“상대 균일 수렴과 전순서 벡터공간의 아키메데아 성질: 새로운 Archimedeanization 구축”
📝 Abstract
It is proved that, for a pre-ordered vector space $X $, the quotient space $(X/A,[W])$ is the Archimedeanization of $X $, where $W$ is the closure of the positive wedge $X_+$ in the ru-topology, $A=W\cap(-W) $, and $[W]$ is the quotient set of $W$ in $X/A $.
💡 Analysis
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| 항목 | 내용 및 평가 |
|---|---|
| 연구 배경 | Archimedean 성질은 Kadison의 표현정리, Choi‑Effros의 C*‑대수 표현 등 다양한 분야에서 핵심적인 전제조건이다. 최근 Paulsen‑Tomforde의 ordered (‑vector spaces* 이론과 de Pagter‑Wickstead의 자유 해석공간 구축에서도 Archimedeanization이 중요한 도구로 등장한다. 본 논문은 이러한 흐름에 맞춰 전순서(pre‑ordered) 구조에서도 Archimedeanization을 체계화한다는 점에서 의미가 크다. |
| 주요 정의 | - 쐐기(wedge)와 원뿔(cone): (W+W\subseteq W,; tW\subseteq W;(t\ge0)) 로 정의. - ru‑수렴: 규제(regulator) (w\in X_{+})가 존재해 ( |
| 핵심 정리 3.3 | (W:=\overline{X_{+}}^{,ru}) 를 ru‑폐쇄라 두고, (A:=W\cap(-W)) 를 “무한소” 부분공간이라 하면, 몫공간 (X/A) 에서 ( |
📄 Content
아르키메데스 성질은 다양한 해석적·대수적 구조들의 함수적 표현에서 핵심적인 역할을 합니다. 예를 들어, Kadison의 표현 정리 [7]는 아르키메데스 순서 단위가 있는 모든 실수 순서 벡터 공간이 콤팩트 하우스도르프 공간 위의 연속 실값 함수 공간의 벡터 부분공간과 순서 동형임을 알려 줍니다. Kadison 정리는 M. D. Choi와 E. G. Effros가 단위 원소를 포함하는 유니탈 C*‑대수의 자가수반 부분공간에 대해 유사한 표현 정리를 얻도록 영감을 주었습니다 [2].
아르키메데스 성질을 대수, 해석, 양자 물리학 등 다양한 응용과 연결하여 연구한 수많은 수학자들의 최신 연구가 계속해서 발표되고 있습니다. 획기적인 논문 [12]에서 V. I. Paulsen과 M. Tomforde는 순서 *‑벡터 공간 이론을 전개했으며, 그 이론에서 순서 단위가 있는 순서 벡터 공간의 아르키메데스화(Archimedeanization)가 핵심적인 역할을 합니다. 순서 단위가 있는 순서 벡터 공간의 아르키메데스화 구성 [12]은 임의의 순서 벡터 공간에까지 일반화되었으며 [3]에서 다루어졌습니다. 또한, 아르키메데스 구조에 대한 표현 정리를 기반으로 한 분석 분야의 또 다른 중요한 흐름, 즉 자유 해석 공간(free analytic spaces)의 구축이 B. de Pagter와 A. W. Wickstead가 선구적인 연구 [11]에서 시작되었습니다.
본 논문은 아르키메데스 성질과 (전)순서 벡터 공간에서의 상대 균일 수렴(relatively uniform convergence) 사이의 상호작용을 다룹니다. 정리 3.3에서는 전순서 벡터 공간 (X)의 양의 쐐기 (X^{+})의 (\tau_{ru})-폐쇄 ([W])의 몫집합이 (X/(W\cap(-W)))에서 아르키메데스 원뿔임을 증명합니다. 논문의 핵심 결과인 정리 3.5는 ((X/(W\cap(-W)),[W]))가 (X)의 아르키메데스화임을 확립합니다.
이후부터는 모든 벡터 공간을 실수 벡터 공간으로 가정하고, 연산자는 모두 선형이라고 가정합니다. 몇 가지 잘 알려진 정의를 다시 떠올려 보겠습니다. 추가적인 용어와 표기법에 대해서는 [1,5,8]을 참고하십시오.
