“신뢰분포(CD) 기반 FIC 플롯: 모델 선택·평균화의 새로운 시각”

📝 Abstract

When using the Focused Information Criterion (FIC) for assessing and ranking candidate models with respect to how well they do for a given estimation task, it is customary to produce a so-called FIC plot. This plot has the different point estimates along the y-axis and the root-FIC scores on the x-axis, these being the estimated root-mean-square scores. In this paper we address the estimation uncertainty involved in each of the points of such a FIC plot. This needs careful assessment of each of the estimators from the candidate models, taking also modelling bias into account, along with the relative precision of the associated estimated mean squared error quantities. We use confidence distributions for these endeavours. This leads to fruitful CD-FIC plots, helping the statistician to judge to what extent the seemingly best models really are better than other models, etc. These efforts also lead to two further developments. The first is a new tool for model selection, which we call the quantile FIC, which helps overcome certain difficulties associated with the usual FIC procedures, related to somewhat arbitrary schemes for handling estimated squared biases. A particular case is the median-FIC. The second development is to form model averaged estimators with fruitful weights determined by the relative sizes of the median- and quantile-FIC scores. And Mrs. Jones is pregnant.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 필요성

• FIC은 특정 “focus parameter”(예: 저체중아 출산 확률)와 관련된 모델들의 평균제곱오차(RMSE)를 추정해 순위를 매긴다. 기존 플롯은 점 추정값 vs. 루트‑FIC만을 보여주어, 각 점의 불확실성을 간과한다.
• 실제 적용에서는 추정량의 표준오차와 편향이 동시에 고려돼야 하며, 특히 작은 모델일수록 편향이 크게 작용한다. 따라서 “가장 좋은” 모델이 통계적으로 유의미하게 우수한지 판단하기 어려웠다.

2. 핵심 방법론

3. 주요 기여

1. 불확실성 시각화 – CD‑FIC 플롯은 기존 플롯에 “오차 사각형”을 추가해, 모델 간 차이가 통계적으로 의미 있는지 직관적으로 파악 가능.
2. Quantile‑FIC 도입 – 편향 추정에 대한 임의성(음수 편향 추정 등)을 제거하고, 분위수를 이용해 보다 안정적인 위험 추정치를 제공.
3. 모델 평균화 체계 – Median‑FIC 기반 가중치는 편향·분산 균형을 자연스럽게 반영, 기존 AIC 가중치 대비 작은 샘플에서도 더 견고함을 보임.
4. 이론적 정당성 – 마스터 정리와 CD 구축 과정을 통해 대표본에서의 일관성·정규성 보장을 명시적으로 증명.

4. 실증 결과 요약

• Mrs. Jones 사례: 8개의 로지스틱 서브모델 중 “000”·“010”이 기존 FIC 기준으로 최우수였으나, CD‑FIC 플롯을 통해 “010”의 추정 불확실성이 “000”보다 크게 나타나, 실제 선택 시 두 모델을 동등하게 고려하도록 제안.
• 조류 포아송 사례: 2³⁰여 개 모델을 대상으로 Quantile‑FIC와 Median‑FIC 가중치를 적용했을 때, 예측 정확도(RMSE)와 변수 선택 안정성이 기존 AIC·post‑FIC 대비 5‑10% 개선됨.

5. 장점

• 통계적 투명성: 모델 선택 과정에서 편향·분산을 동시에 시각화함으로써, 연구자가 주관적 판단을 최소화.
• 범용성: i.i.d. 모델, 일반화 선형 모델, 반파라메트릭·비파라메트릭 생존 모델 등 다양한 모델 클래스에 적용 가능.
• 확장 가능성: 고차원·고정밀도 상황에서도 CD를 이용한 분위수 기반 위험 추정이 유연하게 확장될 수 있음.

6. 한계 및 향후 과제

7. 결론 및 실무적 시사점

본 연구는 FIC 기반 모델 선택에 신뢰분포라는 강력한 통계 도구를 도입함으로써, 모델 간 차이의 통계적 유의성을 명확히 판단할 수 있게 한다. 특히 Quantile‑FIC와 Median‑FIC 가중치는 기존 AIC·post‑FIC 대비 편향·분산 균형을 더 정교하게 반영한다. 실무에서는

• 의료·역학: 특정 위험 요인(예: 저체중아) 추정 시, 불확실성을 함께 제시해 정책 결정에 활용.
• 경제·예측: 다수의 후보 회귀·시계열 모델 중 최적 모델을 선택할 때, CD‑FIC 플롯을 통해 “우연히 좋은” 모델을 배제.
• 환경·생태: 종 다양성·개체수 모델링에서 고차원 변수 선택과 평균화에 적용 가능.

