다중 격자 기반 집합화(agglomeration) 전처리기로 구현한 심장 전기생리학 DG 해법

📝 Abstract

This work presents a novel agglomeration-based multilevel preconditioner designed to accelerate the convergence of iterative solvers for linear systems arising from the discontinuous Galerkin discretization of the monodomain model in cardiac electrophysiology. The proposed approach exploits general polytopic grids at coarser levels, obtained through the agglomeration of elements from an initial, potentially fine, mesh. By leveraging a robust and efficient agglomeration strategy, we construct a nested hierarchy of grids suitable for multilevel solver frameworks. The effectiveness and performance of the methodology are assessed through a series of numerical experiments on two- and three-dimensional domains, involving different ionic models and realistic unstructured geometries. The results demonstrate strong solver effectiveness and favorable scalability with respect to both the polynomial degree of the discretization and the number of levels selected in the multigrid preconditioner.

💡 Analysis

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📄 Content

컴퓨터 모델링을 이용한 심장 연구

심장에 대한 계산 모델링은 심혈관 연구를 가속화하기 위한 도구로 활발히 진행되고 있다. 그러나 전체 심장 모델링이나 서로 다른 물리·스케일을 결합하는 경우와 같이 모델의 복잡성이 높아지고 계산 비용이 크게 증가함에 따라 임상 적용 가능성은 제한된다. 따라서 정확성을 유지하면서도 계산 시간을 단축할 수 있는 수치 방법의 개발은 기초 연구를 신속히 진행하고, 궁극적으로 모델링을 임상 현장에 적용하기 위한 필수 과제가 된다[49,71].

본 연구에서는 심근의 전기 활성화를 기술하는 심장 전기생리학 모델에 초점을 맞춘다. 심장의 전기 활동은 일반적으로 양도메인(bidomain) 혹은 단도메인(monodomain) 방정식으로 모델링되며, 이는 심장 조직을 가로질러 전위가 전파되는 과정을 기술한다. 두 모델 모두 비선형 반응‑확산 편미분 방정식(elliptic‑parabolic system)으로 구성된다. 이 시스템에 대한 수학적 분석은 이미 [36]에서 다루어졌으며, 그동안 [10,21] 등에서 다양한 이산화 방법이 제안되었다. 세포 수준에서 발생하는 전기·화학 반응을 고려하기 위해, 이러한 시스템은 비선형 반응 항을 통해 보통 미분 방정식(ODE) 시스템과 결합된다. ODE는 세포막을 가로지르는 이온 전류의 내·외부 흐름을 모델링한다[49].

수십 년에 걸쳐 다양한 이온 모델이 개발되었다. 예를 들어, Rogers‑McCulloch 이온 모델[73]이나 FitzHugh‑Nagumo 모델[48]처럼 하나 혹은 소수의 미지수를 갖는 축소 모델부터, Bueno‑Orovio 및 ten Tusscher‑Panfilov 이온 모델[30,78,79]처럼 수십 개의 변수와 복잡한 동역학을 포함하는 모델까지 다양하다. 전위가 급격히 상승하는 액션 포텐셜(action potential) 의 상승 구간은 전압 의존성 나트륨 채널에 의해 발생하는데, 이때 전위가 수 밀리초 안에 급격히 상승하면서 공간적으로는 매우 가파른 파동 전선을 형성한다. 따라서 시간·공간 모두에서 높은 해상도가 요구되어, 파동 전파 계산은 계산적으로 매우 까다롭다.

이러한 대규모 선형 시스템은 직접 해법(direct solver)으로는 해결이 불가능하고, 시스템 행렬이 종종 **조건수가 매우 나쁘다(ill‑conditioned)**는 특성을 보여 표준 반복법(iterative method)의 수렴 속도가 크게 저하된다. 따라서 효과적인 전처리(preconditioner) 설계를 통해 반복법의 전체 해결 시간(time‑to‑solution)을 감소시키는 것이 핵심 과제로 남는다[25].

전처리기 개발은 활발한 연구 분야이며, Balancing Domain Decomposition with Constraints (BDDC)[42]와 Finite Element Tearing and Interconnecting (FETI)[59]와 같은 영역 분할(domain‑decomposition) 기법이 널리 사용된다. 이러한 방법들의 확장과 전기생리학 문제에의 적용은 [1,56,68,81] 등에서 상세히 다루어졌다.

전통적인 전략은 매우 미세한 격자에서 **연속형 선형 요소(linear continuous elements)**를 사용해 물리적 특성을 포착한다. 최근에는 **고차 연속 요소(high‑order continuous elements)**와 불연속 갈루아(DG) 방법이 급격한 구배를 효과적으로 잡아낼 수 있다는 점에서 주목받고 있다[4,28,55]. 따라서 본 연구에서는 단도메인 모델에 DG 이산화를 적용하고, 대규모 선형 시스템의 수렴을 가속화할 전처리기를 설계한다.

1. 다중격자(multigrid)와 다중해석법

타원 연산자(elliptic operator)에서 유도된 선형 시스템에 대해 다중격자(multigrid) 방법은 대규모 병렬 컴퓨터에서도 가장 효율적인 접근법 중 하나로 인정받는다. 전통적인 기하학적 다중격자(geometric multigrid)는 초기 coarse mesh를 균일 혹은 적응적으로 정밀화(refinement)하여 계층적 격자(hierarchy)를 만든다. 그러나 현실적인 심장 모델처럼 복잡한 기하학을 가진 경우, 이러한 계층 구조를 구축하는 것이 매우 어려워 비중첩(non‑nested) 방법[26,35,47]이나 대수적 다중격자(Algebraic Multigrid, AMG)[80]가 필요하게 된다.

