거친 경로 공간에서의 Breuer‑Major 정리 확장

📝 Abstract

We extend the functional Breuer-Major theorem by Nourdin and Nualart (2020) to the space of rough paths. The proof of tightness combines the multiplication formula for iterated Malliavin divergences, due to Furlan and Gubinelli (2019), with Meyer’s inequality and a Kolmogorov-type criterion for the r-variation of cadlag rough paths, due to Chevyrev et al. (2022). Since martingale techniques do not apply, we obtain the convergence of the finite-dimensional distributions through a bespoke version of Slutsky’s lemma: First, we overcome the lack of hypercontractivity by an iterated integration-by-parts scheme which reduces the remaining analysis to finite Wiener chaos; crucially, this argument relies on Malliavin differentiability of the nonlinearity but not on chaos decay and, as a consequence, encompasses the centred absolute value function. Second, in the spirit of the law of large numbers, we show that the diagonal of the second-order process converges to an explicit symmetric correction term. Finally, we compute all the moments of the remaining process and, through a fine combinatorial analysis, show that they converge to those of the Stratonovich Brownian rough path perturbed by an antisymmetric area correction, as computed by a suitable amendment of Fawcett’s theorem. All of these steps benefit from a major combinatorial reduction that is implied by the original argument of Breuer and Major (1983).

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 동기

• Breuer‑Major 정리는 가우시안 시계열의 비선형 변환에 대해 CLT 를 제공하지만, 기존 결과는 1차 과정(스칼라) 수준에 머물러 있다.
• 함수형 확장(Nourdin‑Nualart, 2020)은 L^{p}_{1} 조건을 도입해 비선형 함수 f 가 무한 chaos 를 가질 때도 기능적 수렴을 얻었지만, 여전히 Skorokhod 공간에 국한된다.
• 거친 경로 이론은 2차 이상 iterated integral(면적)까지 포함하는 강력한 프레임워크이며, stochastic differential equation(SDE) 해석에 필수적이다. 따라서 Breuer‑Major 정리를 거친 경로 수준으로 끌어올리는 것은 확률적 동역학 및 동질화(Homogenization) 문제에 큰 의미가 있다.

2. 주요 기여

📄 Content

**중심극한정리(CLT)**는 확률론과 통계학의 핵심에 자리하고 있습니다. 이를 다음과 같이 서술할 수 있습니다. 평균이 0이고 독립이며 동일분포(i.i.d.)인 확률변수들의 수열 (Z=(Z_i){i\in\mathbb Z})가 분산 (\sigma_Z^2<\infty)를 갖는다면, 표준 정규 가우시안 i.i.d. 수열 (X=(X_i){i\in\mathbb Z})와 실값 함수 (f)가 존재하여

[ Z_i\stackrel{d}=f(X_i),\qquad i\in\mathbb Z . ]

예를 들어, (f=F_Z^{-1}!\circ!\Phi) 로 잡을 수 있는데, 여기서 (F_Z^{-1})는 (Z)의 분위수함수이고 (\Phi)는 표준 정규 누적분포함수입니다.

많은 실제 응용에서는 데이터가 비자명한 상관관계를 보이며(예: ([{\rm Ber}92])의 다양한 사례 참고) 독립성 가정을 위배합니다. 이러한 상황에서 유명한 Breuer‑Major 정리 ([{\rm BM}83])는 함수 (f)와 상관감소율에 대한 충분조건을 제시하여 여전히 CLT와 같은 행동을 관찰할 수 있음을 보입니다.

