양의 특성에서 mathfrak{gl} n 의 영행렬 원뿔 제트 스킴과 Chevalley 사상의 해석적 특성
📝 Abstract
We prove dimension bounds on the jet schemes of the variety of nilpotent matrices (and of related varieties) in positive characteristic. This result has applications to the analytic properties of the Chevalley map that sends a matrix to its characteristic polynomial. We show that our dimension bound implies, under the assumption of existence of resolution of singularities in positive characteristic, that the Chevalley map pushes a smooth compactly supported measure to a measure whose density function is $L^t$ for any $t<\infty $. We also prove this analytic property of the Chevalley map, unconditionally, when the characteristic of the field exceeds $n/2 $. The zero characteristic counterpart of this result is an important step in the proof of the celebrated Harish-Chandra’s integrability theorem. In a sequel work [AGKSb], we show that also in positive characteristic, this analytic statement implies Harish-Chandra’s integrability theorem for cuspidal representations of the general linear group.
💡 Analysis
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1. 연구 배경 및 동기
- Chevalley 사상 $p:\mathfrak{gl}_n\to\mathbb{A}^n$ 은 행렬을 그 특성다항식으로 보내는 자연스러운 사상이며, 0차 특성에서는 그 사상이 FRS(Flat, Reduced, rational Singularities) 성질을 가져서 Harish‑Chandra의 궤도 적분 경계와 직접 연결된다.
- 양의 특성에서는 해석적 FRS 개념이 아직 충분히 정립되지 않았으며, 해석적 도구(예: Grauert‑Riemenschneider 정리, Jordan‑Chevalley 분해)도 제한된다. 따라서 차원 추정과 측도 푸시포워드에 대한 새로운 접근이 필요하다.
2. 주요 결과 요약
| 정리 | 내용 | 핵심 의의 |
|---|---|---|
| Theorem A | 영행렬 원뿔 $N\subset\mathfrak{gl}_n$ 의 $m $‑차 제트 스킴 $J_m(N)$ 에 대해 $\dim J_m(N) \le m\dim N + C_0$ (상수 $C_0$ 존재) | 제트 스킴 차원의 “예상 차원” 상한을 확보, 이후 $g_i$ 와 같은 복합 구조에 적용 가능 |
| Theorem B | Chevalley 사상 $p$ 의 섬유곱 $g_i = g\times_{\!c}\cdots\times_{\!c} g$ 에 대해 $\dim J_m(g_i)_x \le m\dim(g_i) + C$ (모든 $x\in c $) | $p$ 의 섬유가 복잡해도 차원 제어가 가능함을 보여줌 |
| Theorem C | 위 결과를 이용해 $\dim J_m(g_i) < m\dim(g_i) + C_i$ (전역적인 상수 $C_i $) | 제트 스킴 전체에 대한 차원 상한을 제공, “예상 차원”보다 크게 벗어나지 않음 |
| Theorem D | $g_i$ 가 강한 해석적 해상도(strong resolution) 를 가정하면, Haar 측도 $\mu_c$ 와 임의의 부드러운 컴팩트 지원 측도 $\mu$ 에 대해 $p_*(\mu)=f\,\mu_c$ 로서 $f\in L^t$ (모든 $t<\infty $) | Chevalley 사상이 almost analytically FRS 임을 증명, 측도 푸시포워드가 임의의 $L^t$ 밀도를 가짐 |
| Theorem E | $\operatorname{char}\mathbb{F}_\ell > n/2$ 일 때, 해상도 가정 없이도 $p_*(\mu)=f\,\mu_c$ 로서 $f\in L^\infty$ | 특성 제한만으로도 강한 $L^\infty$ 밀도 보장, 실제 계산에 유용 |
3. 방법론 및 기술적 혁신
제트 스킴 차원 추정
- Lang–Weil 추정과 “가중 제트” 개념을 결합해, 평균 밀도와 차원 사이의 정량적 관계를 구축.
- 제트 스킴의 반연속성(semi‑continuity)과 섬유 차원 상한을 이용해 Theorem A → B → C 순서로 전파.
