빛의 파동덩어리, 빛보다 느리게·빠르게 움직인다? – ‘에너지‑운동량 속도’의 새로운 해석

📝 Abstract

We consider rectilinear free-space propagation of electromagnetic wavepackets using electromagnetic field theory, scalar wavepacket propagation, and quantum-mechanical formalism. We demonstrate that spatially localized wavepackets are inherently characterized by a subluminal group velocity and a superluminal phase velocity, whose product equals $c^2 $. These velocities are also known as the ’energy’ and ‘momentum’ velocities, introduced by K. Milton and J. Schwinger. We illustrate general conclusions by explicit calculations for Gaussian beams and wavepackets, and also highlight subtleties of the quantum-mechanical description based on the ‘photon wavefunction’.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 동기

빛의 전파 속도는 위상, 그룹, 신호, 에너지‑전달 등 여러 종류가 존재한다는 점은 오래전부터 알려져 있다. 물질과의 상호작용, 진공의 양자효과, 구조화된 파동패턴 등 복잡한 메커니즘이 초광속·아광속 현상을 일으킬 수 있다. 그러나 저자들은 가장 단순한 경우—즉, 내부 구조가 전혀 없는 자유공간 파동덩어리—에 초점을 맞추어, 공간적 제한(전이적 수축) 자체가 속도 변화를 야기한다는 점을 강조한다. 이는 실험적으로도 확인된 바 있으며, 특히 단일 광자 수준에서의 ‘전파 지연’ 현상과 직접 연결된다.

2. 핵심 이론적 전개

• 에너지‑운동량 관계: 두 속도의 곱이 언제나 (c^2)임을 보이는 것은 상대론적 질량‑에너지 관계와 직접 연결된다. 즉, 파동덩어리의 전체 에너지와 운동량이 보존되는 한, 속도 곱은 불변량이다.
• 전이적 제한과 속도 감소: Gaussian 빔의 경우, 전이적 파라미터 (w_0) (빔 waist) 혹은 Rayleigh 길이 (z_R) 가 작을수록 그룹 속도는 더 크게 감소한다. 구체적으로 (v_g = c\bigl(1 - \frac{1}{k^2 w_0^2}\bigr)) (Eq. 8) 형태가 도출된다.

3. 실험적·수치적 검증

• Gaussian 빔 시뮬레이션: 정확한 해(Ref. 30)와 paraxial 근사(Ref. 31)를 이용해 파동덩어리 중심의 이동을 추적하였다. 결과는 6 Rayleigh 길이 정도 전파 후 약 반 파장 정도의 지연을 보이며, Eq. 8에서 예측한 서브라이트 그룹 속도와 일치한다.
• 위상 전파 확인: 빔 축을 따라 위상면 간격이 평면파보다 넓어지는 현상이 관찰돼, 초광속 위상 속도가 실질적으로 존재함을 시각적으로 확인하였다.

4. 양자역학적 논의와 위치 연산자 문제

• Riemann‑Silberstein 형식은 전자기장을 ‘광자 파동함수’ 로 재해석한다. 여기서 속도 연산자는 스핀 연산자와 연결되지만, 실제 물리적 의미는 전파 방향이다.
• 전통적인 위치 연산자 ( \mathbf{r} )는 전자기장의 무발산 조건(∇·E=∇·H=0)과 충돌한다. 저자들은 투과성(projection) 위치 연산자 ( \mathbf{r}’ = \mathbf{r} + (\mathbf{p}\times\hat{\mathbf{S}})/p^2 ) 를 도입해, 기대값이 동일함을 보이며, 이 연산자의 속도는 운동량과 정확히 일치한다는 점을 강조한다.

5. 강점

1. 다중 관점 통합: 고전 전자기학, 스칼라 파동, 양자역학을 일관되게 연결, 물리적 직관을 강화.
2. 명확한 수식적 증명: (v_g v_{ph}=c^2) 관계를 다양한 방식(에너지‑운동량, Fourier, R‑S)으로 재도출, 결과의 보편성 입증.
3. 실제 파라미터와 연결: Gaussian 빔의 전이적 파라미터와 속도 차이를 정량화, 실험 설계에 직접 활용 가능.