정리 1.1 (Breuer‑Major)

평균이 0이고 1차원 가우시안인 정상(stationary) 수열 (X=(X_i)_{i\in\mathbb Z})가 공분산 함수

[ \rho(i)=\mathbb E[X_0X_i],\qquad \rho(0)=1, ]

를 갖는다고 하자. 또한 (\gamma:=\mathcal N(0,1))이고, (f\in L^2(\gamma))가 Hermite 차수 (d\ge1) (즉, 혼돈 전개가

[ f=\sum_{q=d}^{\infty}c_q H_q,\qquad c_d\neq0 ]

인 경우)라면, (\rho\in\ell^d(\mathbb Z))이고

[ S_N:=\frac1{\sqrt N}\sum_{i=0}^{N-1}f(X_i) ]

이라 두면

[ S_N;\xrightarrow{d}; \sigma B_1, ]

여기서 (B)는 표준 브라운 운동이고

[ \sigma^2=\sum_{q=d}^{\infty}q!,c_q^2\sum_{k\in\mathbb Z}\rho(k)^q . ]

위 정리는 (1.1)의 수렴을 Skorokhod 공간 (D(0,1)) 상의 함수 수렴으로 강화할 수 있는가 하는 질문을 자연스럽게 제기합니다. Chambers와 Slud ([{\rm CS}89])는 명시적인 반례를 들어, 단순히 “(f)가 Hermite 차수 (d)를 갖고 (\rho\in\ell^d(\mathbb Z))”라는 가정만으로는 기능적 수렴이 성립하지 않음을 보였습니다. 대신 그들은 Hermite 계수 ((c_q)_{q\ge d})의 빠른 감소를 요구하는 충분조건을 제시했으며, 이는 Ben Hariz ([{\rm BH}02])에 의해 약간 개선되었습니다. 그러나 이러한 “빠른 혼돈 감소” 가정은 실제 검증이 어렵습니다. Nourdin과 Nualart ([{\rm NN}20]) (그리고 Campese와의 공동 연구 ([{\rm CNN}20]))는 이를 (f\in L^{p_1}_1(\gamma)) for some (p_1>2) 라는 보다 완화된 가정으로 대체했습니다.

주요 결과

본 논문의 목적은 Breuer‑Major 정리를 거칠 경로(rough path) 공간까지 끌어올리는 것입니다. 이를 위해서는 (m\ge2) 차원의 벡터값 함수 (\vec f)를 고려해야 합니다. 구체적으로

[ \vec f=(f_1,\dots,f_m),\qquad f_k\in L^2(\gamma),; \text{Hermite 차수 }d\ge1, ]

이며 각 (f_k)는

[ f_k(x)=\sum_{q=d}^{\infty}c_q(k)H_q(x),\qquad k=1,\dots,m \tag{1.3} ]

와 같이 전개됩니다.

또한

[ \bigl(X_i^{(1)},\dots,X_i^{(m)}\bigr)_{i\in\mathbb Z} \tag{1.4} ]

를 평균이 0이고 정상인 ( \mathbb R^m)-값 가우시안 수열이라 두고,

[ \rho_{k,\ell}(u)=\mathbb E\bigl[X_0^{(k)}X_u^{(\ell)}\bigr],\qquad \rho_{k,k}(0)=1, ]

라 정의합니다( (\rho_{k,\ell}(u)=\rho_{\ell,k}(-u)) ).

시간 (t\in[0,1])에 대해

[ S_N(t)=\bigl(S_N^{(1)}(t),\dots,S_N^{(m)}(t)\bigr),\qquad S_N^{(k)}(t)=\frac1{\sqrt N}\sum_{i=0}^{\lfloor Nt\rfloor-1} f_k!\bigl(X_i^{(k)}\bigr) \tag{1.6} ]

와

[ \mathbb S_N^{(k,\ell)}(t)=\frac1N\sum_{i<j\le\lfloor Nt\rfloor} f_k!\bigl(X_i^{(k)}\bigr)f_\ell!\bigl(X_j^{(\ell)}\bigr) \tag{1.7} ]

을 정의합니다. 여기서 (\mathbb S_N^{(k,\ell)})는 2차 과정이며, (\mathbb S_N^{(k,k)})는 자기곱을 의미합니다.

다음 기호들을 사용합니다.

