강한 브루어트 순서에서 무작위 순열들의 비교 가능성: 다항식보다 훨씬 빠른 감소율

📝 Abstract

The (strong) Bruhat order for permutations provides a partial ordering defined as follows: two permutations are comparable if one can be obtained from the other by a sequence of adjacent transpositions that each increase the number of inversions by $1 $. Given two random permutations, what is the probability that they are comparable in the Bruhat order? This problem was first considered in a 2006 work of Hammett and Pittel, which showed an exponential lower bound and a polynomial upper bound. The lower bound was very recently improved to the subexponential bound of $\exp(-n^{1/2 + o(1)})$ by Boretsky, Cornejo, Hodges, Horn, Lesnevich, and McAllister. Hammett and Pittel predicted that the probability should decrease polynomially. We show that the probability decreases faster than any polynomial and is on the order of $\exp(-Θ(\log^2 n)) $.

💡 Analysis

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1. 문제의 배경 및 기존 결과
   • 브루어트 순서는 대수 조합론·Schubert 다양체 이론에서 핵심적인 부분 순서이며, 두 순열이 “비교 가능”하다는 조건은 (0,1)-행렬 기준식 (1) 로도 표현된다.
   • Hammett‑Pittel(2006)은 Pₙ 에 대해
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(강한) Bruhat 순서는 대칭군에서 정의되는 부분 순서이다. 두 순열이 비교 가능하다는 것은 한 순열을 다른 순열로 바꾸는 과정이 인버전 수를 1씩 증가시키는 인접 전치(transposition)들의 연속으로 이루어질 수 있음을 의미한다. 비교 가능성을 판단하는 쉬운 기준이 바로 (0, 1)-행렬 기준이다. 순열 (\pi)와 (\tau)에 대해 각각의 순열 행렬을 (M_{\pi})와 (M_{\tau})라 하면, Bruhat 순서 (\le)는 [2, Thm. 2.1.5]에 따라 다음과 같이 정의된다.

[ \pi \le \tau ;\Longleftrightarrow; \sum_{i\le a,;j\le b} M_{\tau}(i,j);\le; \sum_{i\le a,;j\le b} M_{\pi}(i,j)\qquad\text{for all }a,b\le n . \tag{1} ]

Bruhat 순서는 대수 조합론(algebraic combinatorics)의 중심 객체이며, 슈베르츠 다양체(Schubert varieties)의 연구에서 핵심적인 역할을 한다. 이 연구는 1934년 Ehresmann의 논문[6]에서 시작되었으며, 그곳에서 (\pi)와 (\tau)의 **증가 재배열(increasing rearrangements)**을 이용한 Bruhat 순서의 특징이 (1)과 동등함이 보였다. 이후에도 [1,4,5,8,12] 등에서 (1)과 유사한 조합적 성격의 기준이나 보다 대수적인 성격의 기준을 포함한 여러 동등한 기술들이 제시되었다.

1. 연구 동기

이 글에서는 두 무작위 순열이 비교 가능한 확률을 조사한다. 구체적으로, (\pi,\tau)를 대칭군 (S_n)에서 서로 독립이며 균등하게 선택된 순열이라고 할 때, [ \Pr(\pi \le \tau);? ] 를 구하고자 한다. 이 문제는 2006년 Hammett과 Pittel[9]에 의해 처음 제기되었으며, 그들은 [ c,0.708^{,n};\le; \Pr(\pi \le \tau);\le; C,n^{-2} ] (상수 (C,c>0) 존재)임을 보였다. 최근에는 Boretsky‑Cornejo‑Hodges‑Horn‑Lesnevich‑McAllister[3]가 하한을 [ \exp!\bigl(-c\sqrt{n},\log^{3/2}n\bigr) ] 의 형태로 개선하였다. Hammett‑Pittel은 “실험적 추정에 따르면 (\Pr(\pi\le\tau))는 (n^{-(2+\delta)}) 정도이며, 여기서 (\delta\approx0.5)”라고 언급했었다. 본 논문의 주요 정리는 실제로 확률이 다항식보다 훨씬 빠르게 감소한다는 것을 보이며, 구체적인 감소율은 [ \exp!\bigl(-\Theta(\log^{2} n)\bigr) ] 임을 보여준다.

