성장‑살해 트레이드오프가 이끄는 주기적 항균 처리에서 박테리아 선택·소멸 조건

📝 Abstract

Antimicrobial protocols - using substances such as antibiotics or disinfectants - remain the preferred option for preventing the spread of pathogenic bacteria. However, bacteria can develop mechanisms to reduce their antimicrobial susceptibility, which can lead to treatment failure and the selection of resistance or tolerance. In this work, we propose a minimal population dynamics model to study bacterial selection during cyclic antimicrobial application, a commonly used protocol. Selection in bacterial populations with heterogeneous antimicrobial susceptibility is modelled here as a trade-off between survival advantage (reduction in antimicrobial killing) and potential fitness costs (reduction in growth rate) of the less susceptible strains. The proposed model allows us to derive useful expressions for determining the success of cyclic antimicrobial treatments based on two bacterial traits: growth and kill rates. The results obtained here are directly applicable to preventing the selection and spread of resistant and tolerant bacterial strains in real-life protocols.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 필요성

• 주기적 항균 처리는 가정·산업·임상 현장에서 일상적으로 사용되며, 반복적인 선택 압력으로 인해 진화적 반복성이 높아진다.
• 기존 모델들은 정적 항균 농도 혹은 복잡한 파라미터 셋에 의존해 수치해석에 머무는 경우가 많아, 실제 프로토콜 설계에 바로 적용하기 어렵다.
• 따라서 간단하면서도 해석적으로 다룰 수 있는 모델이 필요하며, 이는 본 논문의 핵심 동기이다.

2. 모델 설계

• 핵심 파라미터: 성장률 (\mu_i)와 살해율 (k_i(C)) → 균주 특성.
• 설정 파라미터: (t_g, t_k, C, D, K, X_e) → 프로토콜 변수.

3. 주요 수학적 결과

1. 주기별 전이식
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📄 Content

항균 프로토콜은 가정[1], 산업 또는 임상 환경에서 매일 사용되어 세균을 제거하고 병원체의 확산을 방지합니다. 그러나 동일한 집단에 속한 세균이라도 유전적·표현형 변화에 의해 항균 감수성이 달라질 수 있으며, 이는 항균 저항성(AMR)이나 내성을 초래해 치료 효과를 크게 저해할 수 있습니다. 이러한 상황에서는 항균 감수성이 감소된 소수의 하위 집단만이라도 치료를 살아남아 진화 과정—돌연변이, 선택, 경쟁—이 치료 실패와 AMR·내성의 발달을 이해하는 데 핵심적인 역할을 합니다[2]. 따라서, 살균 스트레스 하에서 AMR·내성 선택의 동역학을 정확히 예측하는 것은 항균 프로토콜을 체계적으로 최적화하는 데 필수적입니다[3].

1. 배경 및 문제 정의

진화 과정은 본질적으로 확률적이지만, 특히 작은 집단에서는[4] 강하고 반복적인 선택 압력(예: 주기적인 살균제 처리) 하에서는 결과가 보다 예측 가능하고 반복적으로 나타납니다[5]. 돌연변이는 무작위이지만 실제로는 소수의 돌연변이 계통만이 증식하여 인구를 지배하게 되며, 이는 최소 억제 농도(MIC)보다 훨씬 낮은 농도에서도 관찰됩니다[6]. 다시 말해, 선택 효율이 유전적 표류·돌연변이·재조합·예측 불가능한 환경 변화와 같은 확률성보다 클 때 진화는 높은 재현성을 보입니다. 이러한 이유로 대부분의 AMR 수학 모델은 결정론적 방정식, 주로 상미분 방정식(ODE) 체계를 사용합니다[7,8].

강한 선택 압력이 존재한다는 가정 하에(예: 주기적 치료 혹은 고살균성 치료) 우리는 “세균 집단이 언제 멸종하고, 언제 선택이 일어나는가”를 판단할 수 있는 실험적으로 적용 가능한 이론을 찾아야 합니다. 멸종이 일어날 경우, 불필요한 추가 치료 사이클을 피하기 위해 멸종까지 걸리는 시간을 추정하는 것이 중요합니다. 반대로 생존이 일어날 경우, 저항성·내성 하위 집단이 선택적 이점을 얻는 조건을 규명함으로써 프로토콜을 조정해 이들의 증식을 최소화해야 합니다.

