저자는 이 발전을 예측하는 데 있어 예리한 통찰력을 보여주었습니다. 2012년, 변환자 혁명이 일어나기 몇 년 전에 저자가 빈트겐슈타인의 수집된 견해에 대한 논평에서 제안했듯이, 단어는 ‘문장 필드’(Lexfelder)를 생성하고 수학적인 법칙에 따라 상호작용하여 복합적인 ‘언어 필드’ (Lingofelder)를 만들어냅니다. 이 프레임워크는 의미의 사회적 구성이 아닌 수학적 발견으로 제시되는 근본적으로 다른 접근방식을 제공합니다.

문장 필드 이론의 탄생은 바르츠조티스가 빈트겐슈타인의 관찰에 대한 반응에서 나타납니다:

빈트겐슈타인: “언어는 제약되지 않지만, 한 부분은 다른 부분과 연결되어 있다.” 바르츠조티스: “그것은 부유하는 그물이다. 다양성이다. 각 단어는 자신의 ‘중력 필드’를 가지고 있다. 우리는 이를 ‘문장 필드(Lexfeld)’라고 부를 수 있다.”

문장 필드 이론의 정식화

사용법에서 필드로

빈트겐슈타인과 저자 사이의 중요한 차이는 언어적 의미에 대한 접근 방법에 있습니다. 그들이 표지가 어떻게 살아나는지를 논하는 대목을 고려해보면:

빈트겐슈타인: “각 표지는 스스로 죽은 것처럼 보인다. 무엇이 그것에게 생명을 부여하나? - 사용에서 그것은 산다. 그것은 스스로에 있는 생의 숨이 있나? - 아니면, 사용이 그 숨인가?” 바르츠조티스: “단어(표지)가 일종의 ‘문장 필드(Lexfeld)’를 가진다고 잠시 인정해보자. 단어들은 물리학의 필드와 대응하는 복잡한 필드 (언어 필드)를 형성하고, 이는 정의되어야 한다. 그러면 많은 것을 설명할 수 있다! 심지어 구부러지고 비틀린 의미도.”

이 통찰은 저자가 ‘세 단어 문제’(Dreiwörterproblem)라는 것을 식별하는 데 이르렀습니다. 물리학에서 세 개 체 문제에 대한 유사성으로, 언어적 복잡성이 비선형 필드 상호작용에서 발생한다는 제안을 하였습니다.

정의 1 (문장 필드): $`\mathcal{S} = \mathbb{R}^n`$를 의미 공간이라고 하자. 여기서 각 차원은 잠재적인 의미 특징에 해당한다. 어떤 점 $`q \in \mathcal{S}`$에 대해:

\begin{equation}
    L_{w}(q) = S_w \cdot G(\left\lVert q - q_w\right\rVert; \sigma_w)
\end{equation}

단어 $`w`$의 의미 필드 강도를 측정한다. 여기서 $`q_w \in \mathbb{R}^n`$는 단어의 위치이고, $`S_w`$는 단어의 내재적인 의미 강도이며, $`G`$는 특성 너비 $`\sigma_w`$를 가진 감소하는 커널 함수이다.

정의 2 (언어 필드): $`\mathcal{W} = \{w_1, w_2, ..., w_m\}`$를 문장으로 구성되는 단어 순서열이라고 하자. 어떤 점 $`q \in \mathcal{S}`$에서 합성된 언어 필드 $`\Phi_{\mathcal{W}}: \mathcal{S} \rightarrow \mathbb{R}`$는 다음과 같이 정의된다:

\begin{equation}
\Phi_{\mathcal{W}}(q) = \sum_{i=1}^{m} L_{w_i}(q) + \sum_{i=1}^{m-1} \sum_{j=i+1}^{m} I_{ij}(q) + \sum_{i=1}^{m-2} \sum_{j=i+1}^{m-1} \sum_{k=j+1}^{m} T_{ijk}(q)
\end{equation}

