무한히 많은 노름을 갖는 대수와 그 코다임ENSION의 비밀

📝 Abstract

Let $\mathcal{A}$ be an algebra, and let $\mathcal{A}^2 =$ span $\{ab : a, b \in \mathcal{A}\}$ be a subalgebra of $\mathcal{A} $. In this paper, we prove that if $\mathcal{A}^2$ has infinite codimension in $\mathcal{A}$ iff $\mathcal{A}$ has discontinuous square annihilation property (DSAP). In fact, in this case, the algebra $\mathcal{A}$ admits infinitely many non-equivalent algebra norms.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 동기

• 대수 노름의 분류: 기존 연구에서는 대수 노름을 크게 (i) 노름이 전혀 존재하지 않음, (ii) 유일한 노름만 존재함, (iii) 무한히 많은 비동등 노름이 존재함으로 구분하였다.
• 미해결 문제: “유한 개(2개 이상)만 존재하는 대수”가 존재할 수 있는가? 라는 질문은 아직 명확히 답변되지 않았다. 본 논문은 이 질문에 대한 간접적인 답을 제시한다.
• 핵심 아이디어: (\mathcal A^{2})와 (\mathcal A) 사이의 코다임ENSION이 무한하면, 불연속 선형 함수 (\varphi) (즉, DSAP)가 존재하고, 이를 이용해 새로운 노름을 무한히 만들 수 있다.

2. 주요 정의 및 정리

• 정리 2.4: (\operatorname{codim}(\mathcal A^{2})=\infty \iff \mathcal A)가 DSAP를 가짐.
• 정리 2.7: “노름이 유한 개만 존재하는 대수”라면 (1) 최대·최소 노름이 존재, (2) 완전 노름은 최대 1개, (3) (\operatorname{codim}(\mathcal A^{2}))는 유한.

3. 증명의 핵심 아이디어

1. 무한 코다임ENSION → DSAP
   • (\mathcal A^{2})와 교차하지 않는 무한 독립 집합 ({a_{n}})를 선택.
   • 이 집합을 이용해 (\varphi)를 정의하고, (\varphi)가 불연속임을 보인다 (노름이 1인 원소가 무한히 많아 연속성 위배).
2. DSAP → 무한 노름
   • (\varphi)를 이용해 새로운 “가중치” (|x|_{p}= \max{|x|, |\varphi(x)|^{p}}) (또는 유사한 형태) 를 정의.
   • 서로 다른 (p)값에 대해 동등하지 않은 대수 노름을 얻음.
3. 코다임ENSION이 유한하면
   • (\mathcal A^{2})가 닫힌 하위공간이므로 (\varphi)가 연속이 되며, DSAP가 불가능 → 무한 노름을 만들 수 없음.

4. 예시와 적용

• 디스크 대수 (A(\mathbb D)): 유니터가 존재하지만 (\operatorname{codim}(A^{2}))는 무한 → 무한 노름 존재 (정리와 일치).
• (C(\mathbb R)): 노름이 존재하지 않음 (예시 (i)).
• (B(H)) (bounded operators on Hilbert space): 유일한 C(^*)-노름만 존재 (예시 (ii)).
• 새로운 예시: (A\times\mathbb C)와 다항식 대수 (F

📄 Content

전체적인 전제
(A)는 복소수체 (\mathbb{C}) 위의 (결합적인) 대수라고 하자. (A)에 주어지는 노름은 선형 노름이며 동시에 곱에 대해 서브멀티플리케이티브(submultiplicative)임을 의미한다. 즉
[ |ab|\le |a|,|b|\qquad(a,b\in A) ]
가 성립한다. 두 노름이 **동등(equivalent)**하다는 것은 두 노름이 만들어 내는 거리 위상(metric topology)이 동일함을 뜻한다.

(A^{2}:=\operatorname{span}{ab : a,b\in A})는 (A)의 부분대수를 형성한다. 경우에 따라서는 (A^{2}=A)가 될 수도 있다.

