“총변동(TV) 페널티와 HAL‑MLE를 결합한 일변량 로그‑스플라인 밀도 추정: 이론·계산·실험 전면 분석”

📝 Abstract

We study nonparametric maximum likelihood estimation of probability densities under a total variation (TV) type penalty, sectional variation norm (also named as Hardy-Krause variation). TV regularization has a long history in regression and density estimation, including results on $L^2$ and KL divergence convergence rates. Here, we revisit this task using the Highly Adaptive Lasso (HAL) framework. We formulate a HAL-based maximum likelihood estimator (HAL-MLE) using the log-spline link function from \citet{kooperberg1992logspline}, and show that in the univariate setting the bounded sectional variation norm assumption underlying HAL coincides with the classical bounded TV assumption. This equivalence directly connects HAL-MLE to existing TV-penalized approaches such as local adaptive splines \citep{mammen1997locally}. We establish three new theoretical results: (i) the univariate HAL-MLE is asymptotically linear, (ii) it admits pointwise asymptotic normality, and (iii) it achieves uniform convergence at rate $n^{-(k+1)/(2k+3)}$ up to logarithmic factors for the smoothness order $k \geq 1 $. These results extend existing results from \citet{van2017uniform}, which previously guaranteed only uniform consistency without rates when $k=0 $. We will include the uniform convergence for general dimension $d$ in the follow-up work of this paper. The intention of this paper is to provide a unified framework for the TV-penalized density estimation methods, and to connect the HAL-MLE to the existing TV-penalized methods in the univariate case, despite that the general HAL-MLE is defined for multivariate cases.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 동기

• 총변동 페널티는 회귀·밀도 추정에서 과도한 진동을 억제하고, 차원 저주에 강인한 특성을 제공한다. 기존에는 로컬 적응 스플라인(LAS), 트렌드 필터링(TF), TV‑패널티 로그‑스플라인(PLSDE) 등으로 구현돼 왔다.
• HAL은 다변량 càdlàg 함수에 대해 섹셔널 변동 노름을 이용해 균등 일관성과 점별 정규성을 보장하지만, 실제 밀도 추정에 적용된 사례는 드물다.
• 본 논문은 HAL의 강점을 로그‑스플라인 링크와 결합해 밀도 추정에 적용함으로써, 기존 TV‑패널티 방법과 이론적·계산적 통합을 시도한다.

2. 주요 방법론

📄 Content

한국어 번역 (최소 2000자)

우리는 compact support(유한 구간) 위에서 비모수 밀도 추정(nonparametric density estimation)을 고려한다. 확률변수 (X\sim P_{0}) 가 주어지고, 여기서 (P_{0})는 절대연속이며, i.i.d. 표본 (x_{1:n})을 (P_{0})로부터 관측한다. 우리의 목표는 근본적인 분포 (P_{0})의 진짜 밀도 함수 (p_{0})를 추정하는 것이다. 본 논문은 변분 페널티(variational penalty) 를 이용한 일변량 밀도 추정에 대한 이론적 분석과 그 응용을 체계적으로 제공한다. 통계 모델 (P_{0})는 비모수이며, 다만 (p_{0})가 알려진 구간 ([a,b])에 지원(support)하고, cadlag(좌연속·우극한) 함수이며 bounded variation norm(유계 변동 노름)을 가진다고 가정한다(아래에서 자세히 설명). 우리의 프레임워크는 다변량 경우에도 자연스럽게 확장된다.

1. 배경

비모수 밀도 추정 방법에는 커널 기반 접근법, 스플라인, 웨이블릿 등이 있다. 그 중 커널 밀도 추정(Kernel Density Estimation, KDE) 은 구현이 간단하지만 다음과 같은 단점을 가진다.

1. 급격히 변하는 영역을 제대로 포착하지 못한다.
2. 다변량 상황에서 차원의 저주(curse of dimensionality) 로 인해 성능이 급격히 저하된다.

