투사‑프리 전력 제한 드롭 제어를 통한 다중 컨버터 시스템의 안정성 및 수렴성 분석
📝 Abstract
In this paper, we propose a projection-free power-limiting droop control for grid-connected power electronics and an associated constrained flow problem. In contrast to projection-based power-limiting droop control, the novel projection-free power-limiting droop control results in networked dynamics that are semi-globally exponentially stable with respect to the set of optimizers of the constrained flow problem. Under a change to edge coordinates, the overall networked dynamics arising from projection-free power-limiting droop control coincide with the projection-free primal-dual dynamics associated with an augmented Lagrangian of the constrained flow problem. Leveraging this result, we (i) provide a bound on the convergence rate of the projection-free networked dynamics, (ii) propose a tuning method for controller parameters to improve the bound on the convergence rate, and (iii) analyze the relationship of the bound on the convergence rate and connectivity of the network. Finally, the analytical results are illustrated using an Electromagnetic transient (EMT) simulation.
💡 Analysis
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1. 연구 배경 및 필요성
- 전력 시스템의 패러다임 전환 : 동기식 발전기에서 전력 전자 기반 재생에너지·ESS로 전환하면서, 초고속(ms‑s) 응답과 전력·전류 제한이라는 새로운 제약이 등장한다.
- 그리드‑포밍(grid‑forming) 컨버터는 미래 전력망의 핵심으로 기대되지만, 기존 드롭, VSM, dVOC 등은 제한(전력·전류·전압) 고려가 미흡하다.
- 기존 연구들은 전류 제한에 집중했으며, 전력 제한을 다루는 작업은 드물다(예:
📄 Content
동기식 기계 기반 전력 생산에서 전력 전자 인터페이스 기반 발전 및 에너지 저장으로의 지속적인 전환은 전력 시스템 주파수 동역학에 큰 변화를 초래하고 있습니다. 특히, 그리드에 연결된 전력 전자는 전통적인 동기식 발전기에 비해 응답 속도가 매우 빠르며(밀리초~초 수준) 전력·전류 한계와 같은 자원 제약을 갖습니다. 이러한 특성 때문에 재생 가능 에너지 자원을 대규모 전력 시스템에 통합하면 기존의 운영·제어 패러다임이 크게 도전받으며 시스템 안정성이 위협받게 됩니다[1], [2]. 예를 들어, 신흥 전력 시스템의 안정성 분석에서는 전력 변환기의 제약과 재생 가능 발전 자원의 전력 제한 등을 반드시 고려해야 합니다.
현재 대부분의 재생 가능 에너지는 DC/AC 전압원 변환기(VSC) 를 통해 연결되며, 그리드‑팔로잉(grid‑following) 제어 방식을 사용합니다. 이 제어 방식은 안정적이고 서서히 변하는 AC 전압(크기·주파수)을 전제조건으로 하며, 외란이 발생하면 그리드 안정성을 저해할 수 있습니다[3]. 그리드‑팔로잉은 변환기 전류·전력을 직접 제어하므로 전력 제한을 적용하는 것이 비교적 간단합니다. 반면, 그리드‑포밍(grid‑forming) 변환기는 미래 전력 시스템의 핵심으로 기대되며, 그리드 단자에서 안정적이고 자체 동기화된 AC 전압 동역학을 제공해야 합니다. 기존에 널리 연구된 그리드‑포밍 제어 방식으로는 드루프 제어[4], 가상 동기 기계(VSM) 제어[5], 디스패처블 가상 발진기 제어(dVOC)[6] 등이 있으나, 이들 분석에서는 제약 조건을 충분히 반영하지 못하고 있습니다[7]‑[11].
실제 적용 관점에서 보면, 자원·변환기 제약은 매우 중요한 문제입니다. 제약을 고려한 그리드‑포밍 제어에 관한 연구는 주로 전류 제한에 초점을 맞추고 있으며[12], 전압 제한[13]이나 전력 제한[14]을 다룬 연구는 드물다. 특히, 전력 제한을 포함한 드루프 제어는 전통적인 드루프 제어에 비례‑적분(PI) 제어기를 추가하여 변환기가 전력 한계에 도달했을 때 작동하도록 설계됩니다[14].
