“드리프트가 있는 비선형 시스템을 위한 기하학적 피드백 안정화: 로그 좌표와 도달 집합 기반 새로운 접근법”

📝 Abstract

The paper presents an approach to the construction of stabilizing feedback for strongly nonlinear systems. The class of systems of interest includes systems with drift which are affine in control and which cannot be stabilized by continuous state feedback. The approach is independent of the selection of a Lyapunov type function, but requires the solution of a nonlinear programming ‘satisficing problem’ stated in terms of the logarithmic coordinates of flows. As opposed to other approaches, point-to-point steering is not required to achieve asymptotic stability. Instead, the flow of the controlled system is required to intersect periodically a certain reachable set in the space of the logarithmic coordinates.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 문제 정의

• 드리프트가 있는 비선형 시스템은 Brockett의 필요조건을 만족하지 않아 연속적인 상태 피드백으로는 안정화가 불가능한 경우가 많다.
• 기존 접근법은
  1. 시간‑가변 개방‑루프 제어 혹은
  2. 불연속 피드백에 의존하거나,
  3. **특정 구조(예: 드리프트리스, 혹은 특정 Lie‑대수 구조)**에 제한된 설계법을 사용한다.
• 이러한 제한을 극복하고 일반적인 형태(1)의 시스템에 적용 가능한 방법론이 절실히 요구된다.

2. 핵심 아이디어

1. 시스템을 오른쪽 불변(right‑invariant) 형태의 nilpotent Lie 그룹 (H) 위에 재구성한다.
   • Palais 정리를 이용해 원래 시스템 (\Sigma)와 Lie 그룹 (H) 사이에 전역적인 동형 사상이 존재함을 보인다.
2. 로그 좌표(γ‑coordinates) 를 도입해 흐름을 지수 곱(product of exponentials) 형태로 표현한다.
   • 이 좌표계는 시스템의 비선형 동역학을 선형적인 좌표 변환 문제로 전환한다.
3. 도달 집합 (R_F(T,x)) 을 정의하고, 주기적인 교차 조건을 만족하도록 피드백을 설계한다.
   • 점대점 조향이 아니라 “도달 집합을 주기적으로 통과”하는 것이 충분함을 증명한다.
4. 비선형 프로그래밍 ‘만족 문제’ 를 통해 시간‑가변 피드백을 계산한다.
   • Lyapunov 함수는 필수적이지 않으며, 대신 양의 정의와 경계조건만을 만족하는 임의의 함수 (V) 를 사용한다.

3. 주요 기여

📄 Content

논문 요약 및 주요 기여에 대한 한글 번역 (2000자 이상)

본 논문은 다음과 같은 일반적인 형태를 갖는 드리프트(drift)가 존재하는 시스템에 대한 피드백 안정화 제어 설계 방법을 제시한다.

[ \dot x(t)=f_{0}(x(t))+\sum_{i=1}^{m}u_{i}(t)f_{i}(x(t)),\qquad x(t)\in\mathbb R^{n},; u=[u_{1},\dots ,u_{m}]^{\mathsf T}, ]

여기서 (x(t))는 (\mathbb R^{n}) 위에서 진화하는 상태이며, (u_{i}\in\mathbb R)는 제어 입력, (m<n)이다. (f_{i};(i=0,1,\dots ,m))는 (\mathbb R^{n}) 위에서 정의된 실해석(analytic) 벡터장이다.

1. 연구 배경

드리프트가 존재하는 시스템에 대해 연속적인 안정화 상태 피드백 법칙이 존재하려면 Brockett의 필요조건을 만족해야 한다[2]. 그러나 (1)식이 이 조건을 위반하는 경우, 피드백 안정화는 매우 어려워진다. 이러한 시스템은 우주에서의 강체 제어, 가속도 제약을 갖는 시스템, 그리고 다양한 언액추에이티드(underactuated) 동역학 시스템 등 여러 실제 응용 분야에서 나타난다. 따라서 이와 같은 시스템에 대한 일반적인 안정화 접근법을 개발하는 일은 중요한 연구 과제로 남아 있다.