KDE의 첫 번째 단점은 선형 스무더(linear smoother) 로서, 적합값이 관측된 반응값에 선형적으로 의존한다는 점에서 비롯된다. 이를 해결하기 위해 총 변동(total variation, TV) 페널티가 스플라인 회귀에 도입되었다. Mammen & Van De Geer(1997)는 지역 적응 스플라인(Local Adaptive Splines, LAS) 을 제안하며 (L_{2}) 수렴을 보였고, Tibshirani(2014)는 제한 LAS 와 트렌드 필터링(Trend Filtering, TF) 을 일반적인 Lasso 회귀 형태로 정식화하였다. 이후 TV 페널티는 밀도 추정 문제에도 적용되었다(예: Bak et al., 2021; Sadhanala et al., 2024).

Bak et al.(2021)에서 제안한 TV‑penalized logspline density estimation (PLSDE) 은 로그스플라인 방법(Kooperberg & Stone, 1991, 1992)의 진동 문제(oscillation issue) 를 해결하고자 하며, 다음과 같은 형태의 모델을 사용한다.

[ p(x)=\exp{f(x)},\qquad f(x)=\sum_{j}\beta_{j},\phi_{j}(x), ]

여기서 (\phi_{j})는 일반적으로 cubic B‑splines 로 구성된다. 파라미터 (\beta)는 최대우도(maximum likelihood) 로 추정되며, AIC·BIC와 같은 기준에 의해 모델 선택이 이루어진다. 로그스플라인 모델에 대한 이론적 분석은 Stone(1990)에서 제공된다. Bak et al.(2021)은 TV 페널티와 BIC 기준을 이용해 일변량 KL‑divergence 수렴을 증명하고, 이를 이변량 경우로 일반화하였다. 그러나 PLSDE는 고차 연속성(higher‑order continuity) 을 가정하지 않으면 다변량으로 확장하기 어렵다. 이는 차원의 저주와 동일한 문제이며, TV 페널티가 도입되지 않은 다변량 스플라인에서도 같은 어려움이 발생한다. 또 다른 문제는 PLSDE가 균일(knots) 배치를 전제로 하는데, 이는 다변량 상황에서 바람직하지 않다(섹션 2에서 논의).

2. Highly Adaptive Lasso (HAL)와 HAL‑MLE

Highly Adaptive Lasso (HAL) 은 van der Laan(2017)이 제안하고, Benkeser & van der Laan(2016)에서 실용화한 방법으로, ([0,1]^{d}) 위에 정의된 càdlàg 함수들을 sectional variation norm(절단 변동 노름)으로 제어한다. HAL은 차원에 의존하지 않는(smoothness‑free) 일관성(uniform consistency)과 점별 점근 정규성(pointwise asymptotic normality)을 제공한다. HAL 기반 밀도 추정기를 HAL‑MLE log‑splines 라고 부른다. 본 논문에서는 일변량 HAL‑MLE 에 초점을 맞추어, 전통적인 로그스플라인 방법과 성능을 비교하고, LAS·TF와의 이론적 연관성을 보여준다. 비록 HAL 이론은 다변량에도 적용되지만, 여기서는 일변량 사례에 국한한다.

밀도 추정 외에도 HAL‑MLE는 경로 미분 가능(pathwise‑differentiable) 통계량(예: 모멘트, 생존 확률, 백분위수)에 대해 플러그‑인(plug‑in) 혹은 단일 단계 TMLE 를 통해 점근 효율성(asymptotic efficiency) 을 보장한다(van der Laan, 2017; van der Laan et al., 2023).