- 쐐기(wedge): 벡터 공간 (X)의 부분집합 (W)가 (W+W\subseteq W)이며 (tW\subseteq W) ((t\ge 0))를 만족하면 (W)를 쐐기라고 합니다.
- 원뿔(cone): 쐐기 (C)가 (C\cap(-C)={0})을 만족하면 원뿔이라 합니다.
- 순서 벡터 공간(ordered vector space, OVS): 벡터 공간 (X)와 양의 원뿔 (X^{+})가 주어졌을 때, ((X,X^{+}))를 순서 벡터 공간이라 합니다.
- 전순서 벡터 공간(pre‑ordered vector space, POVS): 원뿔 대신 쐐기 (X^{+})를 사용하면 전순서 벡터 공간이 됩니다.
- 생성(generating) 혹은 주요(majorizing) 쐐기: 쐐기 (W\subset X)가 모든 (x\in X)에 대해 (x\in W-W)를 만족하면 (W)는 생성(또는 주요)이라고 합니다.
모든 OVS(POVS) (X)는 다음과 같은 (전)부분순서를 갖습니다.
[ x\le y;\Longleftrightarrow; y-x\in X^{+}. ]
두 벡터 ({a,b}\subset X)는 (가능하면 비어 있지 않은) 순서 구간 ([a,b]={x\in X\mid a\le x\le b})을 생성합니다.
전순서 벡터 공간 (X)의 부분집합 (A)가 (X)의 **순서 아이디얼(order ideal)**이라 하면, (A)는 (X)의 벡터 부분공간이며
[ x\in A,;|y|\le|x|;\Longrightarrow;y\in A ]
을 만족합니다(여기서 (|\cdot|)는 순서에 의해 정의된 절대값을 의미합니다).
명백히, 거의 아르키메데스(almost Archimedean)인 POVS는 반드시 OVS가 됩니다. 또한, 모든 아르키메데스 OVS는 거의 아르키메데스입니다. 반대는 일반적으로 성립하지 않으며, 2차원 OVS에서도 예외가 존재합니다(예: [3]의 예 2.5). 간단히 말해, POVS (X)가 거의 아르키메데스라는 것은 (X^{+})가 직선을 포함하지 않는다는 것과 동치입니다.
전순서 벡터 공간 (X)에서 상대 균일 수렴(relatively uniform convergence, ru‑convergence) 은 다음과 같이 정의됩니다. 순서 쐐기 (X^{+})의 원소 (w)가 **조절자(regulator)**라 하고, 어떤 순서 지수 ((\alpha))에 대해
[ x_{\alpha}\xrightarrow{ru}x\quad\Longleftrightarrow\quad \exists,w\in X^{+};\exists,(\alpha_{n}); \text{s.t.}; x_{\alpha}-x\le \frac{1}{n}w;\text{for all }\alpha\ge\alpha_{n}. ]
조절자를 명시하고 싶을 때는 (x_{\alpha}\xrightarrow{ru}x(w))라고 씁니다.
아르키메데스가 거의 성립하지 않는 OVS에서는 ru‑수렴한 넷이 유일한 극한을 갖지 않을 수 있지만, 거의 아르키메데스인 경우에는 ru‑극한이 유일합니다. ru‑수렴은 고전적인 함수 공간 (C[0,1])에서의 균일 수렴을 추상화한 개념이며, L. V. Kantorovich가 처음 도입했습니다 [9].
3. ru‑위상에서 양의 쐐기의 폐쇄성 vs 전순서 벡터 공간에서의 아르키메데스 성질
다음은 잘 알려진 사실입니다.
Lemma 3.1.
(X)의 쐐기 (W)에 대하여 ([W])는 몫공간 (X/A)에서 원뿔이 된다(여기서 (A)는 적절히 정의된 부분공간).