드리프트가 없는 시스템에 비해, 드리프트가 있는 시스템에 대한 안정화 방법은 아직까지 상대적으로 적다. 드리프트가 존재하면, 특히 비재발(non‑recurrent) 혹은 불안정한 드리프트가 존재할 경우, 시스템이 드리프트 벡터장 방향으로 움직이는 것을 상쇄하기 위해 시스템의 제어 가능성(lie‑controllability) 대수에 포함된 적절히 선택된 리 브라켓(Lie bracket) 벡터장 방향으로의 움직임을 강제해야 한다. 이러한 간접적인 움직임은 설계가 복잡하고, 시간‑가변 개방 루프 제어나 불연속 상태 피드백을 통해서만 구현될 수 있다.

문헌에 보고된 대부분의 드리프트가 있는 시스템에 대한 피드백 안정화 방법은 특정 구조를 갖는 시스템에 한정되며, 해당 모델에만 적용 가능한 피드백 법칙을 제공한다[1,3,9,13,17,20,22,23]. 보다 일반적인 피드백 설계 방법론은 [10,7,15,18,19]에서 제시되었으며, 이들은 모두 형태 (1)의 시스템에 적용 가능하도록 고안되었다.

• **[10]**에서는 조각별 상수(piece‑wise constant) 제어를 이용한 안정화 절차를 최초로 제시했으며, 문제의 난이도를 명확히 보여준다.
• **[7]**에서는 [10]의 방법을 이용해 언액추에이티드 우주선의 자세와 각속도를 원점으로 수렴시키는 비동기적(asy‑mptotic) 제어를 구현하였다.
• **[15]**에서는 리 군(Lie group) 상의 일반적인 평균화(averaging) 기법을 자세 제어에 성공적으로 적용하였다.
• **[18]**에서는 원 시스템과 그 리 대수 확장 시스템의 흐름을 로그 좌표(logarithmic coordinates)로 표현한 뒤, 궤적 가로채기(trajectory interception) 문제의 해를 분석적으로 구해야 하는데, 이는 일반적으로 매우 어렵다.
• **[19]**는 [5,6]의 아이디어를 차용해 드리프트가 없는 시스템에 적용되는 방법을 드리프트가 있는 경우에도 확장했으며, 주기적인 시간‑가변 임계 안정화 제어와 실시간 보정 항을 결합해 원점으로의 점근 수렴을 보장한다.

2. 본 논문의 기여

위와 같은 배경 하에, 본 논문은 다음과 같은 주요 기여를 한다.

1. 도달 가능 집합(reachable set) 기반 안정화 접근법

   • 시스템 Σ를 해석적이며 단순 연결된(nilpotent) 리 군 (H) 위의 오른쪽 불변(right‑invariant) 시스템 (\Sigma_{H}) 로 재구성한다.
   • 재구성된 시스템에 대해, 제어 가능한 “바람직한 상태 집합”을 명시적으로 계산한다.
   • 시간‑가변 피드백 제어의 비선형 프로그래밍 문제를 풀어, 개방 루프 시스템 Σ를 해당 도달 가능 집합으로 유도한다.
   • 이 과정은 모델 미분 방정식의 수치 적분을 필요로 하지 않으며, Lyapunov 함수의 선택에도 의존하지 않는다.

2. 점‑대‑점(point‑to‑point) 조향이 필요 없는 안정성 보장

   • 기존 방법[10,7,14,18,19]과 달리, 개별 상태를 정확히 목표점으로 이동시키는 것이 아니라, 시스템 흐름이 로그 좌표 공간에서 일정한 도달 가능 집합을 주기적으로 교차하도록 설계한다.
   • 이로써 선형화가 제어 불가능(uncontrollable)한 시스템에도 적용 가능하며, Lyapunov 점근 안정성(Asymptotic stability)을 엄밀히 증명한다.

3. 제어 불연속성 감소 및 부드러운 시간‑가변 피드백 설계 가능성

   • 바람직한 상태 집합이 일반적으로 크기 때문에, 시스템이 해당 집합을 주기적으로 통과하도록 하는 조건만 만족하면 충분하다.
   • 따라서 제어 불연속성(discontinuities)의 수를 줄이면서, 부드러운 시간‑가변 피드백을 설계할 수 있는 기반을 제공한다.

4. 복잡한 예제와 계산 가능성 입증

   • 저자들이 최근 개발한 Maple 기반 심볼릭 리 대수 계산 패키지를 활용해, 비(非)니몰포텐트(nonnilpotent) 시스템까지 확장 가능한 복잡한 예제를 제시한다.

