선형 흐름 속 점성 대비가 있는 캡슐의 변형·배향: 이론적 2차 전개 분석

📝 Abstract

We develop a perturbation theory to study the shape and the orientation of an initially spherical capsule of radius R with a viscosity contrast, a surface tension σ and a bending rigidity $κ$ in linear flows. The elastic mechanical response of membrane to deformations is described by three elastic constitutive law which are either Hookean, Neohookean or Skalak type leading to the introduction of a surface shear elastic modulus $G_s$ and the Poisson ratio (or analog quantities). At the leading order, the deformation, i.e. the so-called Taylor parameter is proportional to the elastic capillary number Ca which evaluates the ratio between the external viscous stress and the elastic membrane response. In this linear regime, the results do not depend on the elastic constitutive law as expected. Without surface tension and bending rigidity, we recover the results of Barthes-Biesel & Rallison (1981) and notably the fact that the Taylor parameter does not depend on the viscosity contrast $λ$ contrary to the case of a viscous droplet. In our more general model, the deformation does no longer depend on $λ$ at the upper order. Now, the Taylor parameter also depends on two other dimensionless numbers: the surface elastocapillary ratio $σ/G_s$ and the dimensionless bending rigidity $B= κ/G_sR^2 $. At the further order, the angle of inclination of the capsule with the direction of the shear flow, the analog of the Chaffey and Brenner equation for droplets is determined in each case. The results are in excellent agreement with the numerical ones performed with a code based on the boundary integral method providing an useful method to valid numerical developments.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 의의

캡슐·마이크로캡슐은 바이오·화학·식품·화장품 등 다양한 분야에서 “활성 물질의 전달·보호·반응 용기” 역할을 수행한다. 기존 이론은 주로 점성 대비가 1인 경우와 표면 장력·굽힘 강성이 없는 이상적인 캡슐을 다루었으며, 변형‑배향 관계는 1차 Ca 에만 의존한다는 결론을 얻었다. 그러나 실제 캡슐은 내부·외부 점성 차이, 얇은 탄성 막의 표면 장력, 그리고 얇은 껍질의 굽힘 저항을 동시에 갖는다. 이 논문은 이러한 네 가지 물리적 효과(λ, σ, κ, Gₛ) 를 모두 포함한 일반화된 모델을 구축하고, 2차 전개까지 수행함으로써 기존 연구의 한계를 뛰어넘는다.

2. 이론적 접근법

📄 Content

번역 (한국어, 최소 2000자)

전달, 보호 및 활성 분자의 전달은 많은 분야에서 공통적으로 마주하는 목표이며, 이는 수동적이거나 능동적인 새로운 스마트 다상 재료를 구축하는 데 필수적이다. 이러한 재료는 종종 자연을 모방한다. 실제로, 살아있는 유체에 의해 운반되는 이동 세포, 세포소기관 또는 세포 자체는 이러한 새로운 구조를 설계하는 데 중요한 지침을 제공한다. 그 중 하나인 캡슐(또는 마이크로캡슐)은 수십 년에 걸쳐 많은 관심을 받아 왔다(Bah et al., 2020). 캡슐은 특정 탄성체이자, 특히 적혈구와 같은 세포의 바이오모방 모델로 활용되며(Becic et al., 2025; Misbah, 2012; Sui et al., 2008; Yazdani & Bagchi, 2011), 화장품, 건강·식품 과학·디자인·제조(Sagis, 2015) 및 건축 재료(Tyagi et al., 2011) 등 다양한 분야에서도 유사한 형태가 존재한다. 캡슐은 계면의 기계적 특성에 크게 좌우되는 코팅된 액적의 큰 가족에 속한다. 이와 유사한 예로는 리포좀·베시클(FAIZI et al., 2022; Has & Pan, 2021), 폴리머소스(Dionzou et al., 2016; Discher & Ahmed, 2006), 세포(Dabagh et al., 2020; Lu et al., 2025), 드롭룬(Ginot et al., 2022) 등이 있다.

