고차 차수 Crouzeix‑Raviart 유한요소의 이산 신뢰성 증명 및 적응적 수렴 분석

📝 Abstract

In this paper, the adaptive numerical solution of a 2D Poisson model problem by Crouzeix-Raviart elements ( $\operatorname*{CR}_{k}$ $\operatorname*{FEM} $) of arbitrary odd degree $k\geq1$ is investigated. The analysis is based on an established, abstract theoretical framework: the \textit{axioms of adaptivity} imply optimal convergence rates for the adaptive algorithm induced by a residual-type a posteriori error estimator. Here, we introduce the error estimator for the $\operatorname*{CR}_{k}$ $\operatorname*{FEM}$ discretization and our main theoretical result is the proof ot Axiom 3: \textit{discrete reliability}. This generalizes results for adaptive lowest order $\operatorname*{CR}_{1}$ $\operatorname*{FEM}$ in the literature. For this analysis, we introduce and analyze new local quasi-interpolation operators for $\operatorname*{CR}_{k}$ $\operatorname*{FEM}$ which are key for our proof of discrete reliability. We present the results of numerical experiments for the adaptive version of $\operatorname*{CR}_{k}$ $\operatorname*{FEM}$ for some low and higher (odd) degrees $k\geq1$ which illustrate the optimal convergence rates for all considered values of $k $.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 동기

• 비정합 FEM(특히 CR 요소)은 안정성(stability) 과 간단한 구현 때문에 널리 사용되지만, 고차원(고차수)에서는 공간 비포함성(non‑nestedness) 문제로 적응적 수렴 이론이 미비했다.
• 기존 연구는 (k=1) 에 대해서만 이산 신뢰성을 입증했으며, 고차(odd) 차수에 대한 일반화는 아직 해결되지 않은 과제였다.

2. 주요 기여

3. 방법론적 핵심

1. 문제 설정
   • (\Omega\subset\mathbb{R}^2) 를 다각형 Lipschitz 영역으로 두고, 동일한 Dirichlet 경계조건을 갖는 포아송 방정식을 고려.
2. CR(_k) 비정합 공간 정의
   • 점프 조건 (\int_E \llbracket u \rrbracket q =0) (\forall q\in P_{k-1}(E)) 로 정의된 비정합 공간 (H^{\text{CR}}_{k,0}(\mathcal{T})).
3. 잔차 기반 사후오차 추정기
   • 요소 내부 잔차와 면(에지) 점프를 결합한 형태 (\eta_T) 를 사용, 형상 규칙성과 다항 차수에 대한 명시적 상수 제공.
4. Quasi‑Interpolation 연산자 (I_{\text{NC}})
   • 지역 자유도(점, 에지, 내부 모멘트)를 이용해 정의, 에너지 직교성 대신 근사성과 보존성을 보장.
5. Axiom 3 증명 전략
   • (I_{\text{NC}}) 와 보강 연산자 (J) (conforming companion) 를 결합, 삼각형 패치와 에지 패치에 대한 추정식을 전개.
   • 비포함성 문제를 (J\circ I_{\text{NC}}) 로 해결, 최종적으로 (|u_h - u_H|_{a} \le \Lambda_3 \eta(\mathcal{M})) 형태를 얻음.

4. 강점

• 일반화된 증명: 홀수 차수 전부에 적용 가능, 기존 연구를 크게 확장.
• 구조적 접근: quasi‑interpolation 연산자를 명시적으로 구성함으로써 다른 비정합 방법(예: DG, HHO)에도 적용 가능성 제시.
• 수치 검증: 다양한 차수와 복잡한 메쉬 정제 전략에서도 최적 수렴을 확인, 실용적 신뢰성 확보.

5. 한계 및 개선점

6. 향후 연구 방향

1. 짝수 차수 및 3D 확장 – 자유도 구조를 재설계하여 전반적인 적응성 이론을 완성.
2. 다중 물리·비선형 문제 – 비정합 요소의 장점(안정성, 자유도 감소)을 활용한 복합 PDE에 적용.
3. 알고리즘 최적화 – 멀티그리드·행렬‑프리 구현을 통해 고차수 CR(_k) AFEM의 실시간 시뮬레이션 가능성 확대.
4. 오차 추정기 개선 – 데이터‑드리븐 혹은 머신러닝 기반 가중치 조정으로 추정기의 효율성을 높이는 연구.