다면체(polytopal) 격자는 coarse grid를 **요소 집합을 병합(agglomeration)**함으로써 간단히 생성할 수 있어 매력적이다. 기존 연구[22,29,34,39,64,66]에서는 다양한 다중레벨 접근법이 제안되었지만, 다면체 요소에 대한 자동·유연한 병합 전략은 여전히 활발히 연구되는 과제이다[8,9,45]. 본 연구에서는 [45]에서 제시된 R‑tree 기반 병합 알고리즘을 채택한다. R‑tree는 공간 인덱싱 구조로, **경계 상자(bounding box)**를 이용해 대규모 기하 객체를 효율적으로 관리한다. 이 방법은 완전 자동화, 견고성, 차원 독립성을 갖추며, 기본 메쉬의 형태(육면체, 단순체, 다면체 등)와 무관하게 적용 가능하다. 즉, 순수히 기하학적인 절차로 초기 메쉬만을 입력으로 받아 격자 계층을 생성한다.

2. 기존 연구와의 연계

최근 몇 년간 **임의 형태 요소(arbitrarily shaped elements)**에 대한 다중레벨 전략이 Virtual Element Method(VEM)[6,7,14,70]와 Hybrid High‑Order(HHO) method[40,41] 등에서 활발히 연구되었다. 다면체 격자 위의 DG 이산화에 대해서는 중첩형[12,13]·비중첩형[16] 다중격자가 제안되고 이론적으로 분석되었다. 또한, 뇌 전기생리학 분야에서도 다면체 DG 방법이 적용되었으며[62,63], 비중첩 Schwarz 전처리기에 대한 수치 실험이[74] 수행되었다.

3. 본 연구의 기여

본 논문에서는 단도메인 모델에 대한 DG 이산화에 적용할 새로운 병합 기반 다중레벨 전처리기를 제안한다. 주요 특징은 다음과 같다.

1. 다면체 요소를 이용해 자동 병합으로 coarse grid 계층을 생성한다.
2. 가장 미세한 레벨에서는 **텐서곱 구조(tensor‑product structure)**를 활용한 행렬‑프리(matrix‑free) 연산 커널을 적용해 연산 비용을 최소화한다[61].
3. 제안 전처리기의 성능을 전통적인 AMG 전처리기와 비교하여, **전처리된 공액 경사법(PCG)**의 반복 횟수와 전체 해결 시간을 평가한다.
4. 2D·3D 다양한 테스트 케이스(다양한 이온 모델, 다항 차수, 복잡한 기하)에서 검증한다.
5. 구현은 C++ 기반 polyDEAL 프로젝트[46]와 deal.II 라이브러리[19]를 이용하며, MPI를 통한 분산 메모리 병렬화를 지원한다.

4. 논문의 구성

• Section 2: 단도메인 모델 소개.
• Section 3: 공간·시간 이산화 방법.
• Section 4: R‑tree 자료구조와 병합 알고리즘 구현.
• Section 5: 전처리기 설계 및 설정.
• Section 6: 수치 실험 결과.
• Section 7: 향후 연구 방향.

심장 조직의 구조와 전기 전도 메커니즘

심장벽은 내막(endocardium), 외막(epicardium), 그리고 두께가 큰 **근육층(myocardium)**의 세 층으로 이루어진다. 근육층은 주로 심근세포(cardiomyocyte) 로 구성되며, 이들은 전기적으로 흥분 가능하고 심장의 기계적 수축을 담당한다. 심근세포가 전기 자극을 받으면 세포막을 가로지르는 전기·화학 평형이 변하면서 세포막 전위(transmembrane potential) 가 변한다. 이는 급격한 탈분극(depolarization)과 그 뒤를 잇는 서서히 진행되는 재분극(repolarization)으로 이어진다. 전위 변화는 전압 개폐 이온 채널(voltage‑gated ion channels) 의 개폐에 의해 조절되며, 나트륨(Na⁺), 칼륨(K⁺), 칼슘(Ca²⁺) 이온이 선택적으로 이동한다. 이온 전류가 막 전위를 변화시키고, 막 전위는 다시 이온 전류를 제어한다. 인접한 심근세포는 **갭 결합(gap junction)**이라 불리는 저저항성 세포간 채널을 통해 전기적으로 연결되어 있어, 전기 신호가 조직 전체에 전파된다.

수학적 모델링: 이온 모델 + 전위 전파 모델

수학적 모델은 크게 두 부분으로 나뉜다.

1. 이온 모델(ionic model) – 세포 수준에서 일어나는 화학·생물학적 과정을 기술한다.
2. 전위 전파 모델(action potential propagation model) – 조직 수준에서 전위 파동이 어떻게 전파되는지를 기술한다.

다음 절에서 두 구성 요소를 차례로 소개한다.

4.1 단도메인 모델

다음에서는 심장 전기생리학을 위한 단도메인 모델을 간략히 소개한다. 보다 상세한 내용은 [49,71]을 참고한다.

[ \Omega \subset \mathbb{R}^d ;(d=2,3),\qquad T>0 ]

를 정의하고, 전막 전위 (u(x,t):\Omega\times[0,T]\to\mathbb{R}) 와 이온 변수 (\mathbf{w}(x,t):\Omega\times[0,T]\to\mathbb{R}^{S}) (여기서 (S)는 이온 모델에 포함된 변수 수)를 도입한다. 단도메인 모델은 다음과 같이 표현된다[49]:

[ \chi_m

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