고차원 카ント어 집합의 교차: 차원 제한이 최적임을 입증한 새로운 정리

📝 Abstract

It is well known that a pair of compact sets in $\mathbb{R}^d$ ( $d \in \mathbb{N} $) can be separated by small deformations if the sum of their Hausdorff dimensions is less than $d $. In this paper, we demonstrate that this dimension constraint is optimal for regular Cantor sets. Specifically, for any prescribed Hausdorff dimensions whose sum is greater than $d $, we construct classes of pairs of regular Cantor sets that exhibit $C^{1+α} $-stable intersections. Our method is geometrically flexible, enabling the construction of examples with arbitrarily small thickness in both projectively hyperbolic and nearly conformal regimes. These results also extend to the complex setting for holomorphic Cantor sets in $\mathbb{C}^d $. The proof relies on the covering criterion" for stable intersection introduced in the first part of this series \cite{NZ1}, which generalizes the recurrent compact set criterion" of Moreira-Yoccoz to higher dimensions.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 문제 설정

• 산술 차 집합 $K-K' $ 은 프랙털 기하와 동역학계에서 “양의 레베그 측도” 혹은 “내부점 존재” 여부를 판단하는 핵심 객체다.
• 차원 부족 $\dim_H K+\dim_H K'
• 반대로 차원 합이 $d $를 초과하면 “양의 측도·내부점”이 기대되지만, 고차원( $d\ge2 $)에서는 아직 충분히 일반적인 충분조건이 부재했다.

2. 주요 결과

3. 방법론 – “Covering Criterion”

1. 재정규화 연산자

   • 각 카운트어 집합을 생성하는 확장 매핑들의 역함수들을 조합해 affine group $Aff(d,\mathbb R)$ 위에서 작동하는 연산자를 정의.
   • 이 연산자들의 궤적이 충분히 “덮는다”(cover)면, 작은 $C^{1+\alpha}$ 변형에도 교차가 유지된다.

2. Covering Criterion (제1부 \

📄 Content

두 컴팩트 집합 (K,;K’\subset\mathbb {R}^{d}) 의 산술 차집합은 프랙탈 기하학과 동역학계에서 중심적인 대상이다. 이 분야의 기본적인 문제는 (K-K’) 가 양의 르베그 측도(또는 내부가 비어 있지 않음)를 갖도록 보장하는 조건을 찾는 것이다.

차원 결핍
[ \dim _{H}K+\dim _{H}K’<d ]
을 만족하는 컴팩트 집합에 대해서는 (K-K’) 가 르베그 측도 0을 갖는 것이 잘 알려져 있다. 따라서 거의 모든 평행이동 (K’+t) 는 (K) 와 서로 겹치지 않는다.

반면에
[ \dim _{H}K+\dim _{H}K’>d ]
인 경우는 전혀 다른 양상을 보이며 훨씬 미묘하다. 여기서는 양의 측도뿐 아니라 내부점이 존재할 가능성까지 기대한다. 이는 실선 위의 정규 칸토어 집합들의 산술 합에 관한 Palis 추측 ([{\rm Pal}87]) 과 일치한다. 이러한 집합(자기‑아핀 집합을 포함)에서는 안정적 교차(stable intersection) 라는 더 강한 개념을 고려한다. 이 성질은 단순히 (K-K’) 가 비어 있지 않은 내부를 갖는 것을 넘어서, 정의하는 동역학계가 작은 변동을 겪어도 교차가 견고하게 유지된다는 것을 의미한다.

정규 칸토어 집합은, 정의에 따라, 특정 마코프 분할에 제한된 확장 매끄러운 사상들의 작용에 대한 유일한 불변 집합이다. 두 정규 칸토어 집합이 (C^{r})-가깝다는 것은 그들을 생성하는 사상과 마코프 분할이 각각 (C^{r}) 위상과 하우스도르프 위상에서 가깝다는 뜻이다. 정확한 정의는 ([{\rm NZ}25]) 를 참고한다.

