“거리 제약을 갖는 완전 다분할 그래프의 일인인수분해: 최적 상수 가중치 코드와의 새로운 연결고리”

📝 Abstract

The present paper considers multipartite graphs from the perspective of design theory and coding theory. A one-factor $F$ of the complete multipartite graph $K_{n\times g}$ (with $n$ parts of size $g $) gives rise to a $(g+1) $-ary code ${\cal C}$ of length $n$ and constant weight two. Furthermore, if the one-factor $F$ meets a certain constraint, then ${\cal C}$ becomes an optimal code with minimum distance three. We initiate the study of one-factorizations of complete multipartite graphs subject to distance constraints. The problem of decomposing $K_{n\times g}$ into the largest subgraphs with minimum distance three is investigated. It is proved that, for $n\le g $, the complete multipartite graph $K_{n\times g}$ can be decomposed into $g^2$ copies of the largest subgraphs with minimum distance three. For even $gn$ with $n>g $, it is proved that the complete multipartite graph $K_{n\times g}$ can be decomposed into $g(n-1)$ one-factors with minimum distance three, leaving a small gap of $n$ (in terms of $g $) to be resolved (If $gn$ is odd when $n>g $, no such decomposition of $K_{n\times g}$ exists).

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 동기

• 일인인수와 일인인수분해는 토너먼트 스케줄링, 스테이너 삼중계, 라틴 사각형 등 다양한 조합 설계에 핵심적인 역할을 해왔다.
• 상수 가중치 코드는 통신·저장 시스템에서 오류 정정 능력을 극대화하기 위해 널리 사용되며, 특히 거리 3 코드는 최소 1비트 오류와 2비트 오류를 동시에 탐지·수정할 수 있는 중요한 클래스이다.
• 기존 연구는 거리 2·4에 대해서는 최적 분해가 비교적 간단히 구성 가능함을 보였지만, 거리 3은 “평행 엣(parallel edges)”을 금지해야 하는 추가 제약이 있어 기존 방법을 그대로 적용할 수 없었다.

2. 주요 정의와 개념 정리

3. 핵심 정리와 증명 아이디어

• Strategy A: 동일 파트 내에서 색상(=알파벳) 차이를 일정하게 유지해 평행 엣을 방지.
• Strategy B: 금지 쌍(Forbidden Pairs)을 미리 정의하고, 이를 피하도록 일인인수(또는 근일인수)를 선택해 AR‑graph 를 만든다.

4. 연구의 의의

1. 그래프·코딩 이론의 교차점을 명확히 제시함으로써, 상수 가중치 코드 설계에 그래프 분해 기법을 직접 활용할 수 있는 새로운 도구를 제공한다.
2. 거리 3 코드는 실용적인 오류 정정 요구에 부합하므로, 본 논문의 구성법은 실제 통신 시스템(예: 무선 센서 네트워크, DNA 저장)에서 최적 코드 집합을 생성하는 데 활용 가능하다.
3. 구성법의 일반화 가능성: 전략 A·B는 모듈러 연산과 금지 쌍 관리라는 두 가지 기본 원칙에 기반하므로, 다른 파라미터(예: (q) 진법이 아닌 비정수 알파벳, 가중치 3 이상의 코드)에도 확장될 여지가 있다.

5. 한계점 및 향후 연구 과제

6. 결론 요약

• 거리 3 제약을 만족하는 일인인수분해는 기존의 거리 2·4 경우와는 달리 복잡한 구조적 제한을 가진다.
• 저자는 두 가지 구성 전략을 제시하고, 이를 통해 (n\le g) 및 (n>g, gn) 짝수 두 경우에 대해 완전 혹은 거의 완전한 분해를 성공적으로 증명하였다.
• 남은 미해결 부분(특히 (n>g)에서의 작은 에지 갭)과 홀수 경우는 향후 연구의 중요한 과제로 남아 있다.

이 논문은 그래프 이론와 코딩 이론 사이의 새로운 연결 고리를 제공함으로써, 두 분야 모두에서 최적 설계와 구조적 이해를 심화시키는 중요한 기여를 한다.

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📄 Content

그래프의 일인자와 일인자 분해는 토너먼트 응용에서 자연스럽게 나타나며, 많은 조합 설계와 구조의 기본 블록으로 등장한다. 스테이너 삼중계와 다양한 라틴 사각형과의 관계는 일인자 분해에 대한 연구 관심을 불러일으킨 전형적인 주제이다[1,5,8,13,14]. 순환형, 완전형, 비분해형, 직교형 일인자 분해와 같은 특수 형태의 일인자 분해가 광범위하게 연구되어 왔다[15]. 본 논문에서는 거리 제약을 만족하는 완전 다중파트 그래프의 일인자 분해를 다룬다.