[ \boxed{\text{Theorem 1.}; \text{Let }\pi,\tau\in S_n\text{ be independent uniform permutations.} ; \exists,C,c>0\text{ s.t. for large }n,; e^{-C\log^{2}n}\le\Pr(\pi\le\tau)\le e^{-c\log^{2}n}.} \tag{*} ]

(주) [3]의 작업은 arXiv에 올라온 시점에 본 논문이 거의 완성될 무렵 발표되었으며, 그 논문은 약한 Bruhat 순서 (\le_{W})에 대해 [ \Pr(\pi\le_{W}\tau)=\exp!\bigl(-(1/2+o(1)),n\log n\bigr) ] 임을 보였다.

2. 핵심 아이디어

우선 [ Z(a,b);:=;\sum_{i\le a,;j\le b}\bigl(M_{\pi}(i,j)-M_{\tau}(i,j)\bigr) ] 를 정의하면 (1)은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

[ Z(a,b);\ge;0\qquad\text{for all }a,b\le n . \tag{2} ]

(2)를 2차원 지속성(persistence) 사건이라고 부른다. 1차원에서는 “단순 랜덤 워크가 처음 (n) 단계 동안 음수가 되지 않을 확률”을 구하는 것이 고전적인 지속성 문제이다. 여기서는 두 개의 인덱스 ((a,b))가 존재하므로 단순 랜덤 워크와는 다른 접근이 필요하다. 다행히 가우시안 프로세스(예: 브라운 시트)의 2차원 지속성 문제는 이미 많은 연구가 이루어졌으며, 우리는 그 방법들을 상한과 하한을 얻는 데 활용한다.

2.1 상한 증명 개요

(2)를 다루기 위해 먼저 [ Z(a,b)=\sum_{i\le a,;j\le b}\bigl(\mathbf{1}{{\pi(i)=j}}-\mathbf{1}{{\tau(i)=j}}\bigr) ] 가 평균이 0이고 분산이 (\approx ab/n)인 확률 변수임을 이용한다. 중앙극한정리(CL​T)를 적용하면 (Z(a,b))는 분산 (\approx ab/n)인 가우시안에 매우 가깝다. 따라서 고정된 ((a,b))에 대해 (\Pr\bigl(Z(a,b)\ge0\bigr)\approx 1/2)가 된다.

두 점 ((a_{1},b_{1}))와 ((a_{2},b_{2}))가 서로 가깝다면 (Z(a_{1},b_{1}))와 (Z(a_{2},b_{2}))는 강하게 상관된다. 여기서는 쌍별 상관이 1보다 일정하게 떨어지는 점들의 집합을 선택한다. 예를 들어 [ S_{0}:=\bigl{\rho^{i};:;i=0,1,2,\dots\bigr}\cap[n] ] (고정된 정수 (\rho\ge2) 사용)라 두면, 서로 다른 두 쌍 ((a_{1},b_{1}), (a_{2},b_{2})\in S_{0}^{2})에 대해 [ \operatorname{Corr}\bigl(Z(a_{1},b_{1}),Z(a_{2},b_{2})\bigr);\le;1-\delta \tag{3} ] ((\delta>0)는 (\rho)에만 의존)임을 보일 수 있다. 이렇게 하면 “모든 ((a,b)\in S_{0}^{2})에 대해 (Z(a,b))는 거의 독립”이라는 직관이 생기며, 이는

[ \Pr\bigl(Z(a,b)\ge0\text{ for all }(a,b)\in S_{0}^{2}\bigr) ;\approx;2^{-|S_{0}|^{2}} \tag{4} ]

와 같은 형태의 상한을 기대하게 만든다. 실제로 (3)이 가우시안 벡터에 적용되면 Li‑Shao 정리[13]에 의해 (4)와 같은 상한을 얻을 수 있다. 그러나 (Z(a,b))는 독립적인 i.i.d. 합이 아니므로 가우시안 근사가 핵심 난관이다.

