“행렬식으로 보는 곡면·곡선: 벡터다발 섹션의 일반화된 결정식 표현”

📝 Abstract

In this article we extend the notion of determinantal representation of hypersurfaces to the determinantal representation of sections of the determinant line bundle of a vector bundle. We give several examples, and prove some necessary conditions for existence of determinantal representation. As an application, we show that for any integer $d \geq 1,$ there is an indecomposable vector bundle $E_d$ of rank $2$ on $\mathbb{P}^2$ such that almost all curves of degree $d$ of $\mathbb{P}^2$ arise as the degeneracy loci of a pair of holomorphic sections of $E_d $, upto an automorphism of $\mathbb{P}^2 $. We use this result to obtain a linear algebraic application.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 동기

전통적인 결정식 표현은 평면 곡선이나 고차원 초평면을 (\det) (n\times n) 행렬의 행렬식으로 나타내는 방법으로, 고전적인 대수기하학(예: Cayley‑Bacharach, Hilbert‑Burch)에서 중요한 역할을 해왔다. 그러나 이러한 접근은 섹션 자체가 다항식일 때만 적용 가능했다. 저자는 이를 벡터다발의 결정선형다발 섹션으로 일반화함으로써, 섹션이 벡터다발의 전역 섹션인 경우에도 동일한 “행렬식 = 퇴화소” 관계를 만들고자 했다.

2. 핵심 정의 – 풍부(abundant)와 반풍부(semi‑abundant)

• (H)-풍부: 충분히 큰 (m)에 대해 (\det E(mH))의 일반 섹션 (D)가, 어떤 자동사상 (\varphi\in\operatorname{Aut}(X))에 의해 (\varphi^{*}D)가 (E(mH))의 (d)개의 섹션이 만든 퇴화소와 일치한다.
• 반풍부: 모든 (혹은 일부) 충분히 큰 앰플 라인 번들 (H)에 대해 위 조건을 만족.
  이 정의는 **“섹션이 행렬식 형태로 나타낼 수 있는가”**를 자동사상까지 허용함으로써, 프로젝트리 공간의 대칭성을 활용한다는 점에서 혁신적이다.

3. 주요 정리와 그 의미

4. 증명 전략 및 핵심 기법

1. 정밀한 시퀀스 분석: (예: (0\to\mathcal{O}{\mathbb{P}^2}(-1)\xrightarrow{(x,y,z^2)}\mathcal{O}{\mathbb{P}^2}^2\oplus\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(1)\to N\to0))을 이용해 섹션의 구조를 명시적으로 파악하고, 행렬식 형태로 변환한다.
2. GPLI (generically point‑wise linearly independent) 개념을 도입해, 두 섹션이 점마다 독립임을 보장하고, 이를 통해 퇴화소가 기대하는 차원을 갖는지 검증한다.
3. 대수적 변형(자동사상 (\varphi))을 활용해, 일반적인 곡선을 표준 형태(예: (x=0, y=0) 등)로 이동시킨 뒤, 기존의 determinantal representation 결과(

📄 Content

전체 논의는 복소수체 (\mathbb C) 위에서 진행한다. (\mathbb C) 위의 차원 (n)인 벡터공간 (W)와 정수 (0<r<n)에 대해, (r)‑차원 부분공간들의 그라스만 다양체를
[ \operatorname{Gr}(r,W) ] 라 표기한다.

동차다항식의 행렬식 표현(determinantal representation)은 오래전부터 문헌에서 연구되어 왔으며, 예를 들어 ([3],[4],[6],[5],[11],[12],[14]) 등을 들 수 있다. 여기서는 동차다항식의 행렬식 표현 개념을 벡터다발의 결정선다발(det line bundle) 섹션에 대한 행렬식 표현으로 확장하고자 한다.

(X)를 매끄러운 사영다양체라 하고, (H)를 충분히 큰(ample) 선다발, (E)를 차수 (d\ge 2)인 벡터다발이라 하자. 다음과 같이 정의한다.

• (H)-풍부(H‑abundant) : 모든 충분히 큰 정수 (m)와, 선다발 (\det E(mH))에 의해 주어지는 완전선형계(complete linear system)의 일반원소 (D)에 대하여, 어떤 자동동형사상 (\varphi\in\operatorname{Aut}(X))가 존재해 (\varphi^{*}D)가 (E(mH))의 (d)개의 섹션에 대한 퇴화소(loci)와 일치한다면 (E)는 (H)-풍부하다고 한다.

