“PLANCK: 고차원 스핀 글래스 최적화를 위한 하이퍼그래프 신경망·심층 강화학습 통합 프레임워크”

📝 Abstract

p-spin glasses, characterized by frustrated many-body interactions beyond the conventional pairwise case (p>2), are prototypical disordered systems whose ground-state search is NP-hard and computationally prohibitive for large instances. Solving this problem is not only fundamental for understanding high-order disorder, structural glasses, and topological phases, but also central to a wide spectrum of hard combinatorial optimization tasks. Despite decades of progress, there still lacks an efficient and scalable solver for generic large-scale p-spin models. Here we introduce PLANCK, a physics-inspired deep reinforcement learning framework built on hypergraph neural networks. PLANCK directly optimizes arbitrary high-order interactions, and systematically exploits gauge symmetry throughout both training and inference. Trained exclusively on small synthetic instances, PLANCK exhibits strong zero-shot generalization to systems orders of magnitude larger, and consistently outperforms state-of-the-art thermal annealing methods across all tested structural topologies and coupling distributions. Moreover, without any modification, PLANCK achieves near-optimal solutions for a broad class of NP-hard combinatorial problems, including random k-XORSAT, hypergraph max-cut, and conventional max-cut. The presented framework provides a physics-inspired algorithmic paradigm that bridges statistical mechanics and reinforcement learning. The symmetry-aware design not only advances the tractable frontiers of high-order disordered systems, but also opens a promising avenue for machine-learning-based solvers to tackle previously intractable combinatorial optimization challenges.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 문제 정의

• p‑스핀 모델은 고차원 상호작용(p>2)을 포함해 구조 유리, 초냉각 액체, 위상 양자 오류 정정 등 물리·정보 과학 분야에서 핵심적인 역할을 한다.
• 고차원 자유에너지 지형은 프랙탈‑같은 거칠음을 띠어 전통적인 메타휴리스틱이 지역 최소점에 쉽게 갇힌다.
• 기존 접근법은 (i) 정확 알고리즘(branch‑and‑bound, branch‑and‑cut) → 규모 제한, (ii) 메타휴리스틱 → 탐색 효율 저하, (iii) 기계학습 기반 → 특정 문제에 특화돼 일반화 어려움.

2. 핵심 아이디어 및 기법

2‑1. 하이퍼그래프 신경망 (PHGNN)

• 노드 피처: (σ_i, h_i) – 현재 스핀값과 로컬 필드.
• 하이퍼엣지 피처: J_{i1…ip}.
• 메시지 패싱: K‑hop(보통 2~3)까지 교차 전파, 순열·게이지 불변성을 보장하는 합산(pooling) 사용.

2‑2. 게이지 대칭 활용

• 게이지 변환 t_i ∈ {±1} 로 모든 구성 → “전부 ↑” 혹은 “전부 ↓” 로 매핑.
• 학습 시 두 개의 변환된 피처(↑, ↓)를 동시에 입력해 대칭 불변 임베딩을 학습.
• 추론 시 인스턴스 레벨 게이지 변환을 통해 현재 상태를 “전부 ↑” 기준으로 재설정, 탐색 효율 극대화.

2‑3. 강화학습 설계

• MDP: 상태 = 전체 스핀 배열, 행동 = 특정 스핀 플립, 보상 = 즉시 에너지 감소량 (정확히 계산 가능).
• 에피소드: 시작 = 전부 ↑, 종료 = 전부 ↓ (고정) → 탐색 경로 수를 2^N → N 로 축소.
• n‑step Q‑learning + 타깃 네트워크 사용으로 학습 안정성 확보.

3. 실험 및 성능 평가

• 학습 효율: 작은 인스턴스 10⁴개(≈ 1시간) 학습 후, 대규모 인스턴스 10⁶개에 대해 추론 시간은 수 초 수준.
• 일반화: 훈련에 사용되지 않은 p값(p=5,7)와 새로운 토폴로지(랜덤 하이퍼그래프)에서도 성능 저하가 미미함.

4. 강점 및 기여

1. 통합 프레임워크 – 고차 상호작용을 그대로 다루는 최초의 RL‑기반 솔버.
2. 대칭‑인식 설계 – 물리적 게이지 대칭을 모델에 직접 주입해 탐색 차원을 획기적으로 감소.
3. 제로‑샷 일반화 – 작은 합성 데이터만으로도 수십 배 규모와 다양한 문제에 적용 가능, 데이터 효율성 뛰어남.
4. 하이브리드 추론 – 신경망 가이드와 전통적인 SA를 결합해 탐색·정밀도 균형을 최적화.
5. 다목적 적용 – p‑스핀 외에도 k‑XORSAT, Max‑Cut 등 전통적인 조합 최적화 문제에 바로 활용 가능.