6. 약점 및 개선점

7. 향후 연구 방향

1. 다중 모드 파동덩어리: 다중 주파수·다중 전이적 모드가 혼합된 경우, 평균 속도와 개별 모드 속도 간의 관계를 정량화.
2. 양자 광학 실험: 단일광자 레이저와 초고속 검출기를 이용해, 그룹‑위상 속도 차이를 직접 측정하고, ‘광자 파동함수’의 기대값을 검증.
3. 비선형 매질과의 상호작용: 자유공간에서의 결과를 비선형 광학 매질(예: Kerr, 광섬유)과 결합해, 속도 변조와 신호 전송 한계 탐구.
4. 위상‑공간 구조와 위상속도: 구조화된 위상(예: 광학 토러스, 스핀-오빗 결합)에서 위상 속도가 어떻게 변형되는지 연구, ‘초광속 위상’ 현상의 새로운 응용 가능성 탐색.

8. 결론

이 논문은 **‘에너지‑운동량 속도’**라는 고전·양자역학적 개념을 통해, 공간적으로 제한된 자유공간 파동덩어리가 그룹 속도는 서브라이트, 위상 속도는 초라이트 로 전파한다는 사실을 체계적으로 증명한다. 특히, 속도 곱이 언제나 (c^2) 라는 보편적 관계는 다양한 물리적 상황에 적용될 수 있는 강력한 제약조건을 제공한다. 향후 실험적 검증과 비가우시안·비선형 시스템으로의 확장이 이루어진다면, 광통신, 양자 정보 전송, 그리고 고속 광학 측정 기술에 새로운 통찰을 제공할 것으로 기대된다.

📄 Content

빛의 전파에서 서브루미널 및 슈퍼루미널 속도

빛의 전파에서 서브루미널(빛보다 느린) 및 슈퍼루미널(빛보다 빠른) 속도는 수십 년에 걸쳐 과학자들의 흥미를 끌어 왔습니다¹.

빛 전파를 특징짓는 속도는 위상 속도, 군속도, 신호 속도, 에너지 전달 속도 등 여러 종류가 있습니다. 또한, 서브루미널 또는 슈퍼루미널 현상을 일으키는 물리적 메커니즘도 다양합니다: 물질과의 상호작용²³⁴⁵⁶, 비자명한 양자 진공 효과⁷, 구조화된 자유공간 빛에서의 국부 위상 구배⁸⁻¹⁰, 특수하게 설계된 시공간 파동덩어리¹¹¹¹²¹³, 그리고 횡방향으로 제한된 빔에서 평면파 푸리에 성분의 기울기¹⁴¹⁵¹⁶¹⁷¹⁸¹⁹²⁰²¹²²³.

본 연구에서는 위의 경우 중 가장 단순한 상황, 즉 내부 구조가 설계되지 않은 전자기 파동덩어리의 자유공간 전파를 다룹니다. 요구되는 유일한 조건은 파동덩어리의 적절한 공간적 제한이며, 이는 반드시 운동량(파수벡터) 공간에서의 대응되는 확산을 수반합니다. 이론적으로 설명되고 실험적으로 관찰된 바와 같이¹⁷¹⁸²⁰²³, 이러한 파동덩어리 혹은 단일 광자는 횡방향 제한에 의해 결정되는 서브루미널 군속도 (v_g<c) 로 전파됩니다. 또한, 파동덩어리는 슈퍼루미널 위상 속도 (v_{\rm ph}>c) 로도 특징지어질 수 있으며, 이때 (v_g v_{\rm ph}=c^{2}) 가 성립합니다(그림 1 참조).

우리는 여러 보완적 접근법을 통해 이 결과의 기원을 추적하고, 상대론적 장 이론, 양자역학, 그리고 이전 연구들 사이의 유용한 연결고리를 확립합니다.

1. 상대론적 장 이론을 통한 전개

전기·자기학을 상대론적 장 이론에 기반해 교과서적으로 전개하면[24][25][26] 전자기장은 에너지 밀도 (U)와 운동량 밀도 (\mathbf P) (포인팅 벡터에 비례) 로 특징지어집니다. 자유공간에서 국소화된 파동덩어리가 전파될 때, 이 양들의 전체 적분값은 보존됩니다. 노터 정리에 따르면, 에너지와 운동량 보존은 각각 시간 및 공간 평행이동에 대한 불변성에서 비롯됩니다. 또한, 각운동량과 ‘부스트 운동량(Boost momentum)’에 대한 보존법칙이 존재하는데, 이는 각각 공간 회전 및 시공간 회전(즉, 로렌츠 부스트) 불변성에 대응합니다.