1. 배경 및 동기

벡터 공간에 대해서는 선형 노름이 “동등함에 따라 하나만 존재하거나(즉, 동등한 노름이 유일) 무한히 많이 존재한다”는 사실이 잘 알려져 있다. 따라서 대수에 대해서도 같은 질문을 제기하는 것이 자연스럽다. 그러나 곱에 대해 서브멀티플리케이티브한 노름을 고려하면 그 행동은 전혀 다른 양상을 보인다. 아래의 참고문헌 ([DL:97], [DP:22(a)])에서 이러한 차이를 강조하고 있다.

지금까지 알려진 대수 노름의 분류는 크게 세 가지이다.

이러한 분류를 보면 “두 개보다 조금 더 많은, 즉 유한 개(>1)만큼의 서로 다른 노름을 갖는 대수는 존재할까?”라는 질문이 자연스럽게 떠오른다. 실제로 이 질문은 저자의 박사학위 논문에서도 제기되었다. 만일 그런 대수가 존재한다면, 코덴스 (\operatorname{codim}(A/A^{2}))가 유한이라는 결론을 Corollary 2.5 로부터 얻을 수 있다.

2. 기존 결과와 본 논문의 목표

Dales와 Loy ([DL:97])는 **유한 차원의 라디칼(radical)**을 갖는 대수의 예를 들어, 그 위에 서로 다른 두 개의 대수 노름을 구성하였다. 이를 계기로 본 논문에서는 그 결과를 더 일반화하고, 실제로 두 개가 아니라 무한히 많은 서로 동등하지 않은 대수 노름을 같은 종류의 대수 위에 만들 수 있음을 증명한다.

전체적인 전제는 (A)가 무한 차원 대수라는 가정이다.

3. 주요 정의와 보조 정리

정의 2.1 (불연속 제곱 소멸 성질, DSAP)

((A,|\cdot|))가 노름 대수일 때, **불연속 제곱 소멸 성질(Discontinuous Square Annihilation Property, DSAP)**을 가진다고 한다는 것은
[ \exists;\varphi\in A^{*}\ \text{(불연속 선형 함수)}\quad\text{such that}\quad A^{2}\subseteq\ker\varphi . ]

명제 2.2

((A,|\cdot|))가 노름 대수이고 (A)가 오른쪽(또는 왼쪽) 단위원소를 갖거나 **유계 근사 항등원(bounded approximate identity)**을 가질 경우, (A=A^{2})이다. 따라서 (A^{2}\subseteq\ker\varphi)인 모든 선형 함수 (\varphi)는 영함수이다. 반대로, 점곱, 스칼라곱, 그리고 곱 연산을 모두 점별로 정의한 (c_{00}) (유한 지지 수열들의 공간)을 생각하면 ((c_{00},|\cdot|{1}))는 노름 대수이며 (c{00}^{2}=c_{00})이지만 오른쪽·왼쪽 항등원이나 유계 근사 항등원을 갖지 않는다. □

보조정리 2.3

((A,|\cdot|))가 노름 대수이고 (\varphi)가 (A^{2}\subseteq\ker\varphi)를 만족하는 선형 함수라 하자. 각 (a\in A)에 대해
[ p_{a}(x)=\varphi(ax)\qquad(x\in A) ]
와 같이 정의하면 (p_{a})는 선형이며 (|p_{a}|\le|a||\varphi|)가 된다. (증명은 두 경우 모두 동일하게 간단히 따라간다.) □

정리 2.4 (코덴스와 DSAP의 동치)

((A,|\cdot|))가 노름 대수일 때, (A^{2})의 코덴스가 무한이면 (A)는 DSAP를 가진다. 반대로 DSAP를 가진다면 (A^{2})의 코덴스는 무한이다.

증명 개요
(A^{2})의 코덴스가 무한이면, 서로 선형 독립인 원소들의 가산 집합 (L={a_{1},a_{2},\dots}\subset A)를 잡을 수 있다. 각 (a\in L)에 대해 (|a|=1)이며 (A^{2}\cap L=\varnothing). (A^{2})의 기저 (D)를 잡고, (L) 위에 정의된 선형 사상 (\phi)를 이용해 새로운 노름 (p(\cdot))를 만든다. 이때 (p)는 기존 노름 (|\cdot|)와 동등하지 않다.