연속시간 프라임‑듀얼(primal‑dual) 그래디언트 하강 동역학[15]은 자동 발전 제어(AGC)·경제 dispatch[16]와 같은 다중 기계 시스템의 시스템‑레벨 제어를 연구하는 데 널리 활용되었습니다. 또한, 프라임‑듀얼 동역학은 새로운 분산 전력 흐름 제어 설계에도 이용되었습니다[17]. 이들 연구는 주로 2차·3차 전력 시스템 제어에서 발생하는 동등식 제약(equalities) 최적화 문제에 초점을 맞추고 있습니다.
본 논문은 제약이 없는(projection‑free) 프라임‑듀얼 동역학[18]을 활용하여, 그리드에 연결된 전력 전자를 위한 새로운 분산형 전력 제한 1차 제어를 개발하고, 이로 인해 발생하는 다중 변환기 시스템의 주파수 동역학을 분석합니다. 제안하는 제약‑없는 전력 제한 드루프 제어는 기존 전력 제한 드루프 제어[14], [19]와는 구별되며, 연관된 제약 네트워크 흐름 문제의 최적 해에 대한 수렴 속도에 대한 엄격한 경계를 제공할 수 있습니다.
전통적인 그리드‑포밍 드루프 제어[4]와 전력 제한 드루프 제어[14], [19]는 전력 변환기로 연결된 자원의 활동 전력 제한을 명시적으로 고려합니다. 전력 제한 드루프 제어를 적용한 VSC 네트워크의 주파수 동역학은 투사된 동역학(projected dynamical system)[19]으로 표현될 수 있습니다. 이러한 네트워크 동역학의 정상 상태를 규정하기 위해서는 제약 네트워크 흐름 문제(constrained network flow problem) 를 설정할 수 있는데, 이 문제에 대한 프라임‑듀얼 동역학은 네트워크 동역학과는 별개이며 로컬 정보만으로 구현할 수 없습니다[19]. 그러나 에지 좌표(edge coordinates)[20]로 변환하면, 투사된 네트워크 동역학의 Carathéodory 해가 KKT(Karush‑Kuhn‑Tucker) 점에 대해 점근적으로 안정함을 보일 수 있습니다. 구체적으로, 에지 좌표에서는 제약 네트워크 흐름 문제의 프라임‑듀얼 동역학과 투사된 네트워크 동역학이 일치하므로, 이를 프라임‑듀얼 동역학으로 해석하고 기존의 안정성 결과[15]를 적용할 수 있습니다. 결과적으로, 노드 좌표에서의 네트워크 동역학은 해당 제약 흐름 문제의 최적점 집합에 대해 **전역 점근적 안정성(global asymptotic stability)**을 갖게 되며, 이는 전력 제한 그리드‑포밍 드루프 제어를 사용하는 변환기 네트워크의 주파수 안정성과 동기화를 직접 입증합니다. 수렴 후에는 변환기들이 전력 공유(power‑sharing) 특성을 보이며, 이는 제약이 없는 드루프 제어에서 관찰되는 전력 공유와 유사합니다[21].
하지만 전력 제한 드루프 제어는 **불연속성(discontinuity)**을 가지고 있어 수렴 속도에 대한 분석이 어려우며, 기존 연구[19]에서는 수렴 속도를 제시하지 않았습니다. 일반적인 프라임‑듀얼 그래디언트 하강은 불연속 동역학으로 모델링되지만(예: [15]), 그 자체로는 수렴 속도에 대한 경계를 제공하지 못합니다. 실용적인 관점에서 수렴 속도에 대한 경계는 제어 파라미터 튜닝·성능 평가에 필수적입니다. 이를 해결하기 위해 증강 라그랑지안(augmented Lagrangian) 기반의 연속 프라임‑듀얼 동역학이 도입되었으며, 이는 **지수적 안정성(exponential stability)**과 명확한 수렴 속도 경계를 보장합니다[18], [22].
주요 기여
- 제약‑없는 프라임‑듀얼 동역학[22]을 이용해 제약‑없는 전력 제한 드루프 제어를 설계하고, 이 제어가 생성하는 다중 변환기 주파수 네트워크 동역학이 KKT 점에 대해 **반전역 지수적 안정성(semi‑global exponential stability)**을 갖도록 증명합니다.