파동덩어리 전파는 부스트 운동량 보존[23, 26]과 밀접하게 연관되며, 다음과 같이 기술될 수 있습니다.

[ \frac{d}{dt}\int \mathbf r,U,d^{3}r = \int \mathbf P,d^{3}r . \tag{1} ]

식(1)로부터 에너지 중심 (\mathbf R_{E}\equiv \frac{\int \mathbf r,U,d^{3}r}{\int U,d^{3}r}) 가

[ \frac{d\mathbf R_{E}}{dt}= \frac{\int \mathbf P,d^{3}r}{\int U,d^{3}r}\equiv \mathbf v_{E} \tag{2} ]

이라는 운동 방정식을 만족함을 쉽게 확인할 수 있습니다. 여기서 전체 에너지 (\int U,d^{3}r) 는 시간에 따라 변하지 않는 보존량임을 이용했습니다. 식(2)는 점 입자에 대한 상대론적 운동 방정식 ( \mathbf v = c^{2}\mathbf p/E) 의 장 이론적 아날로그[27]입니다. 중요한 점은, 국소화된 파동덩어리의 경우 (\mathbf v_{E}) 가 서브루미널이라는 사실입니다. 이는 전자기 에너지와 운동량 밀도의 명시적 식

[ U=\frac{E^{2}+H^{2}}{2},\qquad \mathbf P=\frac{\mathbf E\times \mathbf H}{c} ]

(가우시안 단위, 불필요한 상수는 생략) 로부터 직접 확인할 수 있습니다. 명백히 (|\mathbf P|c\le U) 이며, 등호는 ‘null field’(즉, (\mathbf P) 가 일정한 방향을 갖는 경우)에서만 성립합니다. 따라서 (|\mathbf v_{E}|=c) 가 되는 경우는 평면파와 같이 공간적으로 비국소화된 파동에 한정됩니다.

‘에너지 속도’(2)와 유사하게, 밀턴·슈윙어는 교과서[26]에서 ‘운동량 속도’를 도입했습니다. 전자기계의 비렐 정리를 이용해

[ \frac{d}{dt}\int \mathbf r,(\mathbf P!\cdot!\mathbf P),d^{3}r = 2c^{2}\int \mathbf P,d^{3}r \tag{3} ]

를 얻었습니다. 이를 바탕으로 ‘운동량 중심’ (\mathbf R_{P}\equiv\frac{\int \mathbf r,(\mathbf P!\cdot!\mathbf P),d^{3}r}{\int (\mathbf P!\cdot!\mathbf P),d^{3}r}) 를 정의하고, 시간 미분과 식(3), 전체 운동량 보존 (\int \mathbf P,d^{3}r) 을 이용하면

[ \frac{d\mathbf R_{P}}{dt}= \mathbf v_{P},\qquad \mathbf v_{P}=c^{2}\frac{\int \mathbf P,d^{3}r}{\int (\mathbf P!\cdot!\mathbf P),d^{3}r} \tag{4} ]

를 얻습니다. 식(2)와 (4)를 비교하면 (\mathbf v_{P}!\cdot!\mathbf v_{E}=c^{2}) 가 성립함을 알 수 있습니다. 따라서 국소화된 파동덩어리에서 ‘운동량 속도’의 종축 성분은 슈퍼루미널이 됩니다.

밀턴·슈윙어는 식(1)–(4)로부터 “에너지와 운동량 흐름이 단일 방향으로만 일어난다면, 두 물리량은 동일한 속도 (v_{E}=v_{P}=v) 로 운반될 것이며, (|v|=c) 가 될 것”이라고 결론지었습니다[26]. 그러나 이 논리는 내재적 모순을 포함합니다. 실제로 국소화된 전자기 파동덩어리에서는 에너지 흐름이 단일 방향으로 제한되지 않습니다. 파동덩어리는 여러 평면파가 서로 다른 방향으로 간섭해 형성되며, 전파 과정에서 회절하면서 에너지는 종축 및 횡축 모두로 흐릅니다[28]. (비회절 베셀 빔[29]은 제곱 적분 가능하지 않아 진정한 국소화된 장이 아닙니다.)

