“큐빗 사변의 선들: 새로운 IHS 사변을 찾아서”

📝 Abstract

We classify projective terminalizations of quotients of Fano varieties of lines on smooth cubic fourfolds by finite groups of symplectic automorphisms of the underlying cubic. We compute the second Betti number and the fundamental group of the regular locus. As a consequence, we identify two new deformation classes of four-dimensional irreducible holomorphic symplectic varieties with second Betti number equal to four and simply connected regular locus.

💡 Analysis

1. 연구 배경 및 동기

• IHS 다양체는 칸토니컬 클래스가 0인 복소 다양체들의 기본 빌딩 블록이며, 현재 알려진 매끄러운 사례는 K3 표면의 힐베르트 스킴, 일반화된 Kummer 다양체, 그리고 O’Grady의 차원 6·10 예시뿐이다. 새로운 변형 클래스를 찾는 일은 매우 어려운 문제이다.
• 특이점이 허용된 경우(터미널라이제이션)에는 더 풍부한 구조가 존재한다는 점이 최근 여러 연구(

📄 Content

불가약 홀로모픽 심플렉틱(IHS) 다양체는 자명한 정칙 클래스(즉, (K_X\equiv 0))를 갖는 다양체들의 분류에서 기본적인 구성 블록이며, 매우 풍부한 변형(moduli) 및 비사상(birational) 기하학을 가지고 있다. 고전적인 예들—K3 표면 위의 점들의 힐베르트 스킴, 일반화된 쿠머 다양체, 그리고 차원 6·10에서의 O’Grady 예—을 넘어 새로운 매끄러운 IHS 다양체의 변형 유형을 구축하는 일은 알려진 바와 같이 매우 어려운 문제이다.

그러나 특이점이 있는 경우에는 상황이 보다 유연해진다. IHS 다양체의 예를 만들기 위한 특히 생산적인 전략 중 하나는 **대칭 심플렉틱 자동사상(symplectic automorphisms)**을 갖는 군에 의해 매끄러운 심플렉틱 다양체를 나눈 뒤, 그 몫의 **프로젝트 터미널화(projective terminalization)**를 연구하는 것이다. 이 방법은 ([BGMM25;,FM21;,Fuj83;,Men22]) 등에서 활용되었다. ([Men22])는 Fujiki 사변(Fujiki fourfold)(K3 표면의 제곱에 대한 특정 몫의 터미널화)의 완전한 분류를 제공하고, ([BGMM25])는 K3 표면의 힐베르트 스킴 혹은 일반화된 쿠머 다양체에 대한 대칭 자동사상에 의해 유도된 몫들의 모든 터미널화를 분류한다. 이 두 작업만으로도 차원 4의 불가약 심플렉틱 다양체에 대해 최소 38개의 서로 다른 변형 클래스를 얻을 수 있다.

본 논문에서는 ([Men22,; \text{Section }1.3])에서 제시된 분류 프로그램을 이어 받아, 부드러운 입방체 사변(cubic fourfold) 위의 선들의 파노(Fano) 다양체에 대한 대칭 자동사상의 유한 군에 의해 얻어지는 몫들의 터미널화를 조사한다.

(X)를 매끄러운 입방체 사변이라 하고, 그 선들의 파노를 (F(X))라 하면, (F(X))는 K3[2]형의 차원 4 매끄러운 IHS 다양체이다. (X)의 자동사상이 **심플렉틱(symplectic)**이라 함은, 그에 의해 유도된 (F(X))의 자동사상이 그 홀로모픽 심플렉틱 형식에 대해 항등으로 작용함을 의미한다. 비록 (F(X))는 K3 표면 (S) 위의 두 점 힐베르트 스킴 (\operatorname{Hilb}^2(S))와 변형 동형이지만, (X)에 의해 유도된 심플렉틱 자동사상은 일반적으로 ([BGMM25;,Men22])에서 연구된 (S) 위의 자동사상의 변형이 아니다. 따라서 (G)가 (X)의 심플렉틱 자동사상 군일 때 (,F(X)/G)의 터미널화는 새로운 변형 클래스를 제공할 가능성이 있다.

정리 1.1

(X)가 매끄러운 입방체 사변이고, (G)가 (X)에 작용하는 유한 심플렉틱 군이라 하자.
(F(X)/G)의 프로젝트 터미널화 (Y)에 대하여, **정규 부분(regular locus)**의 두 번째 베티 수 (b_2(Y))와 기본군 (\pi_1)은 표 1에 정리되어 있다.

([LZ22])에 따르면, 매끄러운 입방체 사변의 모든 가능한 심플렉틱 자동사상 군은 완전히 분류된다. 각 군을 실현하는 구체적인 입방체 방정식은 ([Adl78;,Fu15;,HM19;,Koi24;,Mon13a;,Mon13b;,YYZ24]) 등에 수록되어 있으며, 이는 정리 1.1의 분류 작업을 시작하는 자연스러운 출발점이 된다.

([BGMM25,; \text{Proposition }8.1])에 의해, 표 1에 나타난 터미널화 중 정규 부분의 기본군이 비자명인 경우는, 단순 연결된 정규 부분을 갖는 터미널화의 준-에타(Quasi‑étale) 몫에 해당한다. 따라서 분류 목적상 우리는 정규 부분이 단순 연결인 IHS 다양체만을 고려하면 된다.

정리 1.2 (정리 4.2)

(X)와 (F(X))를 위와 같이 두고, (G)가 (X)에 작용하는 유한 심플렉틱 군이라 하자.
(q\colon F(X)\to F(X)/G)를 몫 사상, (Y)를 그 터미널화, (\Sigma)를 (F(X)/G)의 축소된 특이점 집합이라 하자.