이를 해결하기 위해 다음 두 단계를 거친다.

1. 부분 행렬 교체
   (N:=\bigl\lfloor n^{7/12}\bigr\rfloor) 로 두고, (M_{\pi})와 (M_{\tau})의 좌상단 (N\times N) 부분을 i.i.d. Bernoulli((1/n)) 행렬로 교체한다.

   • 기대값이 (N^{2}/n)이므로 (N\gg n^{1/2})이어야 하고, 동시에 한 행·열에 두 개 이상의 1이 나타날 확률을 억제하려면 (N\ll n^{2/3})이어야 한다. 두 조건을 만족하는 최소 지수는 (7/12)이다.
   • 이 교체는 Theorem 7에서 정밀히 증명한다.

2. 강한 가우시안 근사
   Rio의 강한 근사 정리[15] (KMT‑type coupling) 를 이용해, 충분히 큰 블록으로 묶은 뒤 각 블록의 합을 표준 가우시안으로 교체한다. 이렇게 하면 (2)를 가우시안 지속성 문제로 변환할 수 있다.

   • 가우시안 지속성에 대한 상한은 Li‑Shao 정리(Theorem 12)를 적용해 얻는다(정리 9).

위 과정을 모두 합치면 (∗)의 상한이 증명된다.

2.2 하한 증명 개요

하한을 얻기 위해서는 다시 **다이아드 스케일(dyadic scales)**을 이용한다. 여기서는 중요한 추가 도구가 있다:
[ Z(a,b)>0 ] 는 (\pi)에 대해 **증가 사건(increasing)**이고 (\tau)에 대해 **감소 사건(decreasing)**이다. Johnson‑Leader‑Long[10]의 FKG‑형 상관 부등식에 따르면 이러한 사건들은 양의 상관을 가진다:

[ \Pr(A\cap B);\ge;\Pr(A)\Pr(B). \tag{5} ]

이 부등식을 여러 다이아드 사각형에 반복 적용하면, 전체 사건 (2)의 확률을 각 사각형 사건들의 곱으로 하한을 잡을 수 있다. 구체적인 흐름은 다음과 같다.

1. 첫·마지막 (\Theta(\log n)) 원소 고정
   처음과 마지막 (\Theta(\log n))개의 위치를 조건부로 고정하면, 나머지 부분에 대해 충분히 큰 여유((\Omega(\log n)) 정도)를 확보하면서도 전체 확률에 (\exp(-\Theta(\log^{2}n))) 정도만 손해가 발생한다.

2. 다이아드 사각형 분할
   ([x]\times[y])를 다이아드 사각형으로 나누고, 각 사각형에 대해 (5)를 적용한다. 이렇게 하면 전체 확률은 [ \prod_{\text{사각형}} \Pr\bigl(Z(a,b)>0\bigr) ] 로 하한을 얻는다.

3. 중간 두 항에 대한 Freedman 부등식
   사각형을 구성하는 세 개의 “마지막 항” 중 가운데 두 항은 Freedman 부등식(정리 3)을 이용해 쉽게 제어한다.

4. 마지막 항에 대한 체이닝(chaining) 기법
   마지막 항은 보다 정교한 접근이 필요하다. 여기서는 체이닝을 사용한다.

   • 다이아드 스케일마다 점들을 근사하고, 인접 스케일 사이의 차이는 분산이 (O!\bigl(xy/n^{2^{k}}\bigr))인 랜덤 변수이다.
   • 스케일이 커질수록 점의 개수는

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