캡슐은 얇은 탄성 껍질로 둘러싸인 액적이다(Barthes‑Biesel, 2016; Dupré de Baubigny et al., 2017). 이 껍질은 형태를 유지하면서 (생물‑)화학적 미니‑리액터 역할을 할 수 있으며 외부 오염으로부터 보호한다. 보다 일반적으로, 껍질이 변형·응력에 반응하는 방식은 변형 경화(strain‑hardening) 혹은 연화(strain‑softening) 탄성에 의해 좌우되며(De Loubens et al., 2015), 2차원(2D) 점성(표면 점도)으로 특징지어지는 표면 소산(De Loubens et al., 2016; Gires et al., 2016)도 포함한다. 일부 캡슐은 점탄성‑소성 거동을 보이기도 한다(Xie et al., 2017).

다양한 실험 구성이 연구되어 왔다: 협착부 내 캡슐(Chen et al., 2023; Chu et al., 2011; Le Goff et al., 2017; Risso et al., 2006; Rorai et al., 2015), 전단 흐름 내 캡슐(Chang & Olbricht, 1993a), 신장 흐름 내 캡슐(Chang & Olbricht, 1993b; De Loubens et al., 2014), 압축 하 캡슐, 전기장 하 캡슐(Karyappa et al., 2014) 등이다. 경우에 따라 캡슐 파열이 관찰되는데, 이는 물질 특성과 껍질에 가해지는 기계적 장력에 직접 연결된 중요한 특성이다(Chachanidze et al., 2023; Chang & Olbricht, 1993b; El Mertahi et al., 2024; Feng et al., 2024; Husmann et al., 2005; Joung et al., 2020). 전단·신장 흐름에서는 껍질이 압축을 받아 휨(buckling) 혹은 주름(wrinkling) 불안정이 발생할 수 있다(Rehage et al., 2002; Walter et al., 2001). 특히 굽힘 저항이 충분히 크지 않을 경우 이러한 현상이 두드러진다. 또한, 다른 탄성‑모세관 시스템(Bico et al., 2018; Style et al., 2017)과 마찬가지로 표면 장력은 패턴 형성에 핵심적인 역할을 한다.

이론적 선구적 연구
선형 흐름에서 약한 변형 한계 내에서 캡슐이 어떻게 변형되는지를 이해하기 위해 이론적 모델이 개발되었다. 이 모델들은 변형을 모세관 수(Ca)와 비례하도록 1차 항까지 도출했으며, Ca는 점성 유동 응력과 전단 탄성 응답을 비교한다(Barthes‑Biesel et al., 2002; Barthes‑Biesel & Rallison, 1981). 이후 수치 시뮬레이션을 통해 검증되었으며, 선형 변형 영역에서 실험과 비교해 전단 탄성 계수를 추정하는 데 활용되었다.

본 논문의 목표
본 논문에서는 초기 구형 캡슐을 선형 흐름에 놓고, 기존 연구보다 추가적인 물리적 특성을 포함한 2차까지의 이론적 분석을 수행한다. 구체적으로는 다음을 고려한다.

1. 내부·외부 점도비(η*/η) ≠ 1
2. 굽힘 강성(κ)
3. 표면 장력(σ)

분석은 약한 변형 가정과 Stokes 흐름 영역을 전제로 하며, 물리량을 Ca에 대해 2차까지 전개한다. 이를 통해 전단 흐름에서 캡슐의 방향성을 결정할 수 있다. 이는 드롭릿에 대한 Chaffey‑Brenner 관계(Chaffey & Brenner, 1967)의 캡슐 버전이며, 가장 일반적인 형태가 된다. 또한 Hooke, Neo‑Hookean, Skalak 세 가지 구성법칙을 모두 고려한다. 1차 항에서는 굽힘 에너지와 표면 장력이 없는 Barthes‑Biesel & Rallison(1981)·Barthes‑Biesel et al.(2002)의 변형식을 재현한다.

논문의 구성

• 제2장: 체적 및 계면에서의 기본 방정식 정리
• 제3장: 일반화된 해석 절차 제시
• 제4장: 결과(등가 타원체의 축 길이, 각 평면에서의 변형, 방향각) 계산 및 논의

우리의 결과는 수치 해와 매우 높은 일치를 보인다.

2. 문제 정의 및 수치 절차

반복 지표법(summation convention)을 사용한다. 즉, 식에 반복되는 첨자는 모두 합산한다. 위첨자 “*”는 내부 유체(η*)에 대한 양을 의미하고, 위첨자가 없으면 외부 유체(η)를 의미한다.

