LPV 시스템의 상태 지연 제어를 위한 동적 IQC 기반 상태 피드백 설계

📝 Abstract

This paper develops a new control framework for linear parameter-varying (LPV) systems with time-varying state delays by integrating parameter-dependent Lyapunov functions with integral quadratic constraints (IQCs). A novel delay-dependent state-feedback controller structure is proposed, consisting of a linear state-feedback law augmented with an additional term that captures the delay-dependent dynamics of the plant. Closed-loop stability and $\mathcal{L}_2 $-gain performance are analyzed using dynamic IQCs and parameter-dependent quadratic Lyapunov functions, leading to convex synthesis conditions that guarantee performance in terms of parameter-dependent linear matrix inequalities (LMIs). Unlike traditional delay control approaches, the proposed IQC-based framework provides a flexible and systematic methodology for handling delay effects, enabling enhanced control capability, reduced conservatism, and improved closed-loop performance.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 동기

• 시간 지연 시스템은 제조 공정, 신경망, 퍼지 시스템 등 다양한 분야에서 필연적으로 나타나며, 지연이 시스템의 불안정성과 성능 저하를 초래한다.
• 기존 연구는 정적/상수 지연에 초점을 맞추었으며, 시간‑가변 지연에 대한 분석·합성은 아직도 보수성이 크고 비볼록(BMI) 형태의 조건이 많이 존재한다.
• LPV 시스템은 파라미터 변동을 명시적으로 모델링함으로써 스케줄링 제어에 유리하지만, 지연과 파라미터 변동이 동시에 존재할 경우 기존 LKF 기반 방법은 복잡도와 보수성 사이에서 한계에 봉착한다.

2. 핵심 기여

3. 방법론 상세

1. 시스템 모델링

   • LPV 시스템을 LFT 형태로 재구성하여 지연 연산자를 별도 연산자 $S_{\tau,r}$ 로 분리.
   • 지연 연산자는 동적 IQC(다중 멀티플라이어)로 모델링, 이를 통해 입력‑출력 관계를 명시적으로 기술.

2. IQC 기반 안정성·성능 분석

   • Hard IQC와 Dissipation Inequality를 이용해 파라미터 의존형 Lyapunov 함수 $V(\rho,x)$ 를 정의.
   • Bounded Real Lemma 를 확장하여, 동적 IQC와 결합된 시스템의 $\mathcal{L}_2 $‑게인 ≤ $\gamma$ 를 보장하는 LMI를 도출.

3. 제어기 설계

   • 제어 입력 $u = F_c(\rho)

📄 Content

시간 지연 시스템은 산업 제조 공정[15], 신경망[14,27,12], 퍼지 동역학 시스템[20,6,34] 등 실용적인 공학 응용 분야에 널리 존재하기 때문에 지난 수십 년 동안 상당한 관심을 받아 왔습니다. 지연이 존재하면 종종 불안정성과 성능 저하를 초래하는데, 이는 안정성 분석 및 제어기 설계를 위한 다양한 도구 개발을 촉진시켰습니다[9,7,3].

초기 연구는 주로 일정한 지연을 갖는 시스템에 초점을 맞추었으며, 일정 지연을 갖는 선형 시불변(LTI) 시스템의 안정성 및 안정화 이론은 현재 잘 정립되어 있습니다[18,13]. 최근에는 시간 변동 지연이 큰 규모의 복합 시스템, 예를 들어 네트워크 제어 시스템[15,14,27,12]이나 수중 차량[16] 등에서 자연스럽게 발생하기 때문에 점점 더 많은 관심을 받고 있습니다. 이에 따라 시간 변동 지연을 갖는 시스템의 분석 및 합성에 대한 광범위한 연구가 진행되었으며[7,19,10,4], 다양한 안정성 및 성능 기준이 개발되었습니다[19]. 이러한 연구들에서 흔히 사용하는 접근법은 Lyapunov‑Krasovskii 함수(LKF)를 구성하여 지연 의존적인 분석 결과를 도출하는 것입니다. 보다 정교한 LKF는 보수성을 감소시키는 경향이 있지만, 보수성의 정확한 원인을 규명하고 정확도와 계산 효율성 사이의 적절한 균형을 이루는 함수형을 설계하는 일은 여전히 어려운 과제입니다.