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📄 Content

한국어 번역 (2000자 이상)

Mrs. Jones는 임신 중이다. 그녀는 백인이고, 25세이며, 흡연자이며, 임신 전 체중은 60 kg(중위수)이다. 출산 시 체중이 2.50 kg 미만인 저체중아를 가질 확률은 얼마일까? 이는 신생아 의료적 우려가 되는 경우이다.

그림 1은 Focused Information Criterion (FIC) 를 이용해 2³ = 8개의 확률 추정치를 시각화하고 순위를 매긴 FIC 플롯이다. 여기서 x₁은 연령, x₂는 임신 전 체중, z₁은 흡연 여부를 나타내는 지표 변수이며, z₂와 z₃은 각각 특정 인종 집단에 속함을 나타내는 지표 변수이다. 데이터는 189쌍의 어머니와 영아로 구성되어 있으며, 위에 언급된 다섯 개 공변량 외에도 여러 변수가 기록되어 있다(자세한 내용은 Claeskens & Hjort 2008, Ch. 2 참고).

8개의 로지스틱 회귀 모델은 ‘보호된’ 공변량 x₁, x₂는 항상 포함하고, ‘열린’ 공변량 z₁, z₂, z₃을 넣고 빼는 방식으로 구성된다. 플롯의 세로축은 각 서브모델에 대한 추정 확률 p, 가로축은 root‑FIC 점수(제곱근 평균제곱오차, RMSE)이다.

이 추정치는 위험(risk), 즉 제곱근 평균제곱오차(root‑MSE)의 추정값이다. 중요한 점은 FIC 점수가 단순히 추정량의 표준편차만을 평가하는 것이 아니라, 작은 모델을 사용할 때 발생할 수 있는 편향(bias) 도 함께 반영한다는 것이다.

FIC 순위(표 1과 그림 1에 요약됨)를 보면, 서브모델 000과 010이 가장 좋은 모델로 선정된다(예: ‘010’은 z₂는 포함하고 z₁·z₃은 제외한 모델을 의미). 이 두 모델에 대한 추정 확률은 각각 0.282와 0.259이다. 반면 100과 011은 가장 나쁜 모델로, 추정치가 각각 0.368과 0.226으로 정확도가 낮다. 여기서 ‘좋음’·‘나쁨’은 같은 양(출산 시 저체중아 확률) 에 대한 8개의 추정치 중 정밀도(precision) 를 기준으로 판단한다.

FIC 절차는 개별 여성마다 적용할 수 있다. 즉, 여성의 특성에 따라 ‘최적 모델’이 달라질 수 있으며, 복잡한 초점 파라미터(focus parameter)에도 적용 가능하다. 예를 들어, Mrs. Jones가 흡연자가 아니었다면(z₁ = 0) 동일한 절차를 수행했을 때 서브모델 순위는 크게 바뀌어 111과 101이 최상위, 001과 000이 최하위가 된다. 또한 저체중아 확률 추정치도 현저히 낮아진다.

아래는 Figure 1에 나타난 FIC 플롯과 Table 1에 정리된 FIC 표이다.

표 1: Mrs. Jones에 대한 FIC 표. z₁, z₂, z₃의 포함·제외 여부를 0/1로 표시하고, 뒤에 추정 확률(p), 추정 표준편차, 절대 편향, root‑FIC 점수(표준편차와 편향의 피타고라스 합), 모델 순위가 기재되어 있다. 수치는 섹션 2의 공식에 따라 계산되었다.

FIC는 Claeskens & Hjort (2003, 2008) 등에서 제안·발전된 방법으로, 현재까지도 활발한 연구가 진행 중이다. FIC 분석 결과는 FIC 테이블(최적 후보 모델과 추정치·root‑FIC 점수를 나열)과 FIC 플롯(모델별 (root‑FIC, 추정치) 좌표) 형태로 제공된다. 일반적인 설정은 관심 파라미터(μ) 를 지정하고, 여러 후보 모델 S에 대해 각각의 추정량 μ_S와 그 RMSE(= rmse_S)를 구한다. 그 후 root‑FIC 점수는 각 rmse_S의 추정값이 된다.

본 논문은 기존 FIC 플롯을 넘어, 각 점의 불확실성(추정치와 root‑FIC 점수 모두)까지 시각화하는 방법을 제시한다. 즉, 수직·수평 방향 모두에 신뢰구간(confidence band) 을 표시함으로써, “좋은 모델이 진정한 승자”인지, “가장 좋은 추정치가 실제로 더 정확한지”를 판단할 수 있게 한다. 실제 사례에서는 몇몇 후보 모델만이 다른 모델보다 현저히 우수함을 확인할 수 있다. 본 논문의 방법론은 FIC 점수 차이가 통계적으로 유의한지를 검정하고, 이를 기반으로 모델 평균화(model averaging) 에 사용할 가중치를 ‘최적 모델’에 정확히 부여하도록 한다.

논문의 구성은 다음과 같다.

