희소 서명 트리 모델을 이용한 그래프 최단 경로 탐색의 혁신적 가속화

📝 Abstract

A signed tree model of a graph $G$ is a compact binary structure consisting of a rooted binary tree whose leaves are bijectively mapped to the vertices of $G $, together with 2-colored edges $xy $, called transversal pairs, interpreted as bicliques or anti-bicliques whose sides are the leaves of the subtrees rooted at $x$ and at $y $. We design an algorithm that, given such a representation of an $n $-vertex graph $G$ with $p$ transversal pairs and a source $v \in V(G) $, computes a shortest-path tree rooted at $v$ in $G$ in time $O(p \log n) $. A wide variety of graph classes are such that for all $n $, their $n $-vertex graphs admit signed tree models with $O(n)$ transversal pairs: for instance, those of bounded symmetric difference, more generally of bounded sd-degeneracy, as well as interval graphs. As applications of our Single-Source Shortest Path algorithm and new techniques, we - improve the runtime of the fixed-parameter algorithm for first-order model checking on graphs given with a witness of low merge-width from cubic [Dreier and Toruńczyk, STOC ‘25] to quadratic; - give an $O(n^2 \log n) $-time algorithm for All-Pairs Shortest Path (APSP) on graphs given with a witness of low merge-width, generalizing a result known on twin-width [Twin-Width III, SICOMP ‘24]; - extend and simplify an $O(n^2 \log n) $-time algorithm for multiplying two $n \times n$ matrices $A, B$ of bounded twin-width in [Twin-Width V, STACS ‘23]: now $A$ solely has to be an adjacency matrix of a graph of bounded twin-width and $B$ can be arbitrary; - give an $O(n^2 \log^2 n) $-time algorithm for APSP on graphs of bounded twin-width, bypassing the need for contraction sequences in [Twin-Width III, SICOMP ‘24; Bannach et al. STACS ‘24]; - give an $O(n^{7/3} \log^2 n) $-time algorithm for APSP on graphs of symmetric difference $O(n^{1/3}) $.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 동기

• 트리 모델은 트리 구조와 전이(또는 반전) 엣지 집합을 결합해 그래프를 압축 표현한다. 기존 연구에서는 twin‑width와 연관된 희소 트리 모델(전이 엣지 (O(n)))이 단일 최단 경로를 (O(n)) 혹은 (O(n\log n))에 해결할 수 있음을 보였다.
• 그러나 twin‑width가 제한적인 클래스만을 포괄하고, 실제 많은 그래프(예: bounded‑sd‑degeneracy, interval graphs)는 더 일반적인 서명 트리 모델을 통해 동일하게 희소하게 표현될 수 있다.

2. 핵심 기여

3. 기술적 핵심

1. 전이 쌍 트리 구조 → 포레스트 변환
   • 전이 쌍을 트리 위에서 위·아래 관계에 따라 부모‑자식 관계를 정의, 서로 다른 부호(양/음)만 연결되도록 정제.
2. 사각형(빅클리크) 분할
   • 각 전이 엣지는 그래프에서 양의 사각형 (R = X \times Y)을 나타내고, 그 자식 전이 반엣지는 음의 사각형 (R_i \subset R)을 만든다.
   • 컴퓨테이셔널 지오메트리 기법(스위핑, 정렬)으로 (R) 안의 음의 사각형들을 (O(h)) 개의 새로운 사각형으로 재구성(시간 (O(h\log h))).
3. 인터벌 이분 그래프 파티션
   • 위 과정을 모든 전이 엣지에 병렬 적용하면 (O(p)) 개의 인터벌 이분 그래프(양쪽이 연속 구간)로 그래프를 완전 분할.
   • 이 파티션은 기존

📄 Content

트윈‑위드(twin‑width)가 도입된 직후[13], 트윈‑위드가 제한된 그래프 (G)는 트윈‑분해(twin‑decompositions)[10] 혹은 **트리 모델(tree models)[14]**이라 불리는 자연스러운 희소 표현을 가짐이 관찰되었습니다.
트리 모델은 다음과 같이 정의됩니다.

• 루트가 있는 이진 트리 (T)가 존재하고, 그 (n)개의 잎은 그래프 (G)의 정점들과 일대일 대응합니다.
• 추가적인 횡단(edge)들(transversal edges) 이 비교적 적은 수만큼 존재하는데, 두 잎 (\ell)와 (\ell’)가 그래프 (G)에서 인접하려면 (\ell)와 (\ell’) 각각의 조상 중 하나가 같은 횡단 엣지에 의해 연결되어 있어야 합니다. 이때 해당 조상 쌍은 유일합니다.