1. 서론

다중파트 그래프의 분해를 상수 가중치 부호(constant‑weight code)의 관점에서 살펴본다.
완전 다중파트 그래프 (K_{n\times g}) (각 파트의 크기가 (g)인 (n)개의 파트) 의 일인자 (F)는 길이 (n), 상수 가중치 (2)인 ((g+1))-진법 부호 (C) 를 만든다. 또한 (F) 가 일정한 제약을 만족하면, (C) 는 최소 거리 (3)을 갖는 최적 부호가 된다. 마찬가지로, (K_{n\times g}) 의 일인자 분해는 알파벳 크기 (q=g+1) 인 ((n,3,2)) 최적 부호들의 분할이라고 볼 수 있다.

다중파트 그래프(또는 (n)-파트 그래프)는 정점 집합이 (n)개의 파트로 분할되고, 같은 파트 안의 두 정점은 인접하지 않는 그래프이다. (n=2)이면 이분 그래프가 된다. 완전 다중파트 그래프는 서로 다른 파트에 속한 모든 정점 쌍이 인접한 그래프이며, 파트가 (n)개이고 각 파트의 크기가 (g)일 때 (K_{n\times g}) 로 표기한다. 이 정의에 따라 완전 그래프 (K_n) 은 (K_{n\times1}) 와 같다.

그래프 (G) 가 (r)-정규이면 모든 정점의 차수가 (r)이다. 차수가 (r) 또는 (r-1)인 경우를 거의 (r)-정규라 한다. 일인자는 차수가 (1)인 서브그래프이며, 일인자 분해는 간선 집합을 서로 겹치지 않는 일인자들의 합으로 나타내는 것이다. 근일인자(near one‑factor)는 하나의 고립 정점과 나머지 정점이 차수 (1)인 서브그래프이며, 모든 간선을 정확히 한 번씩 포함하는 근일인자들의 집합을 근일인자 분해라 한다. 편의를 위해 그래프는 보통 그 간선 집합만으로 표기한다. 정수 구간 ([1,n]) 은 ([n]) 로, 정수 집합 (\mathbb Z^{+}) 를 의미한다.

예를 들어, 완전 그래프 (K_{2n}) 의 정점 집합을 ([2n-1]\cup{\infty}) 로 잡고, [ F_j={{\infty,j},{j+1,j-1},{j+2,j-2},\dots,{j+n-1,j-n+1}}, ] 여기서 (j\pm i) ((i\in[n-1])) 는 (\bmod, (2n-1)) 로 ([2n-1]) 안에 들어가도록 한다. 그러면 (F_1,F_2,\dots,F_{2n-1}) 은 (K_{2n}) 의 일인자 분해를 이룬다. (K_{2n-1}) 의 근일인자 분해는 (K_{2n}) 의 일인자 분해에서 하나의 정점과 그에 인접한 모든 간선을 삭제함으로써 얻을 수 있다. 또한, 완전 다중파트 그래프 (K_{n\times g}) 에는 (gn) 이 짝수일 때에만 일인자 분해가 존재한다[10].

양의 정수 (q) 에 대해 (\mathbb Z_q) 를 정수 모듈러 (q) 의 덧셈군이라 하자. (\mathbb Z_q^n) 은 알파벳 (\mathbb Z_q) 로 이루어진 길이 (n) 단어들의 집합이다. 단어 (x=(x_1,\dots,x_n)) 와 (y) 사이의 (해밍) 거리 (d(x,y)) 는 서로 다른 좌표의 개수로 정의한다.
단어 (x) 의 가중치는 (x) 에서 0이 아닌 좌표의 개수, 즉 (d(x,0)) 와 같다. (x) 의 지원집합 (\operatorname{supp}(x)) 은 비영(0)인 좌표들의 인덱스 집합이다.

[ H_q(n,w)={x\in\mathbb Z_q^n\mid \operatorname{wt}(x)=w} ] 를 길이 (n), 가중치 (w) 인 모든 단어들의 집합이라 하자.
길이 (n), 가중치 (w), 최소 거리 (d) 를 갖는 (q)-진법 상수 가중치 부호 (C) ( ((n,d,w)_q)-코드) 는 (H_q(n,w)) 의 비공집합 부분집합이며, 서로 다른 두 코드워드 (x,y) 에 대해 (d(x,y)\ge d) 를 만족한다. 코드 (C) 의 원소를 코드워드라 부른다. ((n,d,w)_q)-코드의 최대 크기를 (A_q(n,d,w)) 로 표기하고, 그 최대 크기를 달성하는 코드를 최적 코드라 한다. 코딩 이론의 기본 문제는 (A_q(n,d,w)) 를 구하는 것이며, 본 논문에서는 (q=g+1) 로 가정한다.