우리는 중성 부력의 뉴턴 유체(점도 η) 속에 침잠한 초기 구형 캡슐을 고려한다. 캡슐 내부는 동일한 종류의 유체(점도 η*)로 채워져 있다. 캡슐 막의 위치는 위치 벡터 x 로 기술한다. 구형 대칭 때문에 구면 좌표계를 사용하는 것이 자연스럽다. 변형이 작다는 가정 하에 반경은

[ r(\theta,\phi)=R\bigl[1+F(\theta,\phi)\bigr], ]

여기서 (R)은 변형되지 않은 구의 반경이며 (|F|\ll1)은 구면 각도에 의존하는 변형 함수이다.

법선 벡터와 표면 투영 텐서는 각각

[ \mathbf{n}= \frac{\mathbf{x}}{r},\qquad \mathbf{P}= \mathbf{I}-\mathbf{n}\mathbf{n}, ]

이며 (\mathbf{I})는 단위 행렬이다.

외부 유체는 전단 흐름, 신장 흐름 등 선형 흐름을 겪는다. 캡슐에서 멀리 떨어진 곳에서의 속장 (\mathbf{v}^{\infty})는

[ \mathbf{v}^{\infty}= \mathbf{E}\cdot\mathbf{x}+ \boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{x}, ]

여기서 (\mathbf{E})는 대칭 텐서(변형률), (\boldsymbol{\Omega})는 반대칭 텐서(회전)이며, (\epsilon)는 전단률이다. 원거리 압력은 (p^{\infty}) 로 표기한다.

속도장 (\mathbf{v})와 압력 (p)는 원거리에서 사라져야 하므로

[ \mathbf{v}\to0,\qquad p\to0\quad (|\mathbf{x}|\to\infty). ]

캡슐 반경이 충분히 작다고 가정하면, 속도·압력장은 Stokes 방정식을 만족한다.

[ \eta\nabla^{2}\mathbf{v}= \nabla p,\qquad \nabla!\cdot!\mathbf{v}=0. ]

계면에서 연속성 조건은

[ \bigl[\mathbf{v}\bigr]=0,\qquad \bigl[\mathbf{t}\bigr]=\mathbf{f}, ]

여기서 (\mathbf{t})는 응력 텐서, (\mathbf{f})는 캡슐에 작용하는 힘이다.

응력 텐서는

[ \boldsymbol{\Pi}= -p\mathbf{I}+ \eta\bigl(\nabla\mathbf{v}+(\nabla\mathbf{v})^{!T}\bigr). ]

정상 상태에서의 평형식은

[ \bigl[\boldsymbol{\Pi}\cdot\mathbf{n}\bigr]=\mathbf{f}. ]

위 식(8), (34), (37)을 결합하면 전체 시스템을 기술할 수 있다. 이를 풀기 위해서는 캡슐 힘에 적용되는 구성법칙을 명시해야 한다.

2.1 변형 텐서와 구성법칙

막의 변형은 기준 위치 (\mathbf{X})와 변형 후 위치 (\mathbf{x}) 사이의 차이로 정의된다. 표면 변위 그래디언트는

[ \mathbf{K}= \nabla_{s}\mathbf{x}\cdot(\nabla_{s}\mathbf{X})^{-1}, ]

여기서 (\nabla_{s})는 표면 그라디언트 연산자이다. 오른쪽 Cauchy‑Green 텐서는

[ \mathbf{C}= \mathbf{K}^{T}\mathbf{K}, ]

그리고 표면 Green‑Lagrange 변형 텐서는

[ \mathbf{E}= \tfrac12(\mathbf{C}-\mathbf{I}). ]

Barthes‑Biesel(1980)과 Barthes‑Biesel et al.(2002)의 방법을 따라, 다음과 같은 Jacobian (J)와 변형 불변량 (I_{1},I_{2})를 정의한다.

[ J=\sqrt{\det\mathbf{C}},\qquad I_{1}= \operatorname{tr}\mathbf{C},\qquad I_{2}= \tfrac12\bigl[(\operatorname{tr}\mathbf{C})^{2}-\operatorname{tr}(\mathbf{C}^{2})\bigr]. ]

Cauchy 텐서 (\mathbf{T})는 변형 에너지 밀도 (w)에 의해

[ \ma

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