이러한 이론적 틀을 구축하는 것이 현재 남아 있는 주요 난제이며, 이를 해결하는 것이 효과적인 소독·위생 프로토콜을 최적화하는 데 필수적입니다[7,9]. 기존 연구들은 항균제에 노출된 세균 집단의 멸종 조건을 도출했지만, 대부분은 농도가 일정한 경우에만 적용되며(주기적·시간 변동 농도는 고려되지 않음) 변동성을 성장률의 확률적 요동으로만 설명합니다[10]. 또 다른 연구들은 출생·사망 확률 과정을 이용해 연속 치료 하의 인구 동역학을 분석했지만, 선택·멸종에 대한 명시적 해석적 조건을 제공하지 못하고 복잡한 시뮬레이션에 의존합니다[11,12]. 따라서, 주기적 항균 살균 하에서 균주 간 경쟁과 멸종을 다루는 간단하고 해석 가능한 모델이 필요합니다. 현재까지 알려진 결과는 항균 처리가 없는 연속 희석 실험에서 성장 특성 진화에 대한 선택 조건만을 제시하고 있습니다[13].

2. 연구 목표 및 모델 개요

본 연구에서는 다중 균주로 구성된 세균 집단이 주기적 항균제 적용을 받을 때 발생하는 선택 과정을 분석합니다.

1. 수학 모델 제시 – 성장 단계와 살균 단계가 교대로 반복되는 주기적 치료 과정을 기술하는 모델을 제안합니다. 모델은 가능한 가장 단순하게 유지하면서, 각 균주의 성장률(µᵢ) 과 **살균(죽음)률(kᵢ(C))**이라는 최소한의 특성만을 사용합니다.
2. 멸종·선택 조건 도출 – 위 모델을 이용해 각 균주의 특성 및 실험 설정 파라미터(성장·살균 단계 길이 t_g, t_k, 희석 계수 D, 최대 세포 농도 K, 항균제 농도 C, 멸종 한계 X_e 등)와의 관계를 정량화합니다.
3. 선택 지표 제시 – 멸종 사이클, 선택 계수 등 선택 강도를 정량화할 수 있는 지표를 정의하고, 이를 통해 실제 프로토콜에서 저항성·내성 균주의 증식을 억제하는 기준을 제공합니다.

3. 모델 상세

3.1 기본 가정

• 균주 집단 : n > 1개의 구별된 균주 Sᵢ (i = 1,…,n) 로 구성됩니다.
• 주기적 치료 : 성장 단계(t_g > 0)와 살균 단계(t_k > 0)가 일정하게 반복됩니다. 항균제 농도 C는 각 사이클마다 동일하지만, 이후 확장 모델에서는 사이클마다 변할 수 있음을 명시합니다.
• 희석 : 각 살균 단계 후 0 < D < 1인 희석 계수 D 로 배지를 교체하여 항균제를 제거하고 새로운 영양원을 공급합니다.
• 성장 : 성장 단계에서는 각 균주가 지수적으로 증식하며, 전체 세포 농도가 포화 농도 K에 도달하면 성장 멈춤(정체기)으로 전환됩니다. 성장률은 µᵢ > 0 로 정의하고, 지연시간·성장 효율 등은 무시합니다.
• 살균 : 살균 단계에서는 각 균주의 농도가 1차 반응식(kᵢ(C) ≥ 0)으로 감소한다고 가정합니다. 이때 이질성에 의한 이중 살균 속도(heteroresistance, persistence 등)는 제외합니다. 또한 살균 단계에서는 증식이 일어나지 않으며, 농도가 X_e 이하가 되면 번식이 불가능하다고 가정합니다.
• 초기 조건 : 각 균주의 초기 농도 Xᵢ₀는 X_e ≤ Xᵢ₀ 로 설정되어 첫 성장 단계에서 증식이 가능하도록 합니다(특정 상황을 제외하고).

3.2 수학적 표현

시간 t ≥ 0 에서 각 균주의 농도를 Xᵢ(t)라 하면, 다음 상미분 방정식이 주기적 치료 과정을 기술합니다.

[ \frac{dX_i}{dt}= \underbrace{\mu_i,X_i,I_g(t)}{\text{성장}} ;-; \underbrace{k_i(C),X_i,I_k(t)}{\text{살균}} ;-; \underbrace{0\cdot I_e(t)}_{\text{멸종 제한}} , \qquad i=1,\dots,n ]

여기서

• I_g(t) : 총 세포 농도가 K에 도달하기 전까지 1, 도달 후 0 (성장 단계 표시).
• I_k(t) : 살균 단계 동안 1, 그 외 0 (살균 단계 표시).
• I_e(t) : 해당 균주의 농도가 X_e 이하이면 1, 그렇지 않으면 0 (멸종 제한 표시).