반대로 DSAP가 존재한다면, 불연속 선형 함수 (\varphi)가 존재하고 (\ker\varphi=A^{2})이다. 만약 (A^{2})의 코덴스가 유한하면, 포함 사상 (\phi:A\to A/A^{2})는 연속이 되고, (\varphi=\phi\circ\psi) (여기서 (\psi)는 유한 차원 공간에 대한 연속 사상)와 같이 표현될 수 있어 (\varphi)가 연속이 된다. 이는 가정에 모순이므로 코덴스는 무한이어야 한다. □

추론 2.5

(A)가 노름 대수이고 (A^{2})의 코덴스가 무한이면, (A)는 무한히 많은 서로 동등하지 않은 대수 노름을 가진다.

증명
위 정리와 동일한 가산 독립 집합 (L)를 잡고, 각 자연수 (n)에 대해 (L_{n}\subset L)를 무한 집합으로 선택한다. 각각에 대해 위와 같은 방법으로 새로운 노름 (|\cdot|{n})를 정의하면 ({|\cdot|{n}}_{n\in\mathbb{N}})는 서로 동등하지 않은 노름들의 무한열을 이룬다. □

4. 유한 개의 노름만을 갖는 대수에 대한 정리

정리 2.7

(A)가 오직 유한 개(>1)만큼의 대수 노름을 갖는 대수라고 가정하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. 최대·최소 노름 존재 : 모든 대수 노름 사이에 상하한을 이루는 노름이 존재한다.
2. 완비 노름은 최대 하나 : (A)가 완비인(즉, Banach 대수인) 경우, 완비 노름은 유일하다.
3. (A^{2})의 코덴스는 유한 : 위의 Corollary 2.5와 역으로, 코덴스가 무한하면 노름이 무한히 많아야 하므로, 유한 개만 존재하려면 코덴스가 반드시 유한이어야 한다.

5. 예시들

예시 3.2 (디스크 대수)

(A=A(\mathbb{D}))는 단위 원판 (\mathbb{D}) 위의 디스크 대수이다. 앞서 언급했듯이 이 대수는 무한히 많은 서로 동등하지 않은 노름을 가진다. 따라서 Corollary 2.5의 역은 성립하지 않는다(왜냐하면 (A(\mathbb{D}))는 단위 원소를 갖는 대수이기 때문이다).

예시 3.3 (직접곱 대수)

((A,|\cdot|))가 대수라 하면, (A\times\mathbb{C})에 점별 연산과
[ (a,\alpha)\cdot(b,\beta)=(ab,0)\qquad\bigl((a,\alpha),(b,\beta)\in A\times\mathbb{C}\bigr) ]
을 정의한다. 이 대수 역시 무한히 많은 대수 노름을 갖는다.

예시 3.4 (다항식 대수)

(F[x]={p(x)=a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}\mid a_{i}\in F})라 하자.
[ A:={p(x)\in F[x]\mid p^{(i)}(0)=0\ \text{for}\ 0\le i\le n-1} ]
이면 (A)는 일반적인 선형·스칼라 곱과 점곱을 갖는 대수이다. 여기서 (p(x)\in A)이면 반드시
[ p(x)=x^{n}q(x)\qquad(q(x)\in F[x]) ]
의 형태가 되므로 (A^{2}=x^{n}A)이다. 따라서
[ \operatorname{codim}(A/A^{2})=n, ]
왜냐하면 ({1,x,\dots ,x^{n-1}})이 (A/A^{2})의 기저가 되기 때문이다. 이 경우는 코덴스가 유한이므로, 앞의 정리 2.7에 따라 (A)는 유한 개(실제로는 정확히 하나)의 대수 노름만을 가질 가능성이 있다.

6. 결론

위에서 제시한 일련의 정의·정리·예시들을 통해 다음과 같은 흐름을 확인할 수 있다.

1. (A^{2})의 코덴스가 무한이면, 불연속 제곱 소멸 성질(DSAP)을 갖고, 결과적으로 무한히 많은 서로 동등하지 않은 대수 노름을 구성할 수 있다.
2. 반대로 코덴스가 유한하면, 가능한 노름의 개수는 제한될 수 있다. 특히, 코덴스가 유한하고 대수가 단위원을 갖는 경우에는 노름이 유일하거나, 최대·최소 노름만 존재하게 된다.
3. 실제로 유한 개(>1)만큼의 서로 다른 대수 노름을 갖는 대수는 존재한다는 것이 정리 2.7에 의해 보장된다. 이

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