Lemma 1.1 [9]

1. (A_q(n,2,w)=n w, g^{,w-1}).
2. (A_q(n,2w,w)=\big\lfloor n w\big\rfloor).

또한
[ A_q(n,3,2)=\min\Big{\binom{n}{2}g,;\binom{g}{2}n\Big}. ]

2. 기본 설정 및 정의

논문 전체에서 (n)-파트 그래프는 정점 집합
[ V=[n]\times[g],\qquad P_x={x}\times[g];(x\in[n]) ] 위에 정의한다. 정점 ((x,a)) 와 ((y,b)) 로 이루어진 간선 (e) 는 길이 (n) 의 단어 (c_e\in H_q(n,2)) 로 대응한다. 여기서 (c_e) 의 (x) 번째 좌표는 (a), (y) 번째 좌표는 (b), 나머지는 모두 0이다. 따라서 (n)-파트 그래프 (G) 와 상수 가중치 2인 (q)-진법 부호 (C) 사이에는 일대일 대응이 존재한다. 그래프 (G) 가 거리 (d) 를 가진다고 하면, 대응 부호 (C) 가 최소 거리 (d) 를 가진다는 뜻이다.

완전 다중파트 그래프 (K_{n\times g}) 를 거리 (d) 에 대한 최적 분해가 가능하다고 할 때는, (K_{n\times g}) 를 서로 겹치지 않는 서브그래프들로 나누어 각 서브그래프가 크기 (A_q(n,d,2)) 를 갖고 거리 (d) 를 만족한다는 의미이다. 거리 (d=2) 혹은 (d=4) 인 경우는 비교적 단순하게 처리된다.

거리 (d=2) 의 최적 분해

(C) 가 거리 2인 최적 ((n,2,2)q)-코드라면, Lemma 1.1(1) 에 의해 (|C|=n\binom{g}{2}).
(K{n\times g}) 의 전체 간선 수는 (\binom{n}{2}g^2) 이므로, (K_{n\times g}) 는 정확히 (g) 개의 최적 코드로 분해된다. 각 코드워드의 지원집합은 ([n]) 의 모든 2‑원소 집합을 한 번씩 포함하고, 같은 지원 ({i,j}) 를 갖는 두 코드워드 ((i,a),(j,b)) 와 ((i,a’),(j,b’)) 는 (a\neq a’,,b\neq b’) 를 만족한다. 따라서

[ F_{k}^{,i,j}=\bigl{,{(i,m),(j,m+k)}\mid 1\le m\le g,\bigr} \qquad(k\in[g]) ]

는 파트 (P_i,P_j) 사이의 완전 이분 그래프의 일인자가 된다. 이렇게 구성된 (g)개의 일인자 집합이 거리 2에 대한 최적 분해를 이룬다.

거리 (d=4) 의 최적 분해

거리 4인 최적 ((n,4,2)_q)-코드( Lemma 1.1(2) )는 서로 다른 코드워드들의 지원이 서로 겹치지 않는다. 따라서 지원 집합들은 (K_n) 의 일인자( (n) 짝수) 혹은 근일인자( (n) 홀수)를 형성한다. 전체 간선 수 (\binom{n}{2}g^2) 를 커버하려면

• (n) 짝수일 때: ((n-1)g^2) 개의 서로 겹치지 않는 최적 코드,
• (n) 홀수일 때: (ng^2) 개의 서로 겹치지 않는 최적 코드

가 필요하다. 각각을 일인자(또는 근일인자)와 결합하면 거리 4에 대한 최적 분해를 얻는다.

3. 거리 (d=3) 에 대한 최적 분해 문제

이후 절에서는 거리 3에 대한 최적 분해 존재 여부를 다룬다. 먼저 몇 가지 기본 개념을 정리한다.

• AR‑그래프(Almost‑Regular graph): 평행(Parallel) 간선이 없는, 최대 (\displaystyle A_q(n,3,2)=\min!\Big{\binom{n}{2}g,;\binom{g}{2}n\Big}) 개의 간선을 갖는 거의 1‑정규 서브그래프.
• ODAR((n,g)): (n\le g) 인 경우, (K_{n\times g}) 를 (g^2)개의 AR‑그래프로 분해하는 것.
• OF((n,g)): (n>g) 이고 (gn) 이 짝수인 경우, (K_{n\times g}) 를 (g(n-1))개의 일인자로(평행 간선 없이) 분해하는 것.

Lemma 2.1 은 위 정의들을 정리한다.

4. AR‑그래프를 만드는 두 가지 일반 전략

전략 A

(n) 이 짝수이고 (n\le g) 일 때, 모든 정수 (i\in[g]) 와 (r\in[n-1]) 에 대

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