3. 논문 구성

• 섹션 2: HAL 가정 소개 및 전통적인 bounded total variation (BTV) 가정과의 연결 고리 제시.
• 섹션 3: 로그‑스플라인 연결 함수(Leonard, 1978; Silverman, 1982; Kooperberg & Stone, 1992; Rytgaard et al., 2023)를 이용한 HAL‑MLE 구성.
• 섹션 4: 일변량 (L_{2}) 수렴, 점별 점근 정규성, 균일 수렴에 관한 이론적 결과 제시. 또한 델타 방법(delta method) 을 이용한 분산 추정량 제안.
• 섹션 5: 경로 미분 가능한 통계량에 대한 플러그‑인 HAL‑MLE 와 HAL‑TMLE 를 다루며, 영향곡선(influence‑curve) 기반 분산 추정과 함께 점근 효율성을 증명.
• 섹션 6: HAL‑MLE 를 위한 최적화 알고리즘 구현 논의.
• 섹션 7: 시뮬레이션 결과 제시. 이론적 보장이 실제로 작동함을 검증하고, HAL‑MLE 를 TF(밀도 추정에 적용), 로그‑스플라인, KDE와 비교.
• 섹션 8: 은하 속도 데이터에 대한 사례 연구. 수렴, 신뢰구간, 타깃팅을 시각화.
• 코드 제공: Python 패키지 HAL‑Density(https://github.com/zhengpu-berkeley/HALDensity )와 실험 상세 내용(https://github.com/yilongHou/link_HAL_MLE )을 공개.

4. HAL 가정 및 càdlàg 함수

HAL 가정은 bounded sectional variational norm (BSVN) 을 갖는 càdlàg 함수들을 전제로 한다. 일변량에서는 càdlag 함수를 0에서 1로 점프하는 단순 지시 함수(indicator functions) 의 선형 결합으로 근사할 수 있다. 이 함수 클래스는 누적분포함수(CDF) 의 선형 결합을 포함한다. Gill et al.(2001)은 SVN 개념이 일변량 càdlàg 함수의 bounded total variation 에서 다변량 으로 확장되는 Donsker 성질을 유지한다는 것을 보였다. 이후 van der Laan(2017), Rytgaard et al.(2023) 등에서 이를 활용하였다. Munch et al.(2024, 섹션 2)에서는 BSVN을 갖는 càdlàg 함수들의 측정 가능성(measurability) 을 상세히 논의한다. Radulović et al.(2017)에서도 유사한 결과가 제시되며, 일부 문헌(Ki et al., 2024)에서는 SVN을 Hardy‑Krause variation 으로 부른다.

우리는 (D^{\mathcal{F}}_{U}([0,1])) 라는 표기법을 사용한다. 여기서 (U<\infty)는 상한이며, (s)는 ({1,\dots,d})의 임의의 비공집합, (-s)는 그 여집합을 의미한다. (x(s))는 인덱스 (s)에 해당하는 좌표, (0(s))는 동일 차원의 영벡터이다. 그에 따라 sectional variation norm 은

[ |f|{*v}=f(0)+\sum{s\subset{1,\dots,d}} \int_{(0(s),x(s)]} \bigl|df_{u(s)}\bigr|_{0(-s)} . ]

이 가정은 전체 좌표 집합 (s={1,\dots,d}) 뿐 아니라 모든 저차원 섹션에 대해서도 변동이 유계임을 요구하므로, 전통적인 bounded total variation (BTV) 보다 강력하다.

일변량 경우 (D_{U}([0,1])) 로 간단히 쓸 수 있다. 만약 (f)가 (k)차 미분 가능하면 *(k)차 절단 변동 노름 (|f|_{v,k}) 를 정의하고, 다음과 같이 부분집합을 정의한다.

정의 2.2 (k차 BSVN을 갖는 함수)
(k\ge 1) 와 충분히 큰 상수 (U>0) 에 대해, (f\in D^{(k)}{U}([0,1])) 라고 한다. 각 (i=1,\dots,k) 에 대해 (i)번째 Lebesgue‑Radon‑Nikodym 도함수가 존재하고, (|f^{(i)}|{*v}\le U) 를 만족한다.

(k)차 절단 변동 노름은 일변량에서는

[ |f|{*v,k}=|f(0)|+\int{0}^{1}\bigl|df^{(k)}(u)\bigr| . ]

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