만약 횡단 엣지의 개수나 그들이 유도하는 그래프에 어떠한 제약도 두지 않으면, 모든 그래프는 트리 모델을 가집니다. 그러나 희소 트리 모델(횡단 엣지가 (O(n))개인 경우) 은 모든 그래프 클래스에 존재하지 않습니다. 왜냐하면 이 성질은 해당 클래스가 팩토리얼 성장(factorial growth) 을 갖는다는 것을 의미하기 때문입니다. 반면, 트윈‑위드가 제한된 그래프는 퇴화 트리 모델(degenerate tree models) 을 가집니다. 여기서 “퇴화”란 횡단 엣지와 트리 (T) 자체가 이루는 그래프가 제한된 퇴화도(degeneracy) 를 가진다는 뜻입니다.

퇴화 트리 모델은 트윈‑위드 이론 전반에 걸쳐 유용하게 쓰이며, 이러한 표현이 입력으로 주어졌을 때 최단 경로 알고리즘을 크게 가속화합니다.

• 단일 출발점 최단 경로(Single‑Source Shortest Paths) 문제를 (O(n\log n)) 시간에 해결하는 알고리즘이 제시되었고[10], 이후 (O(n)) 시간으로 개선되었습니다[4].
• 제한된 트윈‑위드 클래스를 패턴을 피하는 순열 클래스(permutation classes) 의 1차 변환(first‑order transduction)으로 특성화하는 데에도 활용됩니다[14].
• 유한 링 위에서 트윈‑위드가 제한된 (n\times n) 행렬을 (O(n)) 시간에 곱하는 알고리즘도 퇴화 트리 모델을 기반으로 합니다[12].
• 트윈‑위드가 제한된 그래프들의 (\chi)-boundedness 증명[10]에서는 트리 모델을 위에서 아래로 색칠(top‑down coloring) 하는 방식이 핵심이며, 트리의 높이를 로그 수준으로 맞춘 뒤 얻어지는 (O(\log n)) 비트 인접 라벨링 스킴[9] 역시 이와 연결됩니다. (데이터 압축이 주요 목표라면 더 효율적인 자료구조가 존재합니다[23].)
• 일부 응용(예: 빠른 최단 경로)에서는 희소 트리 모델만으로도 충분합니다.

1. 퇴화 트리 모델이 무한 트윈‑위드 그래프를 인코딩할 수 있음

퇴화 트리 모델은 제한되지 않은 트윈‑위드 그래프도 표현할 수 있습니다. 예를 들어, 퇴화도(degeneracy)가 제한된 그래프는 트리 (T)의 잎에 바로 횡단 엣지를 배치함으로써 trivially 퇴화 트리 모델을 가집니다.

광범위한 그래프 클래스에 대해 짧은 인접 라벨링 스킴을 설계하려는 연구[7]는 부호 트리 모델(signed tree models) 을 도입했습니다. 여기서는 횡단 반엣지(transversal anti‑edges) (A) 와 횡단 엣지 (B) 가 동시에 존재합니다. 두 잎 (\ell,\ell’)가 그래프 (G)에서 인접하려면, (\ell)와 (\ell’) 각각의 조상 중 하나가 (B) 에 속하고, 다른 하나가 (A) 에 속하지 않는 횡단 쌍(transversal pair) 이 존재해야 합니다. “가장 낮은”(lowest) 조상 쌍이 유일하도록 교차 금지(non‑crossing) 조건을 부과하면 정의가 명확해집니다.

놀랍게도 많은 팩토리얼 그래프 클래스가 희소 부호 트리 모델(sparse signed tree models), 심지어 퇴화 부호 트리 모델(degenerate signed tree models) 을 가집니다.

• sd‑퇴화도(sd‑degeneracy) 라는 파라미터가 [7]에서 정의되었으며, 이는 밀집 세계(dense world) 에서 퇴화도를 일반화한 것입니다. sd‑퇴화도가 제한된 그래프는 퇴화 부호 트리 모델을 가집니다[7].
• 따라서 퇴화도, 대칭 차이(symmetric difference), 트윈‑위드, 플립‑위드(flip‑width)[25], 머지‑위드(merge‑width)[19] 등 여러 기존 파라미터가 제한된 클래스는 모두 퇴화 부호 트리 모델을 가집니다.
• 구간 그래프(interval graphs) 도 트리(꼬리 모양, comb)와 함께 퇴화 부호 트리 모델을 가짐을 쉽게 확인할 수 있습니다.
• 선형 이웃 복잡도(linear neighborhood complexity) 를 갖는 유전적 클래스는 대칭 차이가 제한되어 있으므로 역시 퇴화 부호 트리 모델을 가집니다[16].
• 거의 선형 이웃 복잡도(almost linear neighborhood complexity) 를 가진 클래스는 (n^{1+o(1)}) 개의 횡단 쌍을 갖는 거의 희소 부호 트리 모델(almost sparse signed tree models) 을 가집니다. 현재는 모나딕 종속(monadically dependent) 클래스가 거의 선형 이웃 복잡도를 가질 것이라는 추측이 있습니다[18].