여기서:

• $`L_{w_i}(q)`$는 단어 $`w_i`$의 문장 필드 (정의 1 참조).
• $`I_{ij}(q) = \kappa_2 \cdot L_{w_i}(q) \cdot L_{w_j}(q) \cdot K_2(\|q_{w_i} - q_{w_j}\|)`$는 쌍방 필드 상호작용을 나타낸다.
• $`T_{ijk}(q) = \kappa_3 \cdot L_{w_i}(q) \cdot L_{w_j}(q) \cdot L_{w_k}(q) \cdot K_3(\|q_{w_i} - q_{w_j}\|, \|q_{w_j} - q_{w_k}\|, \|q_{w_i} - q_{w_k}\|)`$는 삼체 상호작용을 포착한다.
• $`\kappa_2, \kappa_3 \in \mathbb{R}`$는 결합 상수이고,
• $`K_2: \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}`$와 $`K_3: \mathbb{R}_+^3 \rightarrow \mathbb{R}`$는 상호작용 커널 함수이다.

인덱스들은 $`1 \leq i < j < k \leq m`$을 만족하여 상호작용을 여러 번 계산하지 않도록 한다.

완전한 필드 시스템의 정식화

이 개념들을 명확히 하기 위해, 의미 공간 $`S`$를 차원 $`d`$, 어휘 $`W = \{w_1, w_2, ..., w_n\}`$라고 가정한다. 각 단어 $`w_i`$는 다음과 관련된다:

• 기본적인 의미 벡터 $`\mathbf{v}_{w_i} \in \mathbb{R}^d`$
• 필드 상호작용 함수 $`I_{w_i}: S \times S \rightarrow \mathbb{R}`$
• 안정성 매개변수 $`\gamma_{w_i} \in [0,1]`$

맥락 $`C = \{w_{i_1}, w_{i_2}, ..., w_{i_k}\}`$에서 단어 $`w_j`$의 맥락 표현은 다음과 같다:

\begin{equation}
\mathbf{v}_{w_j}(C) = \mathbf{v}_{w_j} + \sum_{k=1}^{|C|} \alpha_k \cdot I_{w_j}(\mathbf{v}_{w_j}, \mathbf{v}_{w_{i_k}}) \cdot \mathbf{v}_{w_{i_k}}
\end{equation}

여기서 $`\alpha_k`$는 다음과 같이 계산된 주의 가중치다:

\begin{equation}
\alpha_k = \frac{\exp(\phi(\mathbf{v}_{w_j}, \mathbf{v}_{w_{i_k}}))}{\sum_{l=1}^{|C|} \exp(\phi(\mathbf{v}_{w_j}, \mathbf{v}_{w_{i_l}}))}
\end{equation}

$`\phi`$는 호환성 함수다.

동적 필드 상호작용

저자의 대화 183에 대한 논평의 계속은 이러한 필드의 동적인 성격을 포착합니다: “일부 단어는 주기적으로 다른 단어를 중심으로 돌고, 다른 단어들은 충돌하거나 사라지거나 새로운 것이 나타난다.” 이 통찰력은 현대 변환자들의 주의 메커니즘을 예측하고 있습니다. 여기서 단어들이 실제로 서로 “주변을 빙빙 돈다"는 것을 볼 수 있습니다. 실제로, 논평 196에서 저자는 이 비유를 확장하여 “언어는 제약되지 않지만 한 부분은 다른 부분과 연결되어 있다 […] 그것은 부유하는 그물이다. 다양성이다. 각 단어는 자신의 중력 필드를 가지고 있다 - 우리는 이를 문장 필드라고 부르자.” 이 중력적 이미지는 주의 동력학에서 관찰되는 힘 같은 의미의 끌림에 대한 직접적인 아날로그를 제공하고 언어가 상호 작용하는 필드로 구성된 구조화된 다양체로서 작동한다는 중심 주장을 지원합니다.