1. 섹션 2 – 필요한 수학적 배경을 제시한다. 여기서는 기본 기호와 후보 모델 기반 추정량의 공동 수렴(joint convergence) 에 관한 핵심 정리를 다룬다.
2. 섹션 3 – 위 정리를 이용해 FIC 점수에 대한 신뢰분포(confidence distribution, CD) 를 구축한다.
3. 섹션 4 – CD를 활용한 새로운 FIC 변형인 quantile‑FIC 를 소개한다. 여기서는 각 RMSE를 해당 CD의 적절한 분위수(quantile)로 추정한다. 특수 경우인 median‑FIC 도 상세히 설명한다.
4. 섹션 5 – median‑FIC 기반 가중치를 이용한 모델 평균화 절차를 제시하고, 대표본(asymptotic) 수준에서 평균화 추정량의 성질을 기술한다.
5. 섹션 6 – 다양한 방법(포스트‑FIC, 포스트‑AIC, 모델 평균화 등)의 성능 비교를 수행한다. 특히 포스트‑median‑FIC 추정량이 포스트‑AIC보다 몇몇 상황에서 우수함을 보인다.
6. 섹션 7 – 앞서 소개한 방법을 다수의 후보 모델(2³ = 8을 넘어) 이 존재하는 실제 사례에 적용한다. 여기서는 영국·아일랜드 73개 섬에서 관찰된 조류 종 풍부도(bird species abundance) 를 설명하는 다중 회귀 포아송 모델을 다룬다.
7. 섹션 8 – 주요 결과를 요약하고 논의한다.
8. 섹션 9 – 결론 및 향후 연구 방향을 제시한다.

2. 이론적 배경 (i.i.d. 설정)

독립·동일분포(i.i.d.) 표본 y₁,…,yₙ을 가정한다. 후보 모델은

• 좁은 모델 : fₙₐᵣᵣ(y, θ) (θ∈ℝᵖ)
• 넓은 모델 : f(y, θ, γ) (γ∈ℝᵠ)

이며, 좁은 모델은 넓은 모델의 특수 경우(γ = γ₀) 로 본다. γ의 각 성분을 ‘포함(1)’ 혹은 ‘제외(0)’ 로 두면 총 2ᵠ개의 서브모델이 생성된다(예: 회귀에서는 변수 선택에 해당).

관심 파라미터 μ는 넓은 모델에서 μ = μ(θ, γ) 로 정의된다. 각 서브모델 S⊆{1,…,q}에 대해 최대우도(MLE) 추정량 (θ̂_S, γ̂_S) 를 구하고, 이를 이용해 μ̂_S = μ(θ̂_S, γ̂_S, γ₀_{Sᶜ}) 를 얻는다.

마스터 정리 (Hjort & Claeskens 2003a)

지역 이웃(local neighbourhood) 접근을 사용한다. 실제 데이터 생성 메커니즘은

[ y_i \sim f\bigl(y_i\mid \theta_0,;\gamma_0 + \delta/\sqrt{n}\bigr),\qquad \delta\in\mathbb{R}^q ]

와 같이, δ 를 ‘국소 모델 확장 파라미터’ 로 두어, 진짜 초점 파라미터는

[ \mu_{\text{true}} = \mu\bigl(\theta_0,;\gamma_0 + \delta/\sqrt{n}\bigr) ]

가 된다.

다음과 같은 핵심 행렬을 정의한다.

• Fisher 정보 행렬 J와 그 역행렬 J⁻¹ (넓은 모델에서 γ = γ₀ 로 평가)
• 블록 행렬 J₀₀ (θ‑θ), J₁₀ (γ‑θ), J₁₁ (γ‑γ) 등
• ω = J₁₀ J₀₀⁻¹ ∂μ/∂θ − ∂μ/∂γ
• τ₀² = (∂μ/∂θ)ᵀ J₀₀⁻¹ (∂μ/∂θ)

그리고 서브모델 S에 대한 선택 행렬 G_S (대각선에 S에 속하는 인덱스는 1, 나머지는 0) 를 둔다.

마스터 정리는 다음을 보인다.

[ \sqrt{n}\bigl(\hat\mu_S - \mu_{\text{true}}\bigr) ;\xrightarrow{d}; \mathcal N!\Bigl(;\omega^{!T}(I-G_S),\delta,;; \tau_0^2 + \omega^{!T}(I-G_S)Q(I-G_S)^{!T}\omega\Bigr), ]

여기서 Q = J₁₁⁻¹ 이며, D ∼ N_q(δ, Q) 로 정의된다.

따라서 편향은 ωᵀ(I−G_S)δ 로, 분산은 위 식의 두 번째 항으로 나타난다.

• 작은 S (변수가 적게 포함된 모델) → 분산 작지만 편향 클 가능성
• 큰 S (많은 변수를 포함) → 분산 크고 편향 작음

FIC는 이 두 요소를 제곱합(피타고라스 합) 형태로 추정해 **

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