- 네트워크 동역학의 수렴 속도에 대한 명시적 경계를 도출하고, 제어 이득·네트워크 파라미터(연결성, 최대 노드 차수, 엣지 가중치 등)가 수렴 속도에 미치는 영향을 분석합니다.
- **활성 제약 집합(active constraint set)**과 활성 제약 노드 그래프를 정의하고, 제약 네트워크 흐름 문제의 제약 Jacobian을 활성 제약 노드 그래프의 라플라시안(Laplacian)과 연결함으로써, 수렴 속도 경계를 라플라시안의 최소 고유값과 제어 이득에 대한 함수로 표현합니다.
- 이러한 경계를 활용해 제어 이득 튜닝 방안을 제시하고, 그래프에 추가적인 엣지를 삽입(전송선로 추가)함으로써 연결성을 높이면 수렴 속도가 개선될 수 있음을 보입니다.
- IEEE 9‑버스 시스템을 대상으로 한 전자기 과도(EMT) 시뮬레이션을 통해 제안된 제어 튜닝이 실제 성능을 향상시키는 것을 검증합니다.
기호 및 기본 정의
- ℝ, ℕ : 실수·자연수 집합, ℝ≥0 := {x∈ℝ | x≥0}.
- Sⁿ≻0, Sⁿ⪰0 : 실수 양정(positive definite)·양반정(positive semidefinite) 행렬 집합.
- ‖x‖ : 유클리드 노름, ‖x‖_C := min_{z∈C}‖z−x‖ (점‑집합 거리).
- Iₙ, 0ₙ×ₘ, 0ₙ, 1ₙ : n‑차 항등행렬, 영 행렬, 영·1 벡터.
- |X| : 이산 집합 X의 원소 개수, ⊗ : 크로네커 곱.
- φₓ(t, x₀) : d/dt x = f(x) 의 (Carathéodory) 해, 초기조건 x₀에서 t≥0 로의 해.
시스템 모델
AC 전력 네트워크
단순하고 연결된 무방향 그래프 G := {𝒩, ℰ, 𝒲} 로 모델링합니다.
- ℰ = 𝒩×𝒩 : |ℰ| = e 개의 전송선,
- 𝒩 : |𝒩| = n 개의 전압원 변환기(VSC),
- 𝒲 = {w₁,…,w_e}, w_i∈ℝ>0 : 전송선 리액턴스(전도율) 모델링.
네트워크는 **무손실(lossless)**이며 Kron‑reduced 그래프 형태로 가정합니다. 각 변환기 i∈𝒩는 위상각 θ_i∈ℝ 를 갖는 AC 전압원을 제공하고, P_i∈ℝ 라는 유효 전력을 주입합니다. 또한, 각 i에 대해 P_{L,i}∈ℝ 로 표시되는 부하 전력이 존재하며, 이는 Kron‑reduction 과정에서 사라진 부하 노드에서 변환기 노드로 매핑된 값입니다.
선형화된 전력 흐름
정격 전압 크기와 위상각 차이가 0인 상태에서 AC 전력 흐름 방정식을 선형화하면 변환기의 전력 주입은
[ P = L,\theta + P_L ]
와 같이 표현됩니다. 여기서
- L := B W Bᵀ : 그래프 G의 라플라시안,
- B∈{-1,0,1}^{n×e} : 방향성 인시던스 행렬,
- W = diag{w_i}_{i=1}^e ,
- θ = (θ₁,…,θ_n)ᵀ ∈ ℝⁿ ,
- P_L = (P_{L,1},…,P_{L,n})ᵀ ∈ ℝⁿ ,
- P = (P₁,…,P_n)ᵀ ∈ ℝⁿ .
목표
각 변환기 i의 전력 주입 P_i 를 주파수 \dot{θ}_i 로 매핑하는 분산형 피드백 제어 를 설계하여, 시스템이 다음과 같은 제약 네트워크 흐름 문제(CFP) 의 해에 수렴하도록 합니다.
[ \begin{aligned} \min_{\theta,P};& \frac12 (\theta^\top M \theta) - P^{\star\top} \theta \ \text{s.t. } & P_\ell \le L\theta + P_L \le P_u ,\ & P = L\theta + P_L . \end{aligned} \tag{3} ]
- M = diag{m_i}_{i=1}^n ≻ 0 : 드루프 이득 행렬,
- **P^{\star} = (P^{\star}_1,…,P^{\star
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