LKF 기반 접근법은 제어 합성 단계에서도 추가적인 어려움을 야기합니다. LKF에서 유도된 대부분의 합성 조건은 Lyapunov 행렬과 제어기 결정 행렬 사이의 결합 때문에 본질적으로 비볼록이며, 흔히 이중선형 행렬 부등식(BMI) 형태를 띱니다[7,3,4]. 계산적으로 다루기 쉬운 조건을 얻기 위해서는 보조 변수나 구조적 제약을 도입하게 되는데, 이는 불가피하게 추가적인 보수성을 초래합니다. 따라서 분석 결과와 합성 결과 사이에 지속적인 격차가 존재하며, 이는 풍부한 분석 결과에도 불구하고 합성 조건이 더 보수적인 이유를 설명합니다. LPV 시스템의 경우, [30,29]는 매개변수 의존 지연을 갖는 LPV 시스템에 대한 분석 및 상태 피드백 합성 프레임워크를 제시했습니다. 여기서는 매개변수 의존 Lyapunov‑Krasovskii 함수를 이용해 안정성 및 유도 L₂ 성능 조건을 LMI 형태로 정식화함으로써 볼록한 계산을 가능하게 했습니다. 이어서 [5]는 불확실 LTI/LPV 시스템에 대해 δ‑메모리 복원 가능한 게인 스케줄링 상태 피드백 제어기를 제안했으며, 이는 메모리리스 제어기와 정확 메모리 제어기를 통합하고 시스템과 제어기 지연 사이의 불일치를 명시적으로 고려합니다.

Integral Quadratic Constraints(IQCs)은 Megretski와 Rantzer가 제안한[17] 프레임워크로, 포화, 데드존, 지연, 파라미터 불확실성, 모델링되지 않은 동역학 등 다양한 비선형성 및 불확실성을 모델링하는 대안적인 방법을 제공합니다. IQC는 불확실 동적 시스템의 안정성 분석 및 안정화에 성공적으로 적용되어 왔습니다[3,10,11,25,26]. 시간 지연 시스템에 대해 IQC 기반 방법은 지연 동역학의 입력‑출력 거동을 명시적으로 기술함으로써 LKF 기반 접근법에 비해 몇 가지 장점을 가집니다. 이러한 표현은 보수성의 근원을 보다 투명하게 드러내며, 보수성을 체계적으로 감소시킬 수 있는 메커니즘을 제공합니다. 연속·이산 시간 LTI 시스템에 대한 시간 변동 지연용 IQC 승수 라이브러리는 각각 [10,11]에서 개발되었으며, 정적 IQC, 입력‑출력 방법[8], 그리고 2차 분리 기법[1] 등 대안적인 형식도 존재합니다. 그럼에도 불구하고, 현재까지 지연 시스템에 대한 IQC 기반 연구는 주로 안정성 및 성능 분석에 초점을 맞추고 있으며, IQC 프레임워크 내에서의 제어 합성은 충분히 탐구되지 않았습니다. 예를 들어, [22]는 지연 시스템에 대한 불확실성을 IQC로 기술한 강인 LPV 분석 프레임워크를 제시했으며, 이는 강인 성능을 평가하기 위한 계산 효율적인 조건을 제공합니다. 이 접근법은 명목 LPV 유한 실수 정리(bound real lemma)를 시간 변동 파라미터에 임의로 의존하는 상태 행렬을 갖는 시스템으로 일반화함으로써 기존의 유리 의존 방법을 넘어서는 적용 범위를 확보했습니다. 또한 동적 IQC와 파라미터 의존 Lyapunov 함수를 활용해 성능을 크게 향상시켰습니다. 이러한 관찰은 본 연구의 동기를 제공하며, 우리는 IQC 방법론을 활용해 엄격한 성능 보장과 계산 효율성을 동시에 만족하는 지연 제어 합성 문제에 접근하고자 합니다. 최근 연구인 [31]은 시간 변동 상태 지연을 갖는 불확실 선형 시스템에 대해 동적 IQC 기반 정확 메모리 제어 프레임워크를 도입했으며, 지연 연산자를 직접 제어기에 포함시켜 완전 볼록한 H∞ 합성 조건을 도출하고 보수성을 감소시켰습니다. 마찬가지로 [32]는 시간 변동 입력 지연을 갖는 선형 시스템에 대한 동적 IQC 기반 정확 메모리 출력 피드백 제어 방식을 개발했으며, 메모리리스와 정확 메모리 제어기 모두에 대해 완전 볼록한 LMI 조건을 제공했습니다. 이러한 연구들은 IQC 기반 프레임워크가 분석과 합성 사이의 오랜 격차를 메우는 잠재력을 가지고 있음을 강조합니다.

본 논문은 파라미터 의존 Lyapunov 함수와 Integral Quadratic Constraints(IQC)를 통합함으로써 시간 변동 상태 지연을 갖는 LPV 시스템을 위한 새로운 제어 프레임워크를 개발합니다. 기존의 불확실 선형 시스템(상태 지연) 및 LTI 시스템(입력 지연)에 대한 IQC 기반 분석·제어 연구[31,32]를 바탕으로, 본 접근법은 파라미터 변동과 지연 효과가 근본적으로 비선형적으로 상호작용하는 LPV 환경으로 확장됩니다. 구체적으로, 우리는 LPV 시스템의 시간 변동 상태 지연에 대한 상태 피드백 지연 제어 합성 문제를 IQC 프레임워크 내에서 조사합니다. 새로운 지연 의존 제어 구조는 선형 상태 피드백 법칙에 지연 의존 동역학을 명시적으로 포착하는 추가 항을 포함합니다. 이 제어 체계 하에서, 동적 IQC와 파라미터 의존 2차 Lyapunov 함수를 이용해 유계 실수 정리를 적용함으로써 폐루프 안정성 및 L₂-게인 성능을 기술합니다. 결과적으로, 파라미터 의존 선형 행렬 부등식(LMI) 형태로 지정된, 지정된 L₂-게인 성능을 보장하는 볼록 합성 조건을 도출합니다.