2. 부호 트리 모델을 이용한 빠른 알고리즘

희소(또는 거의 희소) 부호 트리 모델이 주어졌을 때 다양한 그래프 문제를 효율적으로 해결할 수 있습니다. 가장 핵심적인 결과는 다음과 같습니다.

정리 2 (Theorem 2)

입력: 정점 수가 (n)인 그래프 (G)와 (p)개의 횡단 쌍을 갖는 부호 트리 모델, 그리고 시작 정점 (v).
출력: (v)를 근원으로 하는 최단 경로 트리.
시간 복잡도: (O(p\log n)).

특히 (p = O(n)) (희소 트리 모델)인 경우는 (O(n\log n)) 시간, (p = n^{1+o(1)}) (거의 희소 트리 모델)인 경우는 (O\bigl(n^{1+o(1)}\bigr)) 시간에 해결됩니다. 이는 (Ω\bigl(n^{1+ε}\bigr)) 개의 간선을 가진 그래프에 대해 선형 이하의 실행 시간을 제공하므로 사실상 최적에 가깝습니다.

정리 2의 알고리즘은 계산 기하학 기법을 활용합니다.

1. 횡단 쌍들을 기반으로 포레스트 (F) 를 만든다. 여기서 엣지 (e)가 엣지 (f)의 부모가 되려면 (e)가 (f)보다 “위에”(조상 관계) 있어야 하며, 그 사이에 다른 횡단 쌍이 없어야 합니다.
2. (F)를 정리하여 양쪽 부호가 다른 횡단 쌍만 연결되도록 만든다(즉, 하나는 (A), 다른 하나는 (B)).
3. 임의의 양의 횡단 엣지 (e)와 그 자식들 ({e_1,\dots,e_h}) (음의 반엣지) 를 고려한다.
   • (e)는 양의 직사각형 (R = X \times Y) 를 정의하는데, 여기서 (X,Y)는 각각 (e)의 두 끝점이 담당하는 서브트리의 잎 집합이다.
   • 각 자식 (e_i)는 (R) 안에 음의 직사각형 (R_i \subset R) 를 만든다.
4. 우리는 (R) 안의 서로 겹치지 않는 음의 직사각형들 ({R_1,\dots,R_h}) 를 (O(h)) 개의 서로 겹치지 않는 직사각형으로 보완(complement)하고자 한다. 이를 (O(h\log h)) 시간에 수행한다.
5. 모든 양의 횡단 엣지에 대해 위 과정을 병렬로 적용하면, 그래프 (G)는 (O(p)) 개의 구간 양쪽 이분 그래프(biclique) 로 분할된다. 즉, 구간 이분 그래프 분할(interval biclique partition) 이 얻어진다.

이 구간 이분 그래프 분할과 [10, Theorem 6.2]를 결합하면 정리 2가 증명됩니다. 또한, 트리를 균형 이진 트리로 바꾸면 각 이분 그래프를 소수의 횡단 엣지만으로 구현할 수 있어 정리 1의 나머지 부분도 따라옵니다.

정리 2의 직접적인 파생 결과

• All‑Pairs Shortest Path (APSP) 는 단일 출발점 최단 경로를 (n)번 호출하면 해결되므로, 정리 2를 이용하면 다음이 성립합니다.

정리 3 (Corollary 3)
클래스 (C)의 그래프에 대해 (p(n)) 개 이하의 횡단 쌍을 갖는 부호 트리 모델을 (O\bigl(T(n,m)\bigr)) 시간에 만들 수 있다면, APSP를 (O\bigl(p(n)n\log n + T(n,m)\bigr)) 시간에 해결할 수 있다.

3. 트윈‑위드와 다양한 파라미터에 대한 응용

• 트윈‑위드와 다목적 트윈‑위드(twin‑width vs. versatile twin‑width) 사이의 함수적 동등성[9, Lemma 3.8]을 이용해 정리 29와 Lemma 18을 결합하면, 직경(Diameter), 반경(Radius), 편심(Eccentricity), Wiener Index 등도 동일한 복잡도로 구할 수 있습니다. 기존에는 수축 시퀀스(contraction sequence) 가 입력에 주어졌을 때만 (O(n\log n))

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