주기 c(=1,2,…)의 시작과 끝은 각각

[ t_{0}^{c}=(c-1)(t_g+t_k),\qquad t_{f}^{c}=c(t_g+t_k) ]

이며, 사이클 c의 초기 농도는

[ X_{i,0}^{c}=X_i(t_{0}^{c}) . ]

희석 단계는

[ X_i(t_{0}^{c+1}) = D;X_i(t_{f}^{c}) . ]

3.3 포화 시간(성장 단계 종료 시점)

성장 단계가 언제 포화에 도달하는지는 다음 방정식의 해로 정의됩니다.

[ \sum_{i=1}^{n} X_{i,0}^{c}, \exp!\bigl(\mu_i,t_{\text{sat}}^{c}\bigr)=K . \tag{4} ]

일반적인 경우 이 방정식은 수치적으로만 풀 수 있지만, 이후 근사식을 통해 해석적 형태를 얻을 수 있습니다(섹션 “포화 시간 근사”).

3.4 확장 모델(농도 변동)

항균제 농도 C가 사이클마다 달라지는 경우, 살균률은

[ k_i(C_c)=k_{\max,i}, \frac{C_c^{H_i}}{EC_{50,i}^{H_i}+C_c^{H_i}} \tag{10} ]

와 같은 Hill 형태로 기술될 수 있습니다. 이때도 위 ODE 구조는 동일하게 유지됩니다.

4. 포화 시간에 대한 근사식

전체 세포 농도 X(t)=∑₁ⁿXᵢ(t) 를 합산하면 성장 단계에서

[ \frac{dX}{dt}= \mu(t),X,\qquad \mu(t)=\frac{\sum_i \mu_i X_i(t)}{X(t)} . \tag{12} ]

초기 농도에 기반한 평균 성장률 μ_c 를 고정값으로 가정하면

[ \mu(t)\approx \mu_c \quad\Longrightarrow\quad X(t)\approx X_0^{c},e^{\mu_c t}. ]

이를 (4)에 대입하면 포화 시간에 대한 근사식이

[ t_{\text{sat}}^{c}\approx \frac{1}{\mu_c}, \ln!\Bigl(\frac{K}{X_0^{c}}\Bigr) \tag{13} ]

을 얻습니다. 여기서

[ \mu_c=\frac{\sum_i \mu_i X_{i,0}^{c}}{X_0^{c}},\qquad X_0^{c}= \sum_i X_{i,0}^{c}. ]

이 근사는 µᵢ가 크게 차이나지 않거나 초기 농도가 균등하게 분포된 경우에 특히 정확합니다.

5. 멸종·선택 조건

5.1 정의

• 균주 i의 멸종 : 어떤 사이클 c ≥ 1에 대해 X_i(t_f^{c}) < X_e 이면서 이후 모든 사이클에서 X_i(t) < X_e 가 유지되는 경우.
• 전체 멸종 : 모든 균주 i에 대해 위 조건이 만족될 때.
• 균주 i의 선택 : 전체 멸종이 일어나지 않을 때, 장기적으로 (c → ∞) X_i(t) > 0 인 경우.

5.2 단일 균주(고립) 멸종 조건

고립된 균주 i에 대해 (8)식과 (13)식의 조합을 이용하면, 초기 농도 X_{i,0} 가 X_e 보다 작으면 즉시 멸종하고, 그렇지 않을 경우

[ X_{i,0},e^{\mu_i t_{\text{sat}}^{c}},e^{-k_i(C) t_k},D < X_e \tag{14} ]

을 만족하는 최초 사이클 c_e,i 를 멸종 사이클이라 정의합니다.

5.3 전체 멸종 조건 (정리 1)

정리 1 (멸종 조건)
다중 균주 집단이 주기적 항균 치료를 받을 때, 다음이 동등하게 성립한다.

1. 각 균주 i가 고립 상태에서 멸종 ⇔
   • X_{i,0} < X_e, 또는
   • [ \bigl(D,e^{-k_i(C) t_k}\bigr), \exp!\bigl(\mu_i t_{\text{sat}}^{c}\bigr) < \f

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