양자 대칭 단순 배제 과정(QSSEP)의 연속체 해석과 자유 확률론 기반 비가환 확률 과정

📝 Abstract

The quantum symmetric simple exclusion process (QSSEP) is a recent extension of the symmetric simple exclusion process, designed to model quantum coherent fluctuating effects in noisy diffusive systems. It models stochastic nearest-neighbor fermionic hopping on a lattice, possibly driven out-of-equilibrium by boundary processes. We present a direct formulation in the continuum, and establish how this formulation captures the scaling limit of the discrete version. In the continuum, QSSEP emerges as a non-commutative process, driven by free increments, conditioned on the algebra of functions on the ambiant space to encode spatial correlations. We actually develop a more general framework dealing with conditioned orbits with free increments which may find applications beyond the present context. We view this construction as a preliminary step toward formulating a quantum extension of the macroscopic fluctuation theory.

💡 Analysis

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1. 연구 동기와 배경

   • 고전적인 비평형 현상에 대한 거시적 변동 이론(MFT)은 확산 시스템의 전송 및 변동을 성공적으로 기술했지만, 양자 코히런스와 얽힘을 포함한 양자 비평형 현상에 대한 확장은 아직 미완성 상태이다. QSSEP은 이러한 빈틈을 메우기 위해 제안된 최초의 양자 배제 과정 중 하나이며, 기존 연구는 주로 이산 격자 모델에서 시작해 연속극한을 취하는 방식이었다.
   • 저자들은 “연속체에서 바로 정의된 QSSEP”이라는 새로운 접근법을 제시함으로써, 이산‑연속 변환 과정에서 발생할 수 있는 미세한 정규화 문제와 스케일링 한계의 복잡성을 회피한다는 점에서 큰 의의를 가진다.

2. 핵심 아이디어와 수학적 구조

   • 조건부 자유 확률: 대수 (D=L^{\infty}

📄 Content

비평형 현상, 고전이든 양자이든, 자연계에 널리 퍼져 있지만 그 이해는 평형 현상에 비해 아직 훨씬 얕다. 지난 10년간 고전 비평형 시스템에 대한 개념적 진전이 크게 이루어졌다. 이는 대칭 단순 배제 과정(Symmetric Simple Exclusion Process, SSEP)이나 그 비대칭 버전(ASEP)과 같은 단순 모델 시스템을 정확히 분석한 결과이다[15,19]. 이러한 진전은 확산 고전 시스템에서 운송 및 그 변동을 기술하는 유효 이론, 즉 **거시 변동 이론(Macroscopic Fluctuation Theory, MFT)**의 정립으로 귀결되었다[10].

하지만 거시 변동 이론을 양자 영역으로 어떻게, 혹은 어떤 방식으로 확장할 수 있는가라는 질문은 아직 풀리지 않았다[3]. 양자 버전의 MFT는 단순히 확산 운송과 그 변동을 설명하는 것을 넘어, 비평형 확산 시스템에서 발생하는 양자 간섭, 상관, 얽힘 역학 등 양자 코히런스 현상과 그 변동까지 포괄해야 한다. 최근에는 두 가지 상보적인 접근법을 통해 진전이 이루어졌다.

첫 번째 접근법은 **무작위 양자 회로(random quantum circuits)**를 분석함으로써, 양자 혼돈 시스템에서 얽힘 생성이 ‘막(membrane)’ 형태로 나타난다는 그림을 제시한다[20,21,27,30]; 리뷰는 [16]을 참고한다. 두 번째 접근법은 **양자 배제 과정(quantum exclusion processes)**을 연구하는 것으로, 고전 배제 과정을 양자 영역으로 확장한다[2]. 전형적인 예가 **양자 대칭 단순 배제 과정(Quantum Symmetric Simple Exclusion Process, QSSEP)**이다[6]. QSSEP는 1차원 체인 위에서 페르미온이 무작위로 점프하는 확률적 진화를 기술한다. 평균 동역학은 고전 SSEP와 동일하지만, QSSEP를 연구하면서 두 가지 눈에 띄는 특징이 드러났다.

1. 이러한 잡음이 있는 양자 시스템에서 운송 변동은 대체로 고전적이며, 양자적 기원에 의한 부수적 변동은 차수가 낮다[1,8].
2. 비대각선 양자 상관은 탈코히런스 이후에도 지속되며, 이는 자유 확률 이론(free probability theory)과 깊은 연관을 가진 풍부한 구조를 보여준다[17].

그럼에도 불구하고 기존 연구는 이산 모델을 먼저 정의하고, 이후 연속적인 스케일링 한계(N→∞)를 취하는 방식에 의존한다. 본 논문의 목표는 이산‑연속 전이를 생략하고, 연속적인 차원에서 QSSEP를 직접 정의하는 것이다.

1. QSSEP의 기본 설정

QSSEP의 동역학은 두점 함수 행렬

[ G^{(s)}_{ij}:=\operatorname{Tr}\bigl(\rho_s,c_i^\dagger c_j\bigr),\qquad i,j=1,\dots ,N, ]

의 확률적 진화에 의해 완전히 규정된다. 여기서 (c_i^\dagger ,c_i)는 페르미온 생성·소멸 연산자이며, (\rho_s)는 시간 (s)에서의 밀도 행렬이다. QSSEP는 특수한 구조 덕분에 (G^{(s)})가 확률 미분 방정식(SDE)

[ G_{s+ds}=e^{i,d h_s},G_s,e^{-i,d h_s}+ \text{boundary terms},\tag{1.1} ]

을 만족한다. 여기서 (d h_s)는 구조화된 행렬값 브라운 운동의 한 샘플이다. QSSEP는 세 가지 변형을 갖는다.