각 (g\in G)에 대해, 코다멘션 2인 고정 부분의 유일한 성분을 (F_g\subset F(X))라 표기한다(존재한다면).
(N_G(g))와 (C_G(g))는 각각 (g)의 **정규자(normaliser)**와 **중심자(centraliser)**를 의미한다.

다음 수들을 정의한다.

• (n_2) : (\operatorname{ord}(g)=2)인 원소 (g)에 대해, (q(F_g))가 (\operatorname{Sing}(F(X)/G))에 나타나는 성분의 개수.
• (n_{31}) : (\operatorname{ord}(g)=3)이며, (N_G(g)\setminus C_G(g))에 짝수 차수 원소가 존재하는 경우에 해당하는 성분의 개수.
• (n_{32}) : (\operatorname{ord}(g)=3)이며, (N_G(g)\setminus C_G(g))에 짝수 차수 원소가 전혀 없는 경우에 해당하는 성분의 개수.

그때 다음 식이 성립한다.

[ \boxed{,b_2(Y)=\operatorname{rk}\bigl(H^2(F(X),\mathbb Z)^G\bigr);+;n_2;+;n_{31};+;2,n_{32}, } ]

이 식에서 (n_2) 은 오직 군 (G)의 추상적인 구조에만 의존한다. 반면 (n_{31},,n_{32}) 은 (G)가 (\operatorname{PGL}_6) 안에 어떻게 **구현(embedding)**되는가에 따라 달라진다.

([Fu15])에 따르면, 차수 3인 심플렉틱 자동사상이 코다멘션 2 고정 부분을 갖는 경우는 정규형이 (\operatorname{diag}(1,1,1,\omega,\omega,\omega)) 일 때뿐이다. 이러한 원소는 (b_2(Y))에 기여할 뿐 아니라, 해당 군 작용이 K3 표면 (S) 위의 (\operatorname{Hilb}^2(S)) 로부터 유도된 것이 아님을 보여준다. 실제로, 차수 3인 유도된 심플렉틱 자동사상의 고정 부분은 코다멘션 2 성분을 전혀 갖지 않는다. 따라서 표 1에 나타난 (n_{31}) 혹은 (n_{32})가 비자명인 경우는 ([BGMM25])의 분류에 포함되지 않는 새로운 군 작용을 의미한다.

불변 격자(rank) 결정

(H^2(F(X),\mathbb Z)^G)의 **불변 격자(rank)**를 구하는 일은 미묘한 작업이다. ([HM19])는 K3[2]형 심플렉틱 다양체에 대해 심플렉틱 군 작용이 가능할 때의 가능한 랭크 목록을 제공하지만, 실제 작용 자체는 제시되지 않으며 동일한 추상 군이 여러 다른 랭크를 가질 수 있다. 제5장 1절에서는 다양한 전략을 동원해 각 경우에 맞는 정확한 랭크를 판별한다.

새로운 변형 클래스의 존재

심플렉틱 몫으로부터 유도된 IHS 다양체의 **변형 동형성(deformation equivalence)**에 대한 수치적 장애물을 이용해, 우리 터미널화들 중 진정 새로운 변형 유형을 식별한다. 기존에 알려진 예는 **(b_2=4)**인 하나의 변형 클래스뿐이며, 이는 Menet이 ([Men22])에서 만든 Fujiki 사변이다.

우리의 새로운 클래스는 최대 군
[ G=A_7\quad\text{와}\quad G=L_2(11) ]
에 의해 얻어진다.

• **(A_7)**는 두 개의 비동형 매끄러운 입방체 사변에 각각 서로 다른 방식으로 작용한다. 이 두 경우에 대한 터미널화가 변형 동형인지 여부는 아직 미해결이며, 각 사변의 특이점 구조에 대한 정밀한 분석이 필요하다.
• (b_2>4)인 경우에도 마찬가지로, 수치 기준만으로는 표 1에 있는 터미널화들이 새로운 변형 클래스를 형성하는지 여부를 판별할 수 없다.

배경 정의 및 기본 사실

• 정규 부분의 연장: ([KS21,; \text{Corollary }1.8])에 따르면, 정규 부분 (X_{\mathrm{reg}}) 위의 홀로모픽 심플렉틱 형식 (\omega_{X_{\mathrm{reg}}})은 해결(resolution) (X\to X) 위의 (가능하면 퇴화된) 2‑형식 (\omega_X) 로 연장된다.

• IHS 다양체의 정의: (,(X,\omega_X))가 불가약 홀로모픽 심플렉틱(IHS) 다양체가 되려면, 모든 유한 준‑에타( quasi‑étale) 커버 (g\colon X’\to X)에 대해 반사형(reflexive) 형태들의 외부 대수가 외부 대수 자체와 동형이어야 한다.

• 입방체 사변과 파노: (V)를 차원 6인 복소 벡터 공간이라 하고 (\mathbb P^5=\mathbb P(V))라 하자. 매끄러운 입방체 사변 (X\subset\mathbb P^5)에 대해, 그 선들의 파노 (F(X))는 차원 4의 매끄러운 사영 다양체이며, ([BD85])에 의해 IHS임이 알려져 있다. 우리는 플러커(Plücker) 극선 번들의 제한으로 정의되는 **극선 극성(L)**을 사용한다.

• 자동사상의 종류:

  • 극성(Polarized): (\varphi^*L\simeq L).
  • 심플렉틱(Symplectic): (\varphi)가 (H^{2,0}(F(X)))에 대해 항등으로 작용한다.

  ([Cha12,; \text{Proposition }

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