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📄 Content

한국어 번역 (2000자 이상)

℧ ⊂ ℝ² 를 유계 다각형 Lipschitz 영역이라고 하자. 우리는 균일 디리클레 경계조건을 만족하는 포아송 방정식의 Galerkin 이산화를, 차수가 임의의 홀수 k ≥ 1 인 비정규 Crouzeix‑Raviart 유한요소(CR k FEM)를 이용해 고려한다. Crouzeix‑Raviart 요소는 처음에 [19]에서 삼각분할 𝒯 위의 유한 차원 함수공간 𝑊_h 를 정의하면서, 요소 경계 사이의 점프에 대한 직교조건을 부과함으로써 도입되었다. 이 조건은 구체적인 CR‑type 요소들을 설계하는 데 큰 자유도를 제공한다. 2차원에서의 예로는 차수 k = 1 인 가장 낮은 차수 CR 요소 [19] (예: [9]의 서베이), k = 2 인 Fortin‑Soulie 요소 [24], k = 3 인 Crouzeix‑Falk 요소 [18], k ≥ 4 인 Gauss‑Legendre 요소 [3] 및 표준 정규 hp‑유한요소 등이 있다. 또한 [16]에서는 2차원 Stokes 방정식에 대해 k = 4, 6 인 경우가 논의되었다. 3차원에서는 선형 CR 1 FEM [19] 와, 2차 CR 요소에 대한 지역 기저 구성을 제시한 [23], 최대 차수의 CR 요소를 다루는 [17], 그리고 최근의 연구 [6]에서는 차수 k ≥ 1 인 모든 홀수 차수에 대해 d ≥ 2 차원까지 확장하고, 지역 보간 연산자를 제공한다.

본 논문에서는 잔차 기반 사후오차 추정자(식 (3.3) 참고)에 의해 구동되는 “solve → estimate → mark → refine” (식 (1.2)) 형태의 반복 루프에 의해 생성되는 적응형 Crouzeix‑Raviart 유한요소 방법(CR k AFEM)을 연구한다. 마킹 전략으로는 Dörfler 마킹 [21]을, 세분화 전략으로는 최신 정점 이분법(newest vertex bisection) [27, §2.1]을 사용한다. 목표는 잔차 오차 추정자에 의해 구동되는 임의의 홀수 차수 k ≥ 1 의 CR k AFEM이 최적 수렴을 보인다는 것을 증명하는 것이다.

적응성 공리[12]는 다음 네 가지 성질을 포함한다.

• 안정성 (A1)
• 감소 (A2)
• 이산 신뢰성 (A3)
• 일반화된 준직교성 (A4)

이 네 공리와 Dörfler 마킹, 최신 정점 이분법을 결합하면 식 (1.2)와 같은 적응 과정에 대해 최적 수렴률을 증명하기 위한 충분한 이론적 틀을 제공한다. 표준 h‑버전 정규 AFEM에 대해서는 잔차 오차 추정자에 대한 최적 수렴이 알려져 있다(예: [15, 33]). [12]의 §5.1에서는 적응성 공리 틀 안에서 정규 AFEM의 최적 수렴을 증명한다. 비정규 방법에 대해서는 두 가지 주요 접근법이 있다. 첫 번째는 완전 불연속 방법을 포함하는 불연속 Galerkin(dG) 이산화(예: [2]의 통합 분석)와 하이브리드 고차(HHO) 방법(예: [20])이며, 두 경우 모두 이중형식의 안정화가 필요하다. 두 번째는 CR k FEM처럼 이중형식의 안정화가 필요 없는 방법이다. 가장 낮은 차수 CR 1 AFEM에 대해서는 최적 수렴이 알려져 있으며([4, 31] 참고), [12, §5.2]에서도 적응성 공리 틀 안에서 최적 수렴을 증명한다. 고차 CR k AFEM의 최적 수렴은 아직 미해결 문제이다. [8]에서는 적응형 대칭 내부 페널티 dG 방법의 최적 수렴을 보였으며, HHO에 대해서는 안정화 항을 포함한 신뢰성·효율성 추정자([20, §4])가 제시되었지만 감소 속성(A2)은 아직 증명되지 않았다. 최근 연구([5])에서는 안정화가 없는 효율적·신뢰성 있는 잔차 추정자를 HHO에 대해 제시했지만, 이산 신뢰성(A3)은 여전히 열려 있다.

본 논문에서는 적응성 공리 틀을 따르며, 임의의 홀수 차수 k ≥ 1 에 대해 CR k FEM이

• 이산 신뢰성(A3) (정리 3.2)
• 안정성(A1) 및 감소(A2)

를 우리 잔차 오차 추정자에 대해 만족함을 증명한다. 비정규 유한요소 방법(CR k FEM)에서 가장 큰 어려움은 메시 정제에 따라 유한요소 공간이 일반적으로 중첩되지 않는다는 점이다. 예를 들어, 𝒯가 𝒯′의 정제라면 일반적으로
[ \text{CR}_k(\mathcal{T}’) \not\subset \text{CR}k(\mathcal{T}) ]
가 된다. 이를 다루는 한 방법은 정규 동반/보강 연산자 J 를 도입하는 것으로, 이는 [10]에서도 사용되었다. 논문 [14]에서는 비정규 유한요소 방법의 이산 신뢰성을 증명하기 위해 차원에 독립적인 접근법을 제시했으며, 여기서 연산자 J는 비정규 준보간 연산자 (I{\text{NC}}: V+V(\mathcal{T})\to V(\mathcal{T}))에 대한 정규 동반 연산자 역할을 한다. 여기서 V는 약해 해의 공간이고, (V(\mathcal{T}))는 비정규 유한요소 공간이다.