OVS (X)가 벡터 격자(vector lattice) 라면, 모든 (x\in X)에 대해
[ x^{+}:=\inf\bigl{X^{+}\cap (x+X^{+})\bigr} ]
가 존재합니다. 거의 아르키메데스인 벡터 격자는 자동으로 아르키메데스가 되며, 격자 아이디얼은 다음 성질을 만족하는 부분공간을 의미합니다.
[ \forall,x,y\in A;:;x\vee y,;x\wedge y\in A. ]
W. A. J. Luxemburg와 L. C. Moore는 [10]에서 ru‑폐쇄 집합이란 것이 바로 ru‑위상(τ_{ru})에서 닫힌 집합과 일치함을 보였습니다. 이 위상은 임의의 POVS에도 동일하게 정의될 수 있습니다(참조 [8]).
Definition 3.1.
POVS (X) 위에 정의된 ru‑위상 (\tau_{ru})는 다음과 같이 결정됩니다. 부분집합 (S\subset X)가
[ x_{n}\xrightarrow{ru}x\in S;\Longrightarrow;x\in S ]
을 만족하면 (S)는 (\tau_{ru})-닫힌 집합이라 합니다. (S)의 (\tau_{ru})-폐쇄를 (S^{ru})로 표기합니다.
정의 3.1으로부터 바로 알 수 있듯이, (\tau_{ru})는 다음 성질을 만족하는 가장 강한 위상입니다.
[ \text{(연속성)}\qquad x_{n}\xrightarrow{ru}x;\Longrightarrow;f(x_{n})\xrightarrow{ru}f(x) ]
모든 연산자 (f)에 대해(특히 양의 연산자). 일반적으로 (\tau_{ru})는 선형 위상이 아닙니다. 그러나 [10, Theorem 4.2]에 따르면, 벡터 격자 사이의 격자 동형사상은 (\tau_{ru})에서 연속이며, 이는 양의 연산자와 양의 쐐기가 주요(majorizing)인 경우에도 동일하게 적용됩니다.
다음은 ru‑수렴을 이용한 간단한 증명 예시입니다. 어떤 수열 ((x_{n}))가
[ x_{n}-x\le \frac{1}{n}u\qquad(u\in X^{+}) ]
을 만족한다면, 정의에 의해 (x_{n}\xrightarrow{ru}x)입니다. 이제 (\tau_{ru})-폐쇄성에 의해 (x\in T^{-1}(S))임을 보일 수 있습니다(자세한 증명은 본문을 참고).
T. Ito [6]는 벡터 격자 (X)가 아르키메데스인 경우와 (X^{+})가 ru‑폐쇄인 경우가 동치임을 보여 주었습니다. 아래에서는 이 결과를 전순서 벡터 공간 전반에 확대합니다.
Proof Sketch.
((\Rightarrow)) (X)가 아르키메데스이면, (X^{+})에 대한 ru‑수렴열이 (0)으로 수렴하면 원소 자체가 (0)이어야 함을 이용해 폐쇄성을 얻는다.
((\Leftarrow)) 반대로 (X^{+})가 ru‑폐쇄라면, (nx\le y) ((n\in\mathbb N))인 경우를 가정하고 ru‑수렴 정의를 적용하면 (x\le 0)임을 얻어 아르키메데스성을 증명한다.
Lemma 3.3은 고전적인 사실(예: [1, Lemma 2.3])과 비교될 수 있습니다.
Proposition 3.1.
POVS (X)가 어떤 선형 위상 (\tau)를 가지고, 그 위에서 쐐기 (X^{+})가 (\tau)-닫힌다면 (X)는 아르키메데스이다.
(\tau_{ru})는 일반적으로 선형이 아니지만, 앞서 언급한 바와 같이 (\tau_{ru})는 “(X^{+})가 (\tau)-닫힌”이라는 조건을 만족하는 가장 강한 위상입니다. 따라서 Lemma 3.3을 이용하면 다음과 같은 결론을 얻을 수 있습니다.
Corollary.
(X^{+})가 (\tau_{ru})-닫힌 경우, (X)는 아르키메데스이며, 반대로 아르키메데스이면 (X^{+})는 (\tau_{ru})-닫힌다.
3.5 정리와 그 응용
정리
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