대규모 (N) 한계에서 경계 항은 두 끝점의 입자 밀도((n_a,n_b))를 고정하고, (n_a\neq n_b)일 경우 시스템을 비평형 상태로 만든다. 자세한 정의와 기호는 부록 A를 참고한다.

2. 스케일링 한계와 순환 모멘트

시간과 공간을 확산적으로 재스케일링한다:

[ t = \frac{s}{N^{2}}\in\mathbb{R}_{+},\qquad x = \frac{i}{N}\in[0,1]. ]

이때 순환 모멘트

[ \operatorname{Tr}\bigl(G,\Delta_{1},G,\Delta_{2}\cdots G,\Delta_{p}\bigr),\qquad p\ge0, ]

가 주요 관측량이 된다. 여기서 (\Delta_k)는 대각 행렬이며, 인덱스 위치 (x_k=i_k/N)에 의존한다. 이러한 모멘트는 (O(N^{-p}))로 스케일링되며, (\Delta_k)를 테스트 대각 행렬로 두고 ‘입힌(dressed)’ 모멘트를 정의한다.

[ \Phi_{t}(\Delta_{1},\dots ,\Delta_{p}) := \operatorname{Tr}\bigl(G_{t},\Delta_{1}\cdots G_{t},\Delta_{p}\bigr). ]

(\Delta_k)에 대해 선형 전개하면 원래 순환 모멘트가 복원된다. 따라서 이 모멘트들은 대각 행렬 부분대수에 조건부된 랜덤 행렬의 모멘트로 해석될 수 있다.

3. 연속 QSSEP가 만족해야 할 두 가지 핵심 원칙

1. 조건부 측정에 기반한 한계 과정
   대규모 한계에서 대각 행렬 대수는 (\mathcal{L}^{\infty}[0,1]) (구간 ([0,1]) 위의 유계 함수 대수)와 동형이다. 따라서 연속 QSSEP는 필터링 대수 ((\mathcal{A}t){t\ge0}) 위에 정의된, (\mathcal{L}^{\infty}[0,1])에 조건부된 확률 과정이어야 한다.

2. 자유 독립적 증분에 의해 구동
   이산 모델에서 Hamiltonian 증분 (d h_s)는 큰 차원의 가우시안 행렬이며, 대규모 한계에서는 자유 자유(Free) 반직교(semi‑circular) 변수 (dX_t)로 매핑된다. 따라서 연속 과정은 조건부 자유 브라운 운동에 의해 구동되어야 한다.

4. 자유 확률적 프레임워크와 자유 SDE

위 원칙을 구현하기 위해 다음과 같은 구조를 설정한다.

• 필터링 대수 ({\mathcal{A}t}{t\ge0})와 그 하위 대수 (\mathcal{D}\subset\mathcal{A}_t) (여기서는 (\mathcal{D}=\mathcal{L}^{\infty}[0,1])).
• 조건부 기대값 (\mathbb{E}_{\mathcal{D}}:\mathcal{A}_t\to\mathcal{D}).
• 조건부 자유 브라운 운동 ({X_t}_{t\ge0}\subset\mathcal{A}_t) :
  • 증분 (dX_t:=X_{t+dt}-X_t)는 동일하게 분포된 자유 반직교 변수이며, 서로 겹치지 않는 시간 구간에 대해 (\mathcal{D})-자유이다.
  • (\mathcal{D})-값 분산은
    [ \mathbb{E}{\mathcal{D}}!\bigl[X{t_1},\Delta,X_{t_2}\bigr]=(t_1\wedge t_2),\sigma_{\varepsilon}(\Delta),\qquad \Delta\in\mathcal{D}, ]
    여기서 (\sigma_{\varepsilon}:\mathcal{D}\to\mathcal{D})는 완전 양(Completely Positive) 사상이다.

이 구조 하에서 자유 확률적 미분 방정식

[ \phi_{t+dt}=e^{i,dX_t},\phi_t,e^{-i,dX_t}+ \text{boundary terms},\qquad \phi_0\in\mathcal{D},\tag{1.3} ]

을 정의한다. (1.3)은 자유 자유증분을 갖는 공액 궤도(adjoint orbit) 흐름을 기술한다. 섹션 2·3에서 이론적 배경을 제시하고, 섹션 4에서 QSSEP에 적용한다.

5. QSSEP에 대한 구체적 선택

• 조건부 대수 (\mathcal{D}= \mathcal{L}^{\infty}[0,1]).
• 분산 사상 (\sigma_{\varepsilon}(\Delta)=\varepsilon^{-1}G_{\varepsilon}(\Delta)) 로 정의한다. 여기서 (G_{\varepsilon})는 시간 (\varepsilon)에서의 열핵(heat kernel)이며, 경계 조건은 QSSEP 변형에 따라 달라진다. 실제로는
  [ \sigma_{\varepsilon}(\Delta)=\sigma_{\varepsilon}(\mathbf{1}),\Delta+\partial_{x}^{2}\Delta+O(\varepsilon) ]
  와 같은 형태의 완전 양 사상을 택하고 (\varepsilon\to0) 한계를 취한다.

이렇게 하면 공간 의존성을 복원하면서도, 자유 확률적 구조를 유지하는 연속 QSSEP가 완성된다.

6. 정리 정리(Theorem 1.1)

정리 1.1
이산 QSSEP의 두점 함수 행렬 (G^{(s)})와, 대각 행렬 시퀀스 ({\Delta_k})를 잡고, 연속 QSSEP 해 (\phi_t)를 (1.3)식의 자유 SDE 해로 정의한다(경계 조건은 섹션 4.1·4.2 참고).
그러면 (\phi_t)는 이산 모델의

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