전통적인 Lyapunov‑Krasovskii 함수 기반 지연 분석·제어 접근법과 달리, 제안된 IQC 기반 프레임워크는 지연 효과를 다루는 근본적으로 다른 관점을 제공합니다. IQC의 유연성과 파라미터 의존 Lyapunov 함수의 결합을 통해, 본 방법은 제어 능력을 강화하고 보수성을 감소시키며 폐루프 성능을 향상시킵니다. 시간 지연 LPV 시스템에 대한 분석·합성을 모두 볼록 최적화로 수행할 수 있는 체계적이고 강력한 접근법을 제공함으로써, 기존 지연 제어 방법에 대한 설득력 있는 대안을 제시하고 보다 진보된 설계로 나아갈 길을 열어줍니다.

본 연구 결과는 IQC와 소산 부등식[21]을 이용한 견고한 안정성 분석 프레임워크에 기반하고 있음을 강조합니다. Kalman‑Yakubovich‑Popov(KYP) 정리 기반의 대안적인 IQC 합성 조건도 존재하지만[17,25,26], KYP 기반 방법에 비해 소산 부등식 프레임워크는 IQC 기반 견고 분석·합성에 몇 가지 독특한 장점을 제공합니다. 두 접근법 간의 상세 비교는 본 논문의 범위를 벗어납니다.

표기법

• ℝ, ℂ는 각각 실수·복소수 집합을 나타냅니다.
• ℝ^{m×n}(ℂ^{m×n})는 실수(복소수) m×n 행렬 집합이며, ℝ^{n}(ℂ^{n})는 실수(복소수) n×1 벡터 집합을 의미합니다.
• I_n은 차원 n의 단위 행렬, S_n은 실수 대칭 n×n 행렬 집합, S_n^{+}는 양정치 행렬 집합을 나타냅니다.
• s∈ℂ일 때 s̅는 s의 복소켤레이며, M∈ℂ^{m×n}에 대해 M^{T}는 전치, M^{*}는 복소켤레 전치를 의미합니다.
• RL_∞는 실계수를 갖는 적절한 유리 함수이며 허수축에 극점이 없습니다. RH_∞는 RL_∞의 부분집합으로, 폐우반평면에서 해석적인 함수들을 포함합니다. RL_∞^{m×n}, RH_∞^{m×n}는 각각 전송 행렬 집합을 의미합니다.
• G∈RL_∞^{m×n}에 대해 파라-에르미트 켤레는 G^{∼}(s)=G^{*}(-s) 로 정의됩니다.
• u_T(t)=u(t) (t≤T), 그 외에는 0인 절단 신호를 의미하고, L_{2e}^{+}는 모든 T≥0에 대해 u_T∈L_{2}^{+}인 함수들의 확장 공간을 뜻합니다.

논문 구성

• Section 2: IQC에 대한 간략한 리뷰.
• Section 3: 동적 IQC를 이용한 상태 지연 시스템의 견고 안정성 분석을 위한 유계 실수 정리 제시 및 문제 정의.
• Section 4: 지연 제어 합성 조건 도출.
• Section 5: 제안된 설계 방법의 효과와 장점을 보여주는 수치 예제.
• Section 6: 결론.

2. Integral Quadratic Constraints (IQCs) 개요

본 절에서는 본 논문의 전개에 기초가 되는 IQC의 핵심 개념들을 간략히 정리합니다.

정수형 유리 함수 Π(s) (곱셈자라 함)는 다음과 같이 인수분해될 수 있습니다.

[ \Pi(s)=\Psi^{\sim}(s)W\Psi(s) ]

여기서 ( \Psi )는 안정하고 최소 위상인 시스템이며, ( W )는 실대칭 행렬입니다. 신호 ( w\in L_{2w}^{e+} )와 ( v\in L_{2v}^{e+} )가

[ \int_{0}^{T} \begin{bmatrix} v(t) \ w(t) \end{bmatrix}^{!T} \Pi!\left(\frac{d}{dt}\right) \begin{bmatrix} v(t) \ w(t) \end{bmatrix} dt \ge 0,\qquad \forall T\ge0 ]

을 만족하면, ((v,w))는 Π가 정의하는 IQC를 만족한다고 합니다. 위 부

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