필드 동역학은 해밀토니안 형식을 통해 정식화될 수 있습니다:

\begin{equation}
H[\Phi] = \int_{\mathbb{R}^n} \left[ \frac{1}{2}\left\lVert\nabla\Phi(q)\right\rVert^2 + V(\Phi(q)) \right] dq
\end{equation}

여기서 잠재 $`V`$는 의미 제약을 인코딩하고, 기울기 항은 부드러운 의미 전환을 보장합니다.

언어 모델을 통한 경험적 검증

변환자: 필드 컴퓨터

현대의 변환자 아키텍처는 문장 필드 상호작용에 매우 유사한 연산을 구현합니다. 스케일된 내적 주의 메커니즘이 토큰 시퀀스의 맥락화된 표현을 계산합니다. 단일 쿼리 위치 $`t`$가 위치 $`1, ..., T`$에 대한 주의를 집중할 때:

\begin{equation}
\text{Attention}(\mathbf{q}_t, \mathbf{K}, \mathbf{V}) = \sum_{s=1}^{T} \alpha_{ts} \mathbf{v}_s
\end{equation}

여기서 주의 가중치는 다음과 같다:

\begin{equation}
\alpha_{ts} = \frac{\exp(\mathbf{q}_t^T \mathbf{k}_s / \sqrt{d_k})}{\sum_{s'=1}^{T} \exp(\mathbf{q}_t^T \mathbf{k}_{s'} / \sqrt{d_k})}
\end{equation}

$`\mathbf{q}_t, \mathbf{k}_s, \mathbf{v}_s \in \mathbb{R}^{d_k}`$는 각각 쿼리, 키, 값 벡터다.

필드 이론적 해석: 주의 메커니즘은 특정 위치에서 필드 상호작용을 근사합니다. 구체적으로:

• 쿼리 벡터 $`\mathbf{q}_t = W_Q \mathbf{x}_t`$는 위치 $`t`$에서의 “필드 출처"를 인코딩한다.
• 키 벡터 $`\mathbf{k}_s = W_K \mathbf{x}_s`$는 각 위치 $`s`$에서의 “필드 수신기"를 인코딩한다.
• 내적 $`\mathbf{q}_t^T \mathbf{k}_s`$는 위치 $`t`$와 $`s`$ 사이의 필드 상호작용 강도를 측정한다.
• 주의 가중치 $`\alpha_{ts}`$는 우리의 필드 상호작용 함수를 근사할 수 있다:

\begin{equation}
      \alpha_{ts} \approx \frac{I(L_{w_t}, L_{w_s}, q_t)}{\sum_{s'} I(L_{w_t}, L_{w_{s'}}, q_t)}
  \end{equation}

• 출력 $`\sum_s \alpha_{ts} \mathbf{v}_s`$는 위치 $`t`$에서 필드 수정된 표현을 나타내며, 우리의 $`\mathbf{v}_{w_t}(C).`$와 유사하다.

훈련: 안정화

대규모 언어 모델의 훈련 과정은 우리의 안정화 원칙을 구현하는 것으로 이해할 수 있습니다. 대규모 코퍼스에 대한 노출을 통해 모델은 자연 언어에서 관찰되는 사용 패턴과 일치하는 안정적인 의미 필드 상호작용 패턴을 학습합니다.

표준 언어 모델링 목표:

\begin{equation}
\mathcal{L} = -\sum_{t=1}^{T} \log P(w_t | w_1, ..., w_{t-1})
\end{equation}

이는 의미 필드의 안정적인 구성이 관찰된 언어 패턴을 예측하도록 모델에 유도하는 과정이다. 이 과정은 저자의 단어들이 반복 사용을 통해 의미 공간에서 “안정적인 궤도"를 찾는 개념과 일치한다.

