WindDensity‑MBIR: 풍동 내부 3D 밀도 추정을 위한 모델 기반 반복 재구성

� 큰 아티팩" categories: [“Research”]

📝 Abstract

Experimentalists often use wind tunnels to study aerodynamic turbulence, but most wind tunnel imaging techniques are limited in their ability to take non-invasive 3D density measurements of turbulence. Wavefront tomography is a technique that uses multiple wavefront measurements from various viewing angles to non-invasively measure the 3D density field of a turbulent medium. Existing methods make strong assumptions, such as a spline basis representation, to address the ill-conditioned nature of this problem. We formulate this problem as a Bayesian, sparse-view tomographic reconstruction problem and develop a model-based iterative reconstruction algorithm for measuring the volumetric 3D density field inside a wind tunnel. We call this method WindDensity-MBIR and apply it using simulated data to difficult reconstruction scenarios with sparse data, small projection field of view, and limited angular extent. WindDensity-MBIR can recover high-order features in these scenarios within 10% to 25% error even when the tip, tilt, and piston are removed from the wavefront measurements.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 필요성

• 풍동 내 비침습 3D 측정의 한계: 기존 디지털 홀로그래피·샤크-하트만 센서는 광학 경로 길이(OPL)의 적분값인 OPD만을 제공해, 직접적인 점밀도 정보를 얻기 어렵다.
• 희소‑뷰·제한 각도 문제: 풍동 내부의 물리적 제약으로 동시에 얻을 수 있는 파면 측정 수와 각도 범위가 매우 제한적이며, 이는 전통적인 FBP(Filters Back Projection)와 같은 선형 복원 방법에 큰 아티팩트를 초래한다.
• TTP(팁·틸트·피스톤) 손실: 실험적 파면 측정은 평균(OPD)과 선형 기울기(tip‑tilt)를 제거한 형태이므로, 투사 정보가 불완전해진다.

2. 핵심 기여

3. 방법론 상세

1. 전방 모델

   • 파면 측정 (y = A x + w) 로 표현, 여기서 (A)는 병렬 빔 투사 연산자, (w)는 가우시안 노이즈.
   • 실제 실험에서는 OPD(_{TT}) (TTP 제거된 OPD) 를 사용해 모델 불일치를 유발, 이를 시뮬레이션을 통해 정량화.

2. 베이지안 사전

   • GGMRF 사전 (h(x)) 은 인접 voxel 간 차이를 제어하는 일반화 가우시안 형태로, 매끄러운 물리적 밀도장을 가정한다.
   • 하이퍼파라미터(정규화 강도, 형태 파라미터)는 교차 검증을 통해 최적화.

3. MAP 최적화

   • 목적함수 (\min_x \frac{1}{2}|W^{1/2}(y - A x)|^2 + \beta h(x)) 를 JAX 기반 MBIR‑JAX 패키지로 구현.
   • 벡터화된 좌표 하강(coord‑descent) 알고리즘을 사용해 GPU 가속을 극대화, 수백 회 반복에도 실시간에 근접한 속도 확보.

4. 시뮬레이션 설정

   • Kolmogorov PSD 기반 3D 위상 볼륨을 생성해 실제 난류와 유사한 스펙트럼을 재현.
   • 뷰 수(3~8), 각도 범위(≤ 60°), 투사 FOV 비율(≤ 1) 등 다양한 어려운 조건을 조합해 실험.

5. 평가 지표

   • RMSE, 구조 유사도(SSIM), Zernike 모드별 오차 분석을 수행.
   • 특히 저차 Zernike(2차 이하) 모드가 TTP 손실에 의해 크게 영향을 받는 것을 확인하고, 고차 모드 복원은 여전히 정확함을 입증.

4. 강점

• 베이지안 프레임워크를 도입해 정규화와 잡음 억제를 체계적으로 수행, 기존 스플라인 기반 방법보다 일반화 능력 우수.
• 희소‑뷰·제한 각도 상황에서도 안정적인 복원 가능, 실제 풍동 실험에 바로 적용할 수 있는 실용성.
• TTP 손실에 대한 정량적 분석을 제공, 실험 설계 시 추가 레퍼런스(온도 센서 등) 없이도 충분한 정확도 확보.
• GPU 가속 JAX 구현으로 대규모 3D 볼륨(수백³)도 합리적인 시간 내에 재구성.