이 문제는 차원 (d=1) 에서는 완전히 이해되고 있다. Palis 추측은 실수 경우 ([{\rm MY}01])와 복소수 경우 ([{\rm AMZ}25]) 모두에서 증명되었다. 그러나 차원이 2 이상인 경우 ((d\ge 2)) 는 아직 거의 연구되지 않았다. 주요 질문은 차원 제한이 모든 자연수 (d) 에 대해 최적인지 여부이다. 본 논문의 목적은 이 질문에 긍정적인 답을 제시하는 것이다.

정리 A

(d\in\mathbb N) 와 (p,q\in(0,d)) 가 (p+q>d) 를 만족한다면, 차원 (\dim _{H}K=p,;\dim _{H}K’=q) 를 갖는 정규 칸토어 집합 ((K,K’)\subset\mathbb R^{d}) 가 존재하여 ((K,K’)) 가 (C^{1+\alpha})-안정적 교차((\alpha>0)) 를 가진다.

1960년대 후반부터 안정적 교차를 검증하기 위한 여러 방법이 개발되었다. 차원 (d=1) 인 경우, Newhouse ([{\rm New}70]) 가 도입한 gap lemma 가 두 집합이 두께(thickness) 검사 를 만족하면 교차가 존재한다는 충분조건을 제공한다(하지만 적용 범위가 제한적이다; 복소수 경우는 ([{\rm Bie}20]) 참고). 최근의 고차원 일반화 ([{\rm Yav}22]) 는 추가적인 기하학적 가정 하에서도 안정적 교차를 보장하지 못한다.

두 칸토어 집합의 차원이 충분히 클 때, 즉
[ \bigl\lfloor\dim _{H}K\bigr\rfloor+\bigl\lfloor\dim _{H}K’\bigr\rfloor\ge d, ]
(여기서 (\lfloor x\rfloor) 은 정수 부분) Asaoka ([{\rm Asa}22]) 는 블렌더(blender) 의 안정적 기하학적 성질을 이용해 두 “횡단(transversal)” 블렌더형 칸토어 집합이 (C^{1})-안정적 교차를 갖는 예를 만든다. 그러나 그림 1이 보여 주듯, 개별 차원이 더 작은 경우에 대한 연구는 아직 크게 부족하다.

정리 A 의 증명은 재정규화(renormalization) 방법에 기반한다. 이는 본 시리즈 첫 번째 논문 ([{\rm NZ}25]) 에서 도입한 덮개 기준(covering criterion) 을 활용한다. 여기서는 Moreira‑Yoccoz ([{\rm MY}01]) 가 제시한 “재발(compact) 집합 기준”을 고차원으로 일반화하였다. 자기‑아핀(affine) 칸토어 집합에 대한 간단한 형태의 덮개 기준은 정리 4.1에 제시되어 있다.

덮개 기준을 이용하면 다양한 기하학적 특성을 가진 풍부한 예시들을 체계적으로 구축할 수 있다.

정리 B

정리 A 에서 얻은 칸토어 집합은 아핀(affine) 로 선택할 수 있으며, 두께를 임의로 작게 잡고, 임의의 행렬 (L\in SL(d,\mathbb R)) 에 거의 동형(homothetic)하도록 만들 수 있다. 또한 이 구성은 복소수 차원 (\mathbb C^{d}) 에서 전 holomorphic 칸토어 집합으로도 적용 가능하다.

여기서 “정규 칸토어 집합 (K) 가 행렬 (L\in SL(d,\mathbb R)) 에 (거의) 동형이다”는 의미는, 모든 점 (p\in K) 에 대해 생성 사상의 미분 (Dg(p)) 가 (\lambda(p),L) (또는 (\lambda(p),L) 와 근접) 형태이며 (\lambda(p)>0) 인 스칼라가 존재한다는 것이다.

정리 B 는 덮개 기준이 공통의 불변(강) 불안정(cone) 필드 를 공유하는 확장 사상들에 의해 생성된 칸토어 집합 쌍에도 적용될 수 있음을 보여준다. 이는 준‑컨포멀(quasi‑conformal) 하지 않은 집합들, 즉 강한 아핀 왜곡과 이방성(anisotropy)이 존재하는 경우에도 덮개 기준이 유효함을 의미한다.

이러한 기술은 특히 임계 경우 (K=K’) 에서 안정적 교차 문제를 다루는 데 충분히 강력하다고 기대된다. 이를 다음과 같은 추측으로 정리한다.

