면 에너지 전환}}. ]

전체 에너지 (E_t = E_k + E_s)에 대해선

[ \frac{dE_t}{dt}=F-\varepsilon, ]

즉, 다상 난류의 에너지 예산은 전체 에너지 (E_t)를 사용하면 단일 상 난류와 형태가 동일합니다. 표면 에너지는 자체적인 소산이 없으며, 모든 비가역 과정은 점성에 의해 발생하는 운동 에너지 소산을 통해 일어

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