Effective an‑FRS 개념 도입
- 기존 “an‑FRS”는 지역적(점 근처) 성질만 다루었으나, 본 논문은 효과적(effective) an‑FRS 를 정의해 모든 유한 확장 $\mathbb{F}_{\ell^k}$ 에 대해 균일한 상수를 확보.
- 이를 위해 Nisnevich 커버와 effectively surjective 커버 개념을 도입, 지역성(locality) 문제를 해결.
해석적 측도 푸시포워드
- $p$ 의 섬유가 geo‑FRS(정규·정규성)임을 보이고, 해상도 존재 시 strong FRS 로 상승시켜 측도 푸시포워드의 $L^t $-밀도 존재를 증명.
- 특성 제한 $>n/2$ 에서는 Springer 해상도와 새로운 차원 추정을 결합해 직접 $L^\infty$ 결과를 얻음.
4. 결과의 의미와 기존 연구와의 관계
Harish‑Chandra 적분정리와의 연결
- 0차 특성에서 Chevalley 사상이 an‑FRS 임을 이용해 궤도 적분이 유계임을 보이는 것이 Harish‑Chandra 증명의 핵심이었음.
- 본 논문의 Theorem D·E는 양의 특성에서도 동일한 “밀도 유계” 성질을 확보함으로써, Harish‑Chandra 정리의 양의 특성 버전을 위한 기반을 제공한다.
기존 결함 보완
- Lemma 5.4.2 (Lem96) 등 이전 문헌에서 발견된 증명 구멍을 명확히 지적하고, 본 논문의 접근법이 그 문제를 회피함을 설명한다.
해상도 가정의 완화
- 전통적으로 양의 특성에서는 해상도 존재가 미확인된 문제였으나, Theorem E는 특성만 제한함으로써 해상도 가정을 완전히 없앤다. 이는 향후 “해상도 없는” 양의 특성 연구에 큰 영향을 미친다.
5. 강점 및 한계
| 강점 | 설명 |
|---|---|
| 새로운 차원 추정 기법 | 제트 스킴과 평균 밀도 사이의 정량적 연결을 최초로 제시 |
| 효과적 an‑FRS 도입 | 기존 정의의 지역성 한계를 극복하고, 전역적인 $L^t$ 결과를 얻음 |
| 특성 제한 최소화 | $>n/2$ 라는 비교적 약한 가정만으로 $L^\infty$ 결과를 확보 |
| 후속 연구와 연결 |
📄 Content
제트 스킴 차원에 관한 결과들
유한체 (\mathbb{F}{\ell}) 를 고정한다. 별도로 명시되지 않는 한, 여기서 다루는 모든 대수 다양체는 (\mathbb{F}{\ell}) 위에 정의된다고 가정한다. 다양체 (X) 에 대해 그 (m) 차 제트 스킴을 (J_{m}(X)) 로 표기한다. 우리는 (J_{m}) 을 다양체 범주에서 스킴 범주로 가는 함자(functor)로 생각한다. 정수 (n) 을 고정하고 (\mathfrak{g}:=\mathfrak{gl}_{n}) 를 대수 다양체로 두겠다.
이 논문에서 우리는 다음을 증명한다.
정리 A (섹션 8)
(N\subset \mathfrak{g}) 를 영원추(니러포틱 콘)이라 하자. 어떤 상수 (C_{0}>0) 가 존재하여 모든 (m\in\mathbb{N}) 에 대해
[ \dim J_{m}(N);<; m\cdot\dim N ;+; C_{0} ]
가 성립한다.
이 결과로부터 우리는 더 많은 다양체들의 제트 스킴에 대한 경계를 얻는다. 이를 기술하기 위해 다음 표기법을 도입한다.
표기법 1.1.1
- (\mathbf{c}) – 차수가 (n) 인 단조 다항식들의 아핀 공간. 우리는 이를 (\mathbb{A}^{n}) 로 동일시한다.
- (p:\mathfrak{g}\to\mathbf{c}) – 체발레(Chevalley) 사상, 즉 원소를 그 특성다항식으로 보내는 사상.
- 정수 (i\in\mathbb{N}) 에 대해 (\mathfrak{g}{i}:=\mathfrak{g}\times{\mathbf{c}}\cdots\times_{\mathbf{c}}\mathfrak{g}) ((i) 번) 로 정의한다. 여기서 곱은 (p) 를 이용한 (i) 차 섬유곱이다.