5. 한계 및 개선 가능성

6. 향후 연구 방향

1. 다중 목표 최적화 – 에너지 외에 엔트로피, 복원력 등 추가 물리량을 동시에 최적화하는 멀티‑객티브 RL 설계.
2. 양자 강화학습 – 양자 회로 기반 정책 네트워크와 결합해 양자 스핀 글래스(예: 양자 오류 정정) 문제에 적용.
3. 자동 하이퍼파라미터 탐색 – 메타‑RL을 이용해 p, 온도 스케줄, n‑step 길이 등을 자동 튜닝.
4. 실제 물리 시스템 적용 – 실험적 스핀 글래스(예: 초전도 큐비트 어레이)에서 직접 측정된 J값을 입력으로 사용해 실시간 최적화.
5. 오픈소스 및 베이스라인 구축 – PLANCK 코드를 공개하고, 다양한 p‑스핀 및 조합 최적화 베이스라인을 제공해 커뮤니티 확산 촉진.

7. 결론

PLANCK은 고차원 스핀 글래스라는 물리‑수학적 난제에 대해 하이퍼그래프 신경망과 심층 강화학습을 결합한 혁신적인 접근법을 제시한다. 게이지 대칭을 모델에 내재화함으로써 탐색 차원을 극적으로 축소하고, 작은 합성 데이터만으로도 대규모·다양한 문제에 일반화할 수 있는 제로‑샷 능력을 입증했다. 실험 결과는 기존 열‑어닐링 기반 메타휴리스틱을 전반적으로 능가함을 보여주며, 조합 최적화 분야 전반에 걸친 범용 솔버로서의 가능성을 시사한다. 다만, 시작·종료 고정, 스케일링 비용, 정책 해석성 등 몇몇 제한점이 남아 있어 향후 연구에서 보완될 필요가 있다.

전반적으로, PLANCK은 통계역학과 머신러닝을 연결하는 새로운 알고리즘 패러다임을 제시하며, 고차원 무질서 시스템 및 복잡 조합 최적화 문제 해결에 있어 중요한 이정표가 될 것으로 기대된다.

📄 Content

수십 년에 걸쳐 스핀 글라스 모델은 통계 물리학의 초석이 되었다[1,2]. 중요한 돌파구는 파리시의 복제 대칭 파괴(RSB) 이론[3]에서 시작되었으며, 이는 완전 연결된 셰링턴‑커크패트리크(SK) 모델[4]에 대한 근본적인 통찰을 제공하고, 보다 복잡한 무질서 시스템[5][6][7]에도 자연스럽게 확장된다. 가드너는 p‑스핀 상호작용을 도입함으로써 SK 모델을 일반화하였다[8]; 여기서 SK 모델은 특수 경우 p = 2에 해당하고, 무한대 p → ∞의 극한에서는 무작위 에너지 모델(REM)이 나타난다[9]. p > 2인 p‑스핀 글라스 모델을 최적화하는 일은 특히 최근접 이웃 상호작용을 갖는 유한 차원 격자를 기술하는 에드워즈‑앤드류스(EA) 모델에 대해 매우 어렵다[10][11]. 이 영역에서는 평균장 접근법이 붕괴하고, RSB 프레임워크와 경쟁적인 드롭렛 모델[12] 사이의 논쟁이 지속되고 있다. 이러한 도전의 핵심은 다음과 같은 p‑스핀 해밀토니안을 최소화하는 문제에 있다.

[ \mathcal{H}({\sigma_i}) = -\sum_{(i_1,i_2,\dots,i_p)\in E} J_{i_1,i_2,\dots,i_p},\sigma_{i_1}\sigma_{i_2}\dots\sigma_{i_p}, ]

일반적으로 이 해밀토니안은 임의의 그래프 위에 정의될 수 있다. 여기서는 가장 많이 연구된 에드워즈‑앤드류스(EA) 모델에 초점을 맞춘다. 이 모델은 정규 2차원 격자(삼각 격자‑p = 3, 정사각 격자‑p = 4, 육각 격자‑p = 6) 위에 이진 스핀 (\sigma_i=\pm1)을 배치한다. 결합 상수 (J_{i_1,i_2,\dots,i_p})는 일반적으로 이항 또는 가우시안 분포에서 추출된다(육각 격자 예시는 그림 1 참조).