5. 한계 및 개선점

6. 향후 연구 방향

1. 실험적 검증 – 풍동 내 실제 파면 센서 배열을 구축하고, WindDensity‑MBIR을 적용해 CFD와 비교 분석.
2. 하이브리드 모델 – 물리 기반 MBIR과 데이터 기반 딥러닝(예: U‑Net, 변분 오토인코더)을 결합해 모델 불일치를 학습적으로 보정.
3. 실시간 구현 – FPGA 혹은 최신 GPU 클러스터를 활용해 초당 수십 프레임 재구성 가능하도록 파이프라인 최적화.
4. 다중 물리량 복원 – 밀도 외에도 온도·압력·속도장을 동시에 복원하는 다변량 MBIR 프레임워크 확장.

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📄 Content

파동전면(웨이브프런트) 센싱은 고속 기류에 의해 발생하는 3차원 밀도장 변화를 감지할 수 있는 영상 기술군이다. 1 일관된(coherent) 광원을 난류 기류에 비추면, 밀도 변화에 따른 굴절률 변동이 광학 경로 길이(OPL)를 바꾸게 된다. 디지털 홀로그래피나 Shack‑Hartmann 파동전면 센서와 같은 파동전면 센싱 기법은 일관된 빔의 개구(aperture) 전역에 걸친 광학 경로 차이(OPD)를 정밀하게 측정함으로써, 난류 기류의 밀도 변화를 비침습적으로 탐지할 수 있게 해준다. 그러나 OPD는 시선(line‑of‑sight) 방향으로 적분된 측정값이므로, 기본적인 3차원 밀도에 대한 점별 추정값을 제공하지 못한다. 반면, 풍동(flow‑tunnel) 내에 입자를 주입해 시드(seed)하는 방법은 3차원 점 정보를 제공하지만 침습적이며 수행이 어렵다. 2

전산유체역학(CFD) 은 비침습적이며 3차원 흐름 역학을 모델링할 수 있지만, 실험적 테스트와 일치하지 못하는 경우가 많다. 3,4 파동전면 단층촬영(wavefront tomography)은 난류 부피의 3차원 밀도장을 추정하기 위한 비침습적 대안이다. 5 평행빔 X‑레이 단층촬영과 유사하지만, 파동전면 단층촬영은 시야가 제한되고(view가 sparse), 각도 범위가 제한되며(angular extent limited), 투영 정보가 불완전한(sparse view) 상황에서 특히 어려움을 겪는다. 풍동 난류의 동적 흐름장을 포착하려면 모든 파동전면 측정을 동시에 획득해야 하는데, 풍동 내부에서 이미징이 가능한 파동전면 측정 수와 각도 범위는 물리적으로 제한된다. 따라서 이는 제한각(limited‑angle), 희소 시야(sparse‑view) 단층촬영 문제가 된다.

또한 2차원 OPD 측정은 저차의 tip, tilt, piston(TTP) 정보를 포함하지 않기 때문에 난류 굴절률에 대한 완전한 투영이 아니다. 정의상 OPD는 개구 전체 평균 OPL(즉, piston)에 대해 블라인드이며, 기계적 진동이 파동전면에 알려지지 않은 tip‑tilt을 추가하게 되면 난류에 의한 tip‑tilt이 가려진다. 경우에 따라 투영 시야(FOV)가 난류 매질보다 넓다면 완전한 투영 정보를 복구할 수 있다. 6 그러나 실제 풍동 실험에서는 빔 직경에 의해 시야가 제한되므로 이는 불가능하다. 마지막으로 대부분의 풍동은 물리적 시야 제약으로 인해 투영 각도 범위도 제한되므로, 재구성 축 중 하나에 대한 특징을 해상도 있게 복원하기가 특히 어렵다.