• (D_{k,p}(\gamma)) : (\gamma=\mathcal N(0,1))에 대한 Malliavin‑Sobolev 공간 (정의 2.6, 비고 2.13)
• (D^{r\text{-var}}([0,1];\mathbb R^m)) : Skorokhod‑type (r)-variation 거칠 경로 공간 (정의 3.3)

정리 1.2 (거칠 기능적 Breuer‑Major 정리)

(m\in\mathbb N)을 잡고, 각 성분이 Hermite 차수 최소 (d\ge1) 를 갖는

[ \vec f=(f_1,\dots,f_m),\qquad f_k\in L^2(\gamma) ]

에 대해 다음을 가정합니다.

1. Malliavin‑Sobolev 정규성
   모든 (k)에 대해 (f_k\in D_{d,2p}(\gamma)) with (p=2), 즉 (f_k\in D_{d,4}(\gamma)).

2. 상관감소
   모든 (k,\ell)에 대해 (\displaystyle\sum_{i\in\mathbb Z}|\rho_{k,\ell}(i)|^{,d}<\infty), 즉 (\rho_{k,\ell}\in\ell^d(\mathbb Z)).

그럼 임의의 (r>2)에 대해

[ \bigl(S_N,\mathbb S_N\bigr);\xrightarrow[N\to\infty]{;;D^{r\text{-var}}([0,1];\mathbb R^{m});;} \bigl(B,\mathbb B\bigr), \tag{1.8} ]

where (B=(B^{(1)},\dots,B^{(m)}))는 Brownian rough path이며 특성 ((\Sigma,\Gamma))는

• 1차 성분
  [ B\ \text{는 평균 }0,\ \text{공분산 행렬 } \Sigma = D+2,\operatorname{Sym}(\Gamma), \tag{1.9} ] 여기서

  [ \Delta(u)=\mathbb E\bigl[\vec f(X_1)\otimes\vec f(X_{u+1})\bigr], \qquad \Delta_{k,\ell}(u)=\sum_{q\ge d}\frac{c_q(k)c_q(\ell)}{q!},\rho_{k,\ell}(u)^{,q}, \tag{1.10} ]

  그리고

  [ D_{k,\ell}=\sum_{q\ge d}\frac{c_q(k)c_q(\ell)}{q!}\sum_{i\in\mathbb Z}\rho_{k,\ell}(i)^{,q}, \qquad \Gamma_{k,\ell}=\sum_{q\ge d}\frac{c_q(k)c_q(\ell)}{q!}\sum_{i\ge1}\rho_{k,\ell}(i)^{,q}. \tag{1.11} ]

• 2차 성분
  [ \mathbb B^{(k,\ell)}{s,t} =\int_s^t B^{(k)}{s,u},dB^{(\ell)}_u \quad\text{(Itô 적분)}. \tag{1.12} ]

직접적인 응용 (Corollary 1.3)

(n,N\ge1,\ r>2)라 하고,

• (b\in C_b^3(\mathbb R^n;\mathbb R^n)),
• (V\in C_b^3(\mathbb R^n;\mathbb R^{n\times m})),

를 잡는다.

Euler‑type 재귀식

[ Y_{N}^{i+1}=Y_N^{i}+b\bigl(Y_N^{i}\bigr)\frac1N +V\bigl(Y_N^{i}\bigr),\vec f!\bigl(X_i\bigr)\frac1{\sqrt N}, \qquad i=0,\dots,N-1, \tag{1.13} ]

을 정의하고, (Y_N(t):=Y_N^{\lfloor Nt\rfloor}) 로 연장한다.

(\Gamma)를 (1.11)에서 정의한 대로 두고,

[ c(y)=\frac12\sum_{k,\ell=1}^m\partial_{x_k}V(y),V(y){,\cdot,\ell},\Gamma{k,\ell}, \tag{1.14} ]

라 두면, (Y_N\to Y) (법칙수렴)이며, (Y)는

[ dY_t=b(Y_t),dt+V(Y_t),dB_t+c(Y_t),dt, \tag{1.15} ]

이라는 SDE의 강한 해이다. 여기서 (B)는 (1.9)‑(1.11)에서 정의된 공분산 (\Sigma\

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