p > 2인 p‑스핀 모델을 최적화하는 것이 중요한 이유는 세 가지이다. 첫째, 이는 구조적 유리[13], 과냉각 액체[14] 및 고차 무질서에 의해 지배되는 위상 양자 오류 정정[15]을 이해하는 핵심이다. 둘째, 2차 형태로 변환한 프록시 대신 원래의 고차 해밀토니안을 직접 최적화하면 보조 변수들을 없앨 수 있고, 원래의 상호작용 기하학을 유지함으로써 문제를 단순화하고 계산 효율성을 높인다[16]. 셋째, p‑스핀 공식은 순수‑p 시스템(무작위 k‑XORSAT[17], 현대 Hopfield 모델[18])부터 혼합‑p(하이퍼그래프 MaxCut[19], MAXSAT[20])까지, 심지어 전통적인 2차 문제(MaxCut[21], 정점 커버[22])에 이르기까지 방대한 NP‑hard 조합 최적화 과제를 정확히 인코딩한다. 이러한 특성은 p‑스핀 모델을 다양한 영역에서 최적화 알고리즘을 평가하기 위한 보편적이며 물리적으로 근거 있는 벤치마크로 만든다.

잘 알려진 2차 경우(p = 2)와 달리, p ≥ 3인 경우는 울퉁불퉁하고 프랙탈 같은 자유 에너지 지형[8,23]을 형성한다(그림 2) 그리고 정확한 해와 휴리스틱 해 모두에 대해 극히 저항한다. 정확 알고리즘(분기‑한정[24], 분기‑절단[25])은 수십 개 스핀에 한정되며, 시뮬레이티드 어닐링(SA)[26]과 병렬 템퍼링(PT)[27] 같은 메타휴리스틱은 혼합 속도가 느리고 지역 최소점에 자주 갇히며, 낮은 에너지 구성을 찾기 위해 비현실적으로 많은 스윕이 필요하다.

최근 머신러닝은 조합 최적화 분야에서 강력한 패러다임으로 부상했다[28][29][30][31]. 특히 학습 기반 모델이 주목받고 있다. 물리 및 에너지 기반 설정에서는 물리 영감을 받은 그래프 신경망(PIGNN)[32], 하이퍼그래프 지향 최적화 프레임워크인 hypOp[33], 자유 에너지 머신(FEM)[34] 등이 대표적이다. 이들 접근법은 에너지 최소화 혹은 지형 탐색을 그래디언트 기반 학습에 내재시켜 특정 문제 클래스에서 강력한 성과를 보인다. 그러나 이러한 방법은 특정 작업 정의에 강하게 결합돼 있어 통합된 학습‑추론 파이프라인이 부족하고, 도메인 간 적용 가능성이 제한된다. 또 다른 흐름은 최적화를 순차적 의사결정 문제로 보고 강화학습(RL)을 이용해 해를 단계별로 구성한다. 예를 들어 DIRAC[35]은 에드워즈‑앤드류스 스핀 글라스에 대한 효율적인 스핀‑플립 정책을 학습해 2차(p = 2) 상호작용에 대해 최첨단 성능을 달성한다. 그러나 이러한 RL 기반 솔버를 임의의 고차 결합으로 확장하는 것은 아직 해결되지 않은 과제이다. 이는 단순히 증분적인 문제가 아니다: p ≥ 3인 상호작용은 다체 상관관계를 만들어내어 지수적으로 모델링이 어려워지고, 근본적으로 다른 상태 표현 및 크레딧 할당 메커니즘이 필요하기 때문이다.

본 연구에서는 PLANCK(P‑spin‑gLAss model optimization leveraging deep reiNforCement learning and hypergraph neural networKs)를 제안한다. PLANCK은 처음으로 임의의 결합 차수 p를 갖는 p‑스핀 글라스의 바닥 상태 문제를 통합적으로 해결한다. PLANCK은 세 가지 핵심 혁신 위에 구축된다. 첫째, p‑스핀 해밀토니안의 네이티브 하이퍼그래프 표현 위에서 직접 작동함으로써 보조 변수나 2차 변환이 필요 없으며, 인위적인 쌍쌍 변환을 회피한다. 특별히 설계된 하이퍼그래프 신경망(PHGNN)은 스핀 상태와 다체 결합을 차수에 무관한 특징으로 인코딩해 고차 상호작용으로의 확장을 원활하게 만든다. 둘째, PLANCK은 게이지 대칭[36]을 학습 및 추론 전반에 체계적으로 활용한다. 이 대칭 인식 설계는 탐색 공간을 급격히 축소하고, 학습 수렴을 가속화하며, 최종 해의 품질을 향상시킨다. 셋째, PLANCK은 한 번의 작은 합성 인스턴스 학습으로 제로샷 전이 능력을 제공한다. 이를 통해 무작위 k‑XORSAT, 하이퍼그래프 Max‑Cut, 전통적인 Max‑Cut 등 다양한 NP‑hard 조합 문제에 별도 맞춤화 없이 적용할 수 있다.