추측 1.1

(\dim _{H}K>\frac{d}{2}) 를 만족하는 모든 정규 칸토어 집합 (K\subset\mathbb R^{d}) 는 (C^{\infty})-근사 가능한 정규 칸토어 집합 (K^{}) 로 대체될 수 있으며, ((K^{},K^{*})) 는 어떤 (r>1) 에 대해 (C^{r})-안정적 교차를 가진다.

이 추측은 Falconer 의 거리 집합 추측 ([{\rm Fa}86]) 의 “안정적(stable)” 버전이라 할 수 있다. 현재까지 Falconer 추측은 차원 (d=2) 에서도 완전히 해결되지 않았으며, 가장 좋은 차원 임계값은 (\frac{5}{4}) 로 ([{\rm GIOW}20]) 에서 얻었다. 향후 연구에서는 뭉쳐진(bunched) 정규 칸토어 집합 의 특정 클래스에 대해 추측 1.1 을 증명할 계획이다.

감사의 글

저자들은 C. G. Moreira 와 M. Pourbarat 와의 풍부한 대화에 감사를 표한다. 본 연구는 저자들이 베이징대학 BICMR을 방문하던 중에 완성되었다.

기본 정의와 표기법 (※[NZ25] 참고)

• (\dim _{H}A) : 집합 (A\subset\mathbb R^{d}) 의 하우스도르프 차원.
• ((X,d)) 가 거리공간일 때, 점 (x\in X) 의 (\delta)-이웃은 (B_{\delta}(x)).
• (V\subset X) 에 대해 (B_{\delta}(V):=\bigcup_{v\in V}B_{\delta}(v)).

정의 2.1 (정규 칸토어 집합의 (C^{1+\alpha}) 이웃)

기호형 (\Sigma) 로 정의된 정규 칸토어 집합 (K) 를 생성하는 사상 (g) 가 주어지면,
(U^{1+\alpha}{K,\delta}) 를 “(C^{1+\alpha}) 위상에서 (\delta) 정도 가깝다”는 의미로 정의한다. 즉, 같은 기호형 (\Sigma) 를 갖는 칸토어 집합 (K’) 가 존재하여, 각 조각 (G(a)) 에 대해
(g’|{G’(a)}) 가 (g|_{G(a)}) 와 (C^{1+\alpha}) 위상에서 (\delta) 이내에 있다.

정의 2.2 (안정적 교차)

정규 칸토어 집합 쌍 ((K,K’)\subset\mathbb R^{d}) 가 (C^{1+\alpha})-안정적 교차를 가진다는 것은, 어떤 (\varepsilon>0) 가 존재하여
(K’’\in U^{1+\alpha}{K,\varepsilon},;K’’’ \in U^{1+\alpha}{K’,\varepsilon}) 에 대해 항상 (K’’\cap K’’’ \neq\varnothing) 가 성립함을 의미한다.

정의 2.3 (뭉쳐진(bunched) 칸토어 집합)

기호형 ((\Sigma_{B},g)) 로 기술되는 정규 칸토어 집합 (K) 가
(g) 가 뭉쳐진(bunched) 이면, 어떤 정수 (N_{g}) 가 존재하여 모든 (x\in K) 에 대해
(Dg^{N_{g}}(x)) 가 일정한 팽창률 (\mu>1) 을 만족한다.

• 동질(homogeneous) : (K) 가 아핀이며, (\lambda\in(0,1),;A\in SL(d,\mathbb R)) 가 존재해
  (g|{G(a)}^{-1}(y)=\lambda A y+v{a}) 형태가 된다.

덮개 기준 (Covering Criterion)

정의 3.1 (덮개 조건)

(F) 가 거리공간 ((X,d)) 위의 연속 사상들의 모임이라 하자.

• 덮개 조건 : 집합 (V\subset X) 가 (F) 에 대해
  [ \bigcup_{f\in F}f(V)\supset V ]
  을 만족한다.
• 강한 덮개 조건 : 어떤 (\delta>0) 가 존재해
  [ \bigcup_{f\in F}B_{\delta}\bigl(f(V)\bigr)

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