• (반)풍부((semi‑)abundant) : 모든 (또는 일부) 충분히 큰 ample 선다발 (H)에 대해 (E)가 (H)-풍부하면 (E)를 (반)풍부하다고 부른다.

특히 (E)와 (H)가 동차벡터다발(homogeneous vector bundle)인 경우에는 자동동형 (\varphi)가 필요하지 않다.

([6])의 주요 결과는 (\mathbb P^{1})와 (\mathbb P^{2}) 위의 분해가능(split) 벡터다발이 풍부함을 보인다. 본 논문의 주요 목표 중 하나는 (\mathbb P^{2}) 위에서 **분해불가능(indec​omposable)**인 풍부 벡터다발의 구체적인 사례들을 제시하는 것이다.

정리 1.1

[ 0\longrightarrow \mathcal O_{\mathbb P^{2}}(-1)\xrightarrow{(x,y,z^{2})}\mathcal O_{\mathbb P^{2}}^{\oplus 2}\oplus\mathcal O_{\mathbb P^{2}}(1)\longrightarrow N\longrightarrow0 ] 라 정의되는 차수 두(rank 2) 벡터다발 (N)은 풍부하다.

정리 1.2

(k\ge1)에 대해, (\mathcal O_{\mathbb P^{2}}(k))의 시조지( syzygy) 다발 (M_{k})를 다음과 같이 정의한다.
[ 0\longrightarrow M_{k}^{*}\longrightarrow H^{0}!\bigl(\mathbb P^{2},\mathcal O_{\mathbb P^{2}}(k)\bigr)\otimes\mathcal O_{\mathbb P^{2}}\longrightarrow\mathcal O_{\mathbb P^{2}}(k)\longrightarrow0 . ] 그러면 모든 (k)에 대해 (M_{k})는 풍부한다. 특히 (M_{k})는 분해불가능이며 실제로 **안정(stable)**한 다발이다.

따름 1.3

(\mathbb P^{2})의 접다발과 여접다발은 풍부하다.

따름 1.4

임의의 정수 (d\ge1)에 대해 차수 (2)인 분해불가능 벡터다발 (E_{d})가 존재하여, (\mathbb P^{2})의 거의 모든 차수 (d) 곡선이 (E_{d})의 두 개의 정칙(holomorphic) 섹션에 대한 퇴화소가 되며, 이는 (\mathbb P^{2})의 자동동형에 의해 동일시된다.

다음으로 ([13])에서 다루어진 다발들이 풍부함을 보인다.

정리 1.5

(2\le r\le4)에 대해, 표준 기저 ({x_{0},x_{1},x_{2}})를 이용해 [ 0\longrightarrow E_{r}\longrightarrow \mathcal O_{\mathbb P^{2}}^{\oplus (r+2)}\xrightarrow{(x_{0},x_{1},x_{2})}\mathcal O_{\mathbb P^{2}}(1)^{\oplus r}\longrightarrow0 ] 와 같이 정의되는 다발 (E_{r})의 쌍대는 풍부한다.

다음은 (반)풍부 벡터다발을 가질 수 있는 다양체의 차원에 대한 제한을 보여준다.

정리 1.6

(X)가 차원 (n)인 매끄러운 사영다양체이며, (X) 위에 반풍부 벡터다발이 존재한다면 (n\le2)이다.
(n=2)인 경우, 혹은 (\kappa(X)=-\infty) (즉, (X)가 리우비치(리우비) 곡면) 혹은 (\kappa(X)=0)이며 (X)가 최소(minimal)인 경우에만 가능하다.

또한 (n=2)이고 풍부 벡터다발이 존재한다면 (-K_{X})는 **유리효과적(rationally effective)**이다. 즉, 어떤 양의 정수 (m)에 대해 [ H^{0}!\bigl(X,\mathcal O_{X}(-mK_{X})\bigr)\neq0 ] 가 된다.

마지막으로 (반)풍부 다발을 갖는 다양한 예들을 추가로 제시한다.

정리 1.7

1. (\mathbb P^{1}\times\mathbb P^{1}) 위의 차수 (2)인 자명(trivial) 벡터다발은 반풍부한다.