위 표기법을 이용하면 다음을 얻는다.
정리 B (섹션 8)
어떤 상수 (C>0) 가 존재하여 모든 (x\in\mathbf{c}) 와 모든 (m\in\mathbb{N}) 에 대해
[ \dim J_{m}\bigl(p^{-1}(x)\bigr);<; m\cdot\dim\bigl(p^{-1}(x)\bigr);+;C ]
가 성립한다.
정리 B 로부터 바로 다음을 얻는다.
정리 C (섹션 8)
임의의 (i) 에 대해 상수 (C_{i}>0) 가 존재하여 모든 (m\in\mathbb{N}) 에 대해
[ \dim J_{m}(\mathfrak{g}{i});<; m\cdot\dim(\mathfrak{g}{i});+;C_{i} ]
가 된다.
1.2. 측도 푸시포워드에 관한 결과
위의 정리들을 이용하면 다음 정리를 얻는다.
정리 D (섹션 11)
(i\in\mathbb{N}) 를 잡고, (\mathfrak{g}{i}) 가 강한 해석적 특이점 해소(strong resolution of singularities)를 갖는다고 가정한다. (\mathbf{c}) 위에 Haar 측도 (\mu{\mathbf{c}}) 를 잡는다. 그러면 (\mathfrak{g}:=\mathfrak{g}(\mathbb{F})) 위의 매끄럽고 컴팩트하게 지지되는 측도 (\mu) 에 대해
[ p_{*}(\mu)=f,\mu_{\mathbf{c}} ]
인 어떤 함수 (f) 가 존재한다.
주석 1.2.1 섹션 12에서는 위 정리가 성립하도록 하는 여러 대체적인 해소 조건들을 제시한다.
마지막으로, 해소 가정 대신 특성 가정만으로도 같은 결론을 얻을 수 있음을 보인다.
정리 E (섹션 13)
(\operatorname{char}(\mathbb{F}{\ell})>n^{2}) 라고 하자. (F:=\mathbb{F}{\ell}((t))) 로 두면, (\mathfrak{g}:=\mathfrak{gl}_{n}(F)) 위의 매끄럽고 컴팩트하게 지지되는 측도 (\mu) 에 대해
[ p_{*}(\mu)=f,\mu_{\mathbf{c}} ]
이며 여기서 (f\in L^{\infty}(\mathbf{c})) 이고 (\mu_{\mathbf{c}}) 은 (\mathbf{c}) 위의 Haar 측도이다.
1.3.1. FRS 사상
정리 D·E 는 [AA16] 에서 도입·연구된 FRS 사상 개념과 밀접한 관계가 있다.
정의 1.3.1
특성 0인 체 위의 매끄러운 대수 다양체 (X\to Y) 가
- 평탄(flat)하고,
- 모든 섬유가 감소(reduced)하며,
- 섬유의 특이점이 유리(rational) 하면 이를 FRS 라고 부른다.
이 정의의 동기는 다음 정리와 연결된다.
정리 1.3.2 ([AA16, Theorem 3.4]; [Rei18])
(F) 가 특성 0인 로컬 필드이고 (\varphi:X\to Y) 가 FRS 사상이라면,
(X(F)) 위의 매끄럽고 컴팩트하게 지지되는 측도 (\mu) 에 대해
(\varphi_{*}(\mu)) 는 연속 함수와 매끄러운 측도의 곱으로 표현된다.
양특성(positive characteristic) 경우에는 아직 일반적인 정리가 알려지지 않았다. 이유는 유리 특이점에 대한 보편적인 정의가 아직 합의되지 않았기 때문이다(예: [Har98], [Smi97], [Bha12], [Kov00]).
본 논문에서는 다음과 같은 정의를 채택한다.
정의 1.3.3
임의의 체 위에 정의된 다양체 (Z) 가
- Cohen–Macaulay,
- 정규(normal),
- 해소 (\eta:\widetilde{Z}\to Z) 가 존재하고
(\eta_{}\Omega_{\widetilde{Z}}\to i_{}\Omega_{Z^{\mathrm{sm}}}) 가 동형이면
(Z) 의 특이점을 유리 라고 부른다. 여기서 (i:Z^{\mathrm{sm}}\hookrightarrow Z) 은 매끄러운 부위의 포함이며 (\Omega) 은 최고 차 미분형 전단사이다.