[14]의 접근법은 두 가지 핵심 가정을 필요로 한다.
(a) 비정규 준보간 (I_{\text{NC}}) 가 에너지 이중형식에 대한 직교 사영이어야 하고,
(b) (I_{\text{NC}}) 가 국소 자유도 로부터 구성되어야 한다.

차수 k = 1 인 경우, 준보간 연산자 (I_{T,\text{CR}1}) (식 (3.4)에서 k = 1) 은 자유도에 의해 정의되며 (a), (b) 두 조건을 모두 만족한다. (a)는 부분적분에 의해, (b)는 구성 방식에 의해 보장된다. 그러나 차수 k ≥ 3 인 홀수 차수에 대해서는 (a)와 (b)를 동시에 만족하는 준보간 연산자가 아직 알려지지 않았다.

따라서 우리는 직교성 요구조건 (a)를 포기하고 [14]의 방법을 일반화한다. 새로운 준보간 연산자를 도입하는데, 이 연산자는 [6, §6.1]에 기술된 CR k FEM의 국소 자유도 를 활용한다. 짝수 차수 k ≥ 2 에 대해서는 [6, Rem. 26]에 따라 자유도가 전역량이 되므로 현재 분석에 적합하지 않다. [14]는 모든 차원 d ≥ 2 에 대해 k = 1 을 다루었고, 본 연구는 d = 2 와 홀수 k ≥ 1 에 초점을 맞춘다. 이는 2차원에서 임의의 홀수 차수 CR k AFEM의 최적 수렴 이론을 완성하기 위한 핵심 단계이다.

논문의 구성

1. Section 2 – 기호와 함수공간을 소개한다.
2. Section 3 – 포아송 모델 문제와 CR k FEM에 대한 잔차 오차 추정자를 정의하고, 적응성 공리를 간략히 복습한다. 또한 주요 정리(정리 3.2)를 보조 결과들의 연쇄를 통해 증명한다.
3. Sections 4–7 – 보조 결과들의 증명을 제공한다. 특히, 새로운 준보간 연산자의 구체적 구성에 중점을 둔다.
4. Section 8 – 잔차 오차 추정자에 대한 안정성(A1) 과 감소(A2) 를 증명한다.
5. Section 9 – 차수 k ∈ {1, 3, 5, 7} 에 대해 고차 CR k AFEM의 최적 수렴을 보여주는 수치 실험을 제시한다.

기본 정의와 기호

• 인덱스 집합
  [ \mathbb{N}_{\le n}:={0,1,\dots,n},\qquad {\alpha\in\mathbb{N}_0^2\mid 0\le|\alpha|} ]

• 도메인 및 삼각분할
  Ω ⊂ ℝ² 은 열린, 유계, 다각형 Lipschitz 영역이며, ∂Ω 은 그 경계이다. 𝒯는 Ω 위의 정합(triangulation) 인 닫힌 삼각형들의 집합이다. 두 삼각형 K, K′∈𝒯가 겹치면 그 교집합은 공통 변 E, 공통 정점 z, 혹은 공집합이다.

• 기하학적 파라미터
  삼각형 K의 지름을 h_K, 면적을 |K|, 그리고 K에 내접하는 가장 큰 원의 반지름을 ρ_K 라고 한다. 𝒯의 형상 규칙성 상수는
  [ \gamma_{\mathcal{T}}:=\max_{K\in\mathcal{T}}\frac{h_K}{\rho_K} ]
  로 정의한다.

• 표기법
  양의 실수 A, B에 대해 (A\lesssim B) 라고 쓰면, 상수 C>0가 존재하여 (A\le C B) 가 성립함을 의미한다. 여기서 C는 형상 규칙성 상수 γ_𝒯와 다항식 차수에만 의존한다.

• 부분 메쉬와 패치
  부분 메쉬 (S\subset\mathcal{T}) 에 대해
  [ \omega_S:=\bigcup_{K\in S}K,\qquad h_S:=\max_{K\in S}h_K ]
  로 정의한다. 또한 가장자리와 정점을 각각 (\mathcal{E}(S)), (\mathcal{V}(S)) 로 표기한다. 내부·경계 구분은 아래와 같이 표기한다.
  [ \mathcal{E}\Omega(S):=\mathcal{E}(S)\setminus\mathcal{E}{\partial\Omega}(S),\qquad \mathcal{V}\Omega(S):=\mathcal{V}(S)\setminus\mathcal{V}{\partial\Omega}(S). ]

• 패치 정의
  삼각형 K, 변 E, 정점 z에 대해 각각
  [ \mathcal{S}_K:={K’\in\mathcal{T}\mid K’\cap K\neq\emptyset},\quad \mathcal{S}_E:={K\in\mathcal{T}\mid E\subset\partial K},\quad \mathcal{S}_z:={K\in\mathcal{T}\mid z\in K} ]
  로 정의한다.

• 정규화된 접선·법선
  변 (E\in\mathcal{E}(\mathcal{T})) 의 두 끝점을 (z_0,z_1) 로 잡고,
  [ \mathbf{t}E:=\frac{z_1-z_0}{h_E},\qquad \mathbf{n}E:=(-t{E,2},,t{E,1})^{!\top} \

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