3. 기존 방법과의 비교

• **[10,7,15]**와는 달리, 본 접근법은 원 시스템과 확장 시스템의 궤적 가로채기 문제를 정확히 해석적으로 풀 필요가 없다.
• **[18]**에서 요구되는 로그 좌표 흐름의 정확한 해를 구하는 과정을 회피한다.
• **[19]**에서 필요로 하는 Lyapunov 함수값 및 그라디언트의 실시간 계산 비용을 크게 절감한다.
• 또한, 상태 차원이 크거나 제어 가능 리 대수 차원이 큰 시스템에도 비교적 손쉽게 적용할 수 있다.

4. 문제 정의

목표: 시간‑가변 제어 법칙 (u(t)) 를 구성하여, 시스템 Σ를 전역적으로 원점 ((x=0)) 으로 안정화한다.

양의 정수 집합을 (\mathbb N), 비음수 실수 집합을 (\mathbb R_{+}) 로 표기한다.
벡터장 집합 (F:={f_{0},\dots ,f_{m}}) 에 대해, (L(F)) 은 (F) 로부터 생성되는 리 대수, (L_{x}(F)) 은 점 (x) 에서의 리 대수이다.

모든 벡터장은 실해석이며 완비(complete)하다고 가정한다. 즉, 임의의 벡터장 (f) 에 대해 전역적으로 정의된 1‑parameter 변환군 (\exp(tf)) 가 존재한다.

시스템 Σ의 해를 (x^{\circ}(t,x,u)) 로 표기한다((t\ge0)).

다음 가정들을 전제한다.

• H1: (f_{0},\dots ,f_{m}) 은 실해석, 완비, 선형 독립이며 (f_{0}(0)=0) 이다. 이들은 차원 (r\ge n+1) 인 니몰포텐트(nilpotent) 리 대수 (L(F)) 를 생성한다.
• H2: Σ는 강제 제어 가능(strongly controllable) 하다. 즉, 任意의 시간 (T>0) 와 두 점 (x_{0},x_{f}\in\mathbb R^{n}) 에 대해, (T) 이하의 시간 안에 조각별 상수 제어 (u\in P_{m}) 로 (x_{f}) 로 이동시킬 수 있다.
• H3: 임의의 Lyapunov‑type 함수 (V:\mathbb R^{n}\to\mathbb R_{+}) 가 다음을 만족한다.
  • (a) (V) 는 두 번 연속 미분 가능하고 (V(0)=0). 또한 상수 (\zeta>0) 가 존재하여 (|\nabla V(x)|\ge \zeta|x|) 이다.
  • (b) (V) 는 양정(positive‑definite)이며 감소(decrescent)한다. 즉, 연속적이고 엄격히 증가하는 함수 (\alpha,\beta:\mathbb R_{+}\to\mathbb R_{+}) 가 존재하여
    [ \alpha(|x|)\le V(x)\le \beta(|x|),\qquad \forall x\in\mathbb R^{n}. ]

(V) 는 전통적인 Lyapunov 함수와 달리, 안정화된 시스템의 궤적을 따라 순간적으로 증가할 수도 있다. 그러나 이후에도 편의상 “Lyapunov 함수” 라고 부른다.

5. 리 군 재구성 및 도달 가능 집합

(R_{F}(T,x)) 를 시간 (T) 에서 조각별 상수 제어에 의해 도달 가능한 상태 집합이라 하자. 강제 제어 가능성으로부터 접근성(accessibility) 조건이 만족됨을 알 수 있다:

[ \operatorname{span}{f_{0}(x),\dots ,f_{m}(x)}=T_{x}\mathbb R^{n}. ]

다음과 같이 diffeomorphism 군 (\operatorname{diff}(\mathbb R^{n})) 의 부분집합을 정의한다.

[ G:=\big\langle \exp(tf_{0})\circ\exp(tf_{1})\circ\cdots\circ\exp(tf_{m})\mid t\in\mathbb R\big\rangle . ]

강제 제어 가능성 가정에 의해, (G) 와 그 시간 제한 버전 (G_{T}) 의 궤도(orbit) (\mathcal G_{x},\mathcal G^{T}_{x}) 가 각각 (x) 를 통과한다. Palais 정리에 의해 (G) 는 해석적이며 단순 연결된 니몰포텐트 리 군 (H) 로 동형이며, 그 리 대수는 (L(F)) 와 동형이다.

이 정리를 이용하면 시스템 Σ를 오른쪽 불변 시스템 (\Sigma_{H}) 로 다음과 같이 재

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