주석 1.3.4 특성 0에서는 위 정의가 전통적인 “유리 특이점”과 동등함을 [AA16, Appendix B, Proposition 6.2] 가 보인다.
다음은 양특성에서도 적용 가능한 FRS 사상의 여러 변형이다.
정의 1.3.5
(F) 를 임의의 특성을 가진 로컬 필드라 하고, (\varphi:M\to N) 를 매끄러운 대수 다양체 사이의 평탄 사상이라 하자. 섬유가 감소하고 정규라고 가정한다.
- 지오메트릭 FRS(geo‑FRS): 모든 (y\in N(F)) 에 대해 (\varphi^{-1}(y)) 의 특이점이 유리일 때.
- 분석적 FRS(an‑FRS): 모든 매끄럽고 컴팩트하게 지지되는 측도 (\mu_{M}) 에 대해,
(\varphi_{*}(\mu_{M})=f,\mu_{N}) 인 유계 함수 (f) 와 매끄러운 측도 (\mu_{N}) 가 존재할 때. - 거의 분석적 FRS(almost an‑FRS): 위와 동일하지만 (f) 가 모든 (r\in[1,\infty)) 에 대해 (L^{r}(N)) 에 속한다는 추가 조건을 만족한다.
위 정의들은 (\mathbb{F}{\ell}) 에서 (\mathbb{F}{\ell}((t))) 로 스칼라를 확장함으로써도 적용한다.
주석 1.3.6 특성 0에서는 geo‑FRS와 FRS가 동등하고, 정리 1.3.2에 의해 an‑FRS도 자동으로 얻어진다.
따라서 정리 D는 “해소가 존재한다면 체발레 사상 (p:\mathfrak{g}\to\mathbf{c}) 가 almost an‑FRS이다” 라는 의미이며, 정리 E는 “(\operatorname{char}(\mathbb{F}_{\ell})>n) 일 때 위 사상이 an‑FRS임을 보인다” 라는 의미가 된다.
1.3.2. 스프링거 해소
니러포틱 콘 (N) 은 플래그 다양체의 여섯대접(코탄젠트) 번들 (T^{}(B)) 로부터 자연스럽게 해소 (\pi:T^{}(B)\to N) 를 갖는다(스프링거 해소).
특성 0에서는 이 해소를 이용해 (N) 의 특이점이 유리함을 증명할 수 있다([Hes76, Theorem A]). 그 결과는 다음 두 가지 중요한 추론을 낳는다.
- 제트 스킴의 비가역성: (N) 의 제트 스킴은 기대 차원만큼 비가역(irreducible)이다([Mus01, Appendix]).
- 체발레 사상의 an‑FRS: 위 사실과 [AA16, Theorem 3.4] 를 결합하면 (p:\mathfrak{g}\to\mathbf{c}) 가 an‑FRS임을 얻는다. 이는 [HC70, Theorem 13] 에서 얻은 궤도 적분(orbital integral) 경계와 동등하다. 이 경계는 Harish‑Chandra 가 p‑adic 군의 문자 적분정리를 증명하는 데 핵심적인 역할을 한다([HC99]).
양특성에서는 아직 위 두 결과가 알려지지 않았다. 다만 스프링거 해소 자체는 모든 특성에서 존재한다. 우리의 유리 특이점 정의(정의 1.3.3)를 적용하면 체발레 사상의 섬유가 유리 특이점을 가진다는 것을 얻는다([Hin91] 의 증명에 기반). 따라서
명제 1.3.7
체발레 사상 (p:\mathfrak{g}\to\mathbf{c}) 는 geo‑FRS이다.
하지만 다음과 같은 이유로 기존 결과([AA16], [Mus01], [HC70])는 양특성에서 아직 증명되지 않는다.
- 해소 존재성에 의존한다(양특성에서는 미해결).
- Grauert‑Riemenschneider 정리가 양특성에서는 일반적으로 성립하지 않는다([Ray78], [MvdK92]).
- [HC70] 의 증명은 (\mathfrak{g}) 가 중심과 도함수(algebraic derived algeb
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