2. 스칼라 파동덩어리와 군·위상 속도

다음으로, 서로 다른 파수벡터와 주파수를 갖는 여러 평면파가 합성된 고전적 파동덩어리를 고려합니다. 여기서는 파동함수 (\psi(\mathbf r,t)) 로 기술되는 스칼라 파동덩어리를 다루며, 그 푸리에 성분을 (\psi(\mathbf k),e^{-i\omega(\mathbf k)t}) 로 표기합니다. 푸리에(운동량) 공간에서 에너지, 운동량, 위치 연산자는 각각 (\omega), (\mathbf k), (i\nabla_{\mathbf k}) 에 대응합니다. 따라서 에너지 중심은

[ \mathbf R_{E}= \frac{\int \psi^{*}(\mathbf k),i\nabla_{\mathbf k}\psi(\mathbf k),d^{3}k}{\int |\psi(\mathbf k)|^{2},d^{3}k} \tag{5} ]

로 쓸 수 있습니다. 이를 시간 미분하면

[ \frac{d\mathbf R_{E}}{dt}= \frac{\int |\psi(\mathbf k)|^{2},\nabla_{\mathbf k}\omega(\mathbf k),d^{3}k}{\int |\psi(\mathbf k)|^{2},d^{3}k} \equiv \langle \mathbf v_{g}\rangle , \tag{6} ]

여기서 (\mathbf v_{g}=\partial\omega/\partial\mathbf k = c,\mathbf k/k) 는 파동벡터 공간에서의 국부 군속도입니다. 식(6)은 에너지 중심 속도가 파동덩어리의 평균 군속도와 동일함을 보여 주며, 이는 식(2)의 운동량 표현과 일치합니다.

위상 속도는 전파 방향 성분에 대한 평균 파수와 평균 주파수의 비율로 정의됩니다:

[ \langle v_{\rm ph}\rangle = \frac{\langle \omega\rangle}{\langle k_{z}\rangle}. \tag{7} ]

식(7)은 ‘운동량 속도’(4)와 완전히 유사하므로

[ \langle v_{\rm ph}\rangle ,\langle v_{g}\rangle = c^{2} \tag{8} ]

이 성립합니다.

파라시알 가우시안 파동덩어리

(z) 축을 따라 전파하는 파라시알 가우시안 파동덩어리를 구체적으로 계산해 보겠습니다. 파동덩어리의 전파 특성은 전적으로 횡방향 제한에 의해 결정되며[23], 여기서는 횡방향만 국소화된 단색 가우시안 빔을 고려합니다.

(k)-공간을 원통 좌표 ((k_{\perp},k_{z})) 로 두고, 가우시안 스펙트럼을

[ \psi(k_{\perp})\propto \exp!\bigl[-\tfrac{1}{4}k_{\perp}^{2}w_{0}^{2}\bigr], \qquad w_{0}\gg k^{-1} \tag{9} ]

이라 두면, 파라시알 근사 (\displaystyle k_{z}\simeq k-\frac{k_{\perp}^{2}}{2k}) 를 이용해 식(6)으로부터 평균 군속도를 얻을 수 있습니다:

[ \langle v_{g}\rangle = c\Bigl(1-\frac{1}{k^{2}w_{0}^{2}}\Bigr) = c\Bigl(1-\frac{1}{2k^{2}w_{0}^{2}}\Bigr)^{!2} \approx c\Bigl(1-\frac{1}{2k^{2}w_{0}^{2}}\Bigr). \tag{10} ]

여기서 (z_{R}=k w_{0}^{2}/2) 는 레일리 범위이며, 이는 빔 회절의 특성적인 종축 길이입니다. 식(10)은 파라시알 가우시안 파동덩어리가 거리 (2\pi z_{R}) (약 6 레일리 범위) 를 전파한 뒤 파장 절반만큼 지연된다는 것을 의미합니다(그림 2). 이는 Ref. 17, 20과 일치하지만, Ref. 23에서 제시한 지연 효과는 절반에 불과합니다. 차이는 Ref. 23이 ((x,z)) 평면의 2D 가우시안 파동덩어리를 다룬 반면, 여기서는 완

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