2. (C)가 다음 두 경우 중 하나에 삽입될 수 있는 매끄러운 사영곡선이라면, … (원문에 구체적인 삽입 조건이 누락되어 있어 여기서는 생략한다).

2.1‑2.5 절 요약

(n\ge0)에 대해 [ 0\longrightarrow\mathcal O_{\mathbb P^{2}}(n-1)\xrightarrow{(x,y,z^{2})}\mathcal O_{\mathbb P^{2}}^{\oplus2}\oplus\mathcal O_{\mathbb P^{2}}(n+1)\longrightarrow N(n)\longrightarrow0 ] 라는 정확한 시퀀스를 얻는다. 여기서 (H^{1}\bigl(\mathcal O_{\mathbb P^{2}}(n-1)\bigr)=0)이므로, 위 사상은 전사이며, 따라서 모든 섹션 (s\in H^{0}!\bigl(N(n)\bigr))는 위 시퀀스의 앞쪽 섹션에서 유도된다.

정의 2.1
(F)가 (\mathbb P^{2}) 위의 벡터다발이고, (V\subset H^{0}!\bigl(F(n)\bigr))가 차원 (2)인 부분공간이라 하자. (V)가 **일반점선형독립(GPLI)**이라 함은, 어떤 점 (p\in\mathbb P^{2})와 (v_{1},v_{2}\in V)가 존재해 (v_{1}(p),v_{2}(p))가 선형적으로 독립임을 의미한다.

예 2.2
시퀀스 (1)에서 유도된 정확한 벡터공간 시퀀스 [ 0\longrightarrow H^{0}!\bigl(\mathcal O_{\mathbb P^{2}}(n-1)\bigr)\xrightarrow{(x,y,z^{2})} H^{0}!\bigl(\mathcal O_{\mathbb P^{2}}^{\oplus2}\oplus\mathcal O_{\mathbb P^{2}}(n+1)\bigr)\longrightarrow H^{0}!\bigl(N(n)\bigr)\longrightarrow0 ] 를 고려한다. 여기서 ((X^{n+1},0,0))와 ((Y^{n+1},0,0))가 만든 섹션은 선형적으로 독립하지만 GPLI는 아니다.

주석 2.3 등에서는 GPLI 조건이 만족되지 않을 경우의 기저와 퇴화소의 관계를 상세히 설명한다. 특히, 일반적인 평면곡선 (C)가 차수 (2n+2)인 경우, 적절한 자동동형 (\varphi)가 존재해 (\varphi^{*}C)가 [ \det\begin{pmatrix} g_{1}&g_{2}&l\ f_{1}&f_{2}&m\ 0 &0 &Q \end{pmatrix}=0 ] 와 같은 행렬식의 영소점이 된다. 여기서 (l,m)은 일차식, (Q)는 이차식이며, 적절히 변환하면 최종적으로 [ \det\begin{pmatrix} g_{1}&g_{2}&x\ f_{1}&f_{2}&y\ 0 &0 &az^{2} \end{pmatrix}=0 ] 의 형태가 된다. 이는 정리 1.1의 증명을 완성한다.

주석 2.4, 2.5에서는 (\Psi_{n})이 모든 (n\ge0)에 대해 우세(dominant)함을, 그리고 (N)이 (\mathbb P^{3}) 위의 Null‑correlation bundle의 초평면 제한임을 언급한다.

3‑4 절 요약

다음과 같은 정확한 시퀀스를 사용한다. [ 0\longrightarrow\mathcal O_{\mathbb P^{2}}(-k)\xrightarrow{(P_{1},\dots,P_{m})}\mathcal O_{\mathbb P^{2}}^{\oplus m}\longrightarrow E\longrightarrow0 . ] 여기서 ({P_{1},\dots,P_{m}})는 (\mathcal O_{\mathbb P^{2}}(k))의 전역 섹션들의 기저이다. 위 시퀀스를 이용하면, ([6])에 의해 차수 ((m-1)n+k)인 일반곡선은 [ \det A=0 ] 인 (m\times m) 행렬 (A)의 행렬식으로 표현될 수 있다. 마지막 행을 ((P_{1},\dots,P_{m}))로 정규화하면 정리 1.5와 동일한 논증이 가능하다.

주석 3.1에서는 (k\ge1,\ n\ge0)에 대해 [ T_{k,n}:\operatorname

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