파동전면 단층촬영은 현미경 분야에서 3차원 시료 굴절률을 복원하기 위한 목적으로 광범위하게 연구되어 왔다. 7 이 분야의 많은 방법이 제한각·희소 시야 상황을 전제로 하지만, 복원 대상이 투영 시야보다 현저히 넓은 경우는 고려하지 않는다. 또한 시야가 시료보다 넓을 때는 배경(참조 매질)을 통과하는 추가 투영 정보가 존재하므로, 시료에 대한 완전한 투영(즉, TTP 포함)을 복구할 수 있다.

풍동 난류 복원을 위해 여러 파동전면 단층촬영 방법이 제안되었지만, 베이지안 모델 기반 재구성 프레임워크를 활용한 사례는 아직 없다. 베이지안 접근법은 X‑레이 단층촬영 분야에서 정규화와 아티팩트 제거에 널리 쓰인다. 8 일부 재구성 방법은 저차원 부드러운 직교 기저(orthogonal basis)를 이용해 암묵적으로 정규화를 수행하지만, 6,9 이러한 기법은 명시적인 베이지안 사전 모델을 사용하지 않는다. 누락된 투영 정보를 보완하기 위해 추가 참조 정보를 도입하거나(6,9) 반복 업데이트 루프를 적용한 고급 접근법도 존재한다(10,11). 그러나 이들 역시 투영 정보의 불확실성이나 오류로 인한 아티팩트를 완화하기 위한 명시적인 베이지안 사전을 사용하지 않는다.

게다가 기존 난류 복원 방법들은 희소 시야, 제한각, 작은 시야, 알 수 없는 TTP가 동시에 존재하는 어려운 영상 상황을 다루도록 설계되지 않았다. 예를 들어, 일부 방법은 난류 매질이 방사형 대칭(radially symmetric)이라고 가정해(9,10) 하나의 측정만으로 180° 전부의 투영 정보를 얻을 수 있다고 전제한다. 또 다른 방법은 난류 흐름이 정상(steady)이라고 가정해(12) 장시간에 걸쳐 다수의 측정을 취할 수 있다고 본다. 제한된 측정 수만을 고려한 연구도 있었지만, 각도 범위가 심각하게 제한된 경우(예: 90° 미만)까지는 다루지 않았다. 6,9‑14 대부분의 실험·시뮬레이션은 각 투영 시야가 난류 매질보다 크게 넓다고 가정한다. 9‑14 반면, 작은 시야와 알 수 없는 TTP를 다룬 연구(6)는 온도 프로브와 같은 추가 참조 정보를 필요로 하는데, 이는 침습적이며 실용성이 떨어진다.

희소 측정 데이터, 작은 시야, 제한각 문제를 극복하기 위해 **층화 모델(layered model)**이나 저차원 기저 표현을 이용하는 방법도 있다. 6,9,15‑18 예를 들어, 다중공액 적응광학(multi‑conjugate adaptive optics) 시스템에서는 대기 난류를 여러 고도에 배치된 층으로 모델링한다. 15‑17 Klee 등은 두 개의 위상 스크린을 광학 벤치에 정렬해 재구성하는 실험적 가능성을 보였으며, 각 위상 스크린을 스플라인 기저로 표현하고 기저 계수를 추정했다. 층화 모델은 많은 응용에 적합하지만, 풍동 난류와 같이 부피적(volume‑based) 재구성이나 공간적으로 상관된 특징을 포착하는 데는 한계가 있다. 저차원 기저 표현은 문제를 잘 정형화하지만, 복원 가능한 세부 특징은 기저가 표현할 수 있는 범위에 제한된다.