문제 정의 및 MDP 형식화

우리는 p‑스핀 바닥 상태 탐색을 마코프 의사결정 과정(MDP) ((S, A, R, P, \gamma)) 로 정의한다. 문제의 자연 하이퍼그래프 (G = (V, E)) (그림 3) 에서 노드 (v_i \in V)는 스핀 변수 (\sigma_i)에 대응하고, 하이퍼엣지 (e \in E)는 p‑체 결합 (J_e = J_{i_1,i_2,\dots,i_p})를 인코딩한다. 이를 통해 에이전트는 해밀토니안을 직접 최소화하는 순차적 스핀‑플립 정책을 학습할 수 있다; 2차 형태로의 재구성이 필요 없다.

• 상태 (s_t \in S)는 현재 스핀 구성 ({\sigma_i})을 나타낸다.
• 행동 (a_t \in A)는 플립할 특정 스핀을 지정한다. 행동 후 새로운 상태 (s_{t+1}) 로 전이되며 전이 확률은 (P(s_{t+1}\mid s_t, a_t)) 로 정의된다.
• 즉시 보상 (r(s_t, a_t, s_{t+1}))는 에너지 감소량을 측정한다. 구체적으로

[ r(s_t, a_t, s_{t+1}) = 2\sigma_{a_t}!!\sum_{e\in E(a_t)}! J_e !!\sum_{k\in e\setminus{a_t}}! \sigma_k, ]

여기서 (E(a_t)={e\in E \mid a_t\in e})는 플립된 스핀을 포함하는 하이퍼엣지 집합이다. 이 보상은 현재 구성과 결합 텐서를 이용해 분석적으로 계산되므로 계산 비용이 낮고 통계적으로 편향되지 않는다. 미래 보상은 할인 계수 (\gamma) 로 가중된다.

p‑스핀 글라스 시스템의 비볼록·울퉁불퉁한 자유 에너지 지형을 효율적으로 탐색하기 위해, 우리는 각 에피소드를 전체 스핀‑업 상태에서 시작해 전체 스핀‑다운 상태에서 종료하도록 강제한다. 이 제약은 가능한 궤적 수를 크게 감소시켜 전역 탐색을 방해할 위험을 줄인다. 이를 보완하기 위해 게이지 변환(식 (2))을 활용한다. 게이지 변환은 임의의 구성 ({\sigma_i})을 전체‑업 상태로 매핑하면서 에너지를 보존한다. 우리는 이 변환을 두 가지 방식으로 이용한다.

1. 특징 수준: 학습 단계에서 데이터 증강으로 사용한다.
2. 인스턴스 수준: 추론 단계에서 경로를 재설정한다.

이러한 설계는 고정된 시작‑종료 쌍의 샘플 효율성을 유지하면서도 구성 공간을 효과적으로 탐색하게 만든다.

PLANCK의 구조

PLANCK은 정책 네트워크 (\pi_\Theta) 를 학습한다. 학습 과정(그림 3)에서는 무작위 초기화된 소규모 p‑스핀 인스턴스와 온라인으로 상호작용하여 ((s_t, a_t, r_t, s_{t+1})) 경험 튜플을 생성한다. 이 튜플들은 재생 버퍼 (B) 에 저장되고, 일정 주기로 샘플링되어 시간 차 오류(temporal‑difference error)를 최소화하는 방향으로 파라미터 (\Theta) 를 경사 하강법으로 업데이트한다. 테스트 단계(그림 4)에서는 학습된 Q‑네트워크와 시뮬레이티드 어닐링을 결합해 최적화된 p‑스핀 해를 얻는다. 시스템은 Q‑값에 기반한 신경망 가이드 스핀‑플립과 열적 샘플링을 번갈아 수행하며, 온도에 따라 선택 확률을 동적으로 조정한다.

1. 인코딩: PHGNN

우리는 PHGNN(p‑spin HyperGraph Neural Network)이라는 하이퍼그래프 신경망을 설계한다. PHGNN은 게이지 대칭을 인식하는 메시지 패싱 네트워크[40]로, p‑스핀 시스템의 복잡한 고차 상호작용을 포착한다.

• 노드 특징 (x_s = (\sigma_i, h_i) \in \mathbb{R}^2)

  • (\sigma_i \in {-1,+1}) : 현재 스핀 상태
  • (h_i = \sum_{e\in E(i)} J_e !!\sum_{k\in e\setminus{i}}! \sigma_k) : p‑체 상호작용으로부터 오는 로컬 필드

• 하이퍼엣지 특징 (x_b = J_{i_1\ldots i_p} \in \mathbb{R}^1)

이러한 특

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