본 논문에서는 WindDensity‑MBIR(19)이라는 모델 기반 반복 재구성(MBIR) 방법을 제안한다. 이는 풍동 내부의 부피 밀도장을 비침습적으로 추정하기 위한 것이다. 부피 파동전면 단층촬영 문제를 평행빔 단층촬영(parallel‑beam tomography)으로 정식화하고, 기존 평행빔 MBIR 알고리즘 및 소프트웨어(20)를 이용해 미지의 밀도를 추정한다. 실험 결과, 측정 수가 적고, 각도 범위가 크게 제한되며, 측정값에서 TTP가 제거된 경우에도 WindDensity‑MBIR은 10 %~25 % 오차 범위 내에서 고차 특징을 복원한다. 이를 **스케일 보정된 필터드 백프로젝션(FBP)**과 비교했을 때, MBIR이 FBP보다 현저히 우수함을 확인하였다. 또한 광학 구성(optical configuration)이 재구성 품질에 미치는 영향을 조사했으며, 최대 각도 범위와 시야 수(view 수)가 동시에 증가할 때만 정확도가 향상된다는 결론을 얻었다. 마지막으로, 비이상적인 tip‑tilt 제거 OPD 측정이 재구성에 미치는 부정적 영향을 평가하기 위해 이상적인 OPL 측정과 비교 실험을 수행하였다. 시뮬레이션에서는 알 수 없는 TTP에 의한 추가 오류의 약 95 %가 저차 Zernike 모드(방사 차수 2 이하)에 국한됨을 확인했으며, 이는 TTP가 제거된 OPD 측정이라도 고차 모드를 복원할 수 있음을 의미한다.

1. 물리량 및 기본 방정식

관심 물리량은 풍동 내부의 3차원 밀도장 ρ이다. 파동전면 측정은 굴절률 장 n의 투영이며, 굴절률은 Gladstone‑Dale 방정식을 통해 밀도와 연결된다(21,22):

[ n(\mathbf{r}) = 1 + K_{GD},\rho(\mathbf{r}) ]

여기서 (K_{GD})는 Gladstone‑Dale 상수이고, (\mathbf{r})은 부피 내의 점을 나타낸다. 따라서 파동전면 측정은 직접적으로 밀도와 연결된 굴절률을 투영한 것이므로, 본 논문에서는 굴절률 장 n의 복원에 초점을 맞춘다.

2. 파동전면 단층촬영 시스템 구성

기본적인 파동전면 단층촬영 시스템은 여러 개의 개별 콜리메이트된(coherent) 빔 소스와 여러 파동전면 검출기로 구성된다. 검출기는 Shack‑Hartmann 센서 집합이 될 수도 있고, 각각 자체 레퍼런스 빔을 갖는 디지털 홀로그래피 장치일 수도 있다. 그림 1은 가능한 파동전면 단층촬영 설정을 개념적으로 나타낸다.

단일 투사 광선 (\gamma_j) (j는 특정 뷰(view) 내의 픽셀 인덱스) 에 대해 OPL은 굴절률 n을 경로 (\gamma_j)를 따라 적분한 값이다:

[ \text{OPL}j = \int{\gamma_j} n(\mathbf{r}),\mathrm{d}s ]

연속적인 굴절률 부피 (n(\mathbf{r}))를 이산화된 벡터형 부피 ( \mathbf{x}\in\mathbb{R}^N) 로 바꾸고, 경로 적분을 선형 전방 투영(linear forward projection) 으로 표현하면

[ \text{OPL}_j = \mathbf{A}_j^{\mathsf{T}}\mathbf{x} ]

여기서 (\mathbf{A}_j\in\mathbb{R}^N)은 j번째 픽셀에 대한 투영 행렬이다.

3. 평행빔 근사와 전체 전방 모델

빔이 콜리메이트되고 난류가 약하며 전체 투영 거리가 짧을 경우, 각 투사 빔을 평행광선(bundle of parallel rays) 으로 근사할 수 있다. 이때 (\mathbf{A}_j)는 평행빔 전방 투영 연산자를 의미한다. 전체 시스템에 대한 전방 모델은

[ \mathbf{y} = \mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{w},\qquad \mathbf{w}\sim\mathcal{N}(\mathbf{0},\sigma_y^2\mathbf{I}) ]

여기서 (\mathbf{y}\in\mathbb{R}^M)은 모든 OPL 측정값, (\mathbf{A}=[\mathbf{A}0,\dots,\mathbf{A}{M-1}]^{\mathsf{T}})는 전체 전방 투영 연산자, (M)은 모든 빔 개구에 걸친 총 픽셀 수이다.

4. 베이지안 MAP 재구성

모델 기반 접근법에서는 최대 사후 확률(MAP) 추정을 통해 최종 재구성 (\mathbf{x})를 얻

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