발견된 기하학적 구조

훈련된 언어 모델의 분석은 저자의 예측을 검증하는 구조를 드러냅니다:

발견 1: 단어 임베딩은 의미 관계를 기하학적 연산으로 인코딩합니다. 표준 벡터 산술 $`\mathbf{king} - \mathbf{man} + \mathbf{woman} \approx \mathbf{queen}`$는 문장 필드 이론 프레임워크에서 필드 변환을 나타내며, 이 연산은 남성적 필드 구성 요소를 수정하면서 왕실 필드는 유지한다.

발견 2: 주의 패턴은 저자가 설명한 “주변을 빙빙 돌기” 행동을 보여줍니다. 다중 헤드 주의 분석에서 개념 중심 주변에 안정적인 궤도 패턴이 나타납니다. 예를 들어, 형용사는 맥락에 관계없이 수정된 명사와 일관된 기하학적 관계를 유지하며, 변동은 저자가 예측한 “구부러지고 비틀린 의미"를 만든다.

발견 3: 모델 크기 증가에 따른 스케일 의존적인 행동 - 더 복잡한 필드 상호작용이 가능해져서 질적으로 새로운 능력을 갖게 됩니다. 이는 저자의 복잡한 의미가 다체 필드 상호작용에서 발생한다는 통찰력과 일치합니다.

검증 가능한 예측

문장 필드 이론은 몇 가지 경험적 검증 가능한 예측을 제시한다:

예측 1: 의미 필드가 겹치는 단어들은 심리언어학적 작업에서 더 빠른 공처리를 보일 것이다. 예측 2: 적절한 의미 표현을 위한 차원 수는 도메인의 필드 상호작용 복잡성과 관련이 있을 것이다. 예측 3: 의미 촉진 효과는 우리의 모델에 의해 예측되는 필드 상호작용 강도를 따를 것이다. 예측 4: 언어 간 의미 유사성이 보편적인 의미 필드 구조 제약을 반영할 것이다.

이 예측들은 이론적 프레임워크의 경험적 기반을 제공하고 순수 철학적 접근법과 구별한다.

철학적 함의

수학적 구조와 사회적 기반

빈트겐슈타인이 사회적 관행에 초점을 맞추는 반면, 문장 필드 이론은 수학적 조직을 강조합니다. 이러한 관점들은 보완적인 것으로 이해될 수 있다.

규칙 준수에 대한 이론에서는 규칙성의 발생이 해석적 규칙보다 수학적 제약에서 비롯된다고 재정의한다. 사적인 언어에 대해서는 공유된 사회적 관행 없이 독립적으로 일관된 의미 체계가 생성될 수 있는 이론적 시나리오와 호환되지만, 빈트겐슈타인의 더 광범위한 주장은 부정하지 않는다.

언어의 대수학적 무의식

대화 165에서 빈트겐슈타인의 일상 언어가 철학에 너무 거칠고 물질적인 것인지 질문에 대한 저자의 답변은 다음과 같다:

빈트겐슈타인: “언어(단어, 문장 등)에 대해 이야기할 때, 나는 일상 언어를 사용해야 한다. 이 언어는 우리가 말하려는 것이 너무 거칠고 물질적인 것일까?” 바르츠조티스: “그것은 직물처럼: 짜인 천이 기하학이고 그 아래의 메커니즘이 대수학이다 […] 언어에서도 비슷한 일이 일어난다. 여기서 질문은 그것의 ‘대수학’을 찾는 것이다.”

이 “대수학적 무의식"은 변환자 모델에서 의미 필드를 생성하는 선형 변환으로 나타납니다. 주의 층의 가중치 행렬 $`W_Q, W_K, W_V`$는 대수학적 구조를 인코딩하고 결과 주의 패턴은 기하학적 천을 드러냅니다. 이러한 모델들의 성공은 저자가 옳았다는 것을 시사합니다: 자연 언어의 표면적인 혼란 아래에는 우아한 수학적 구조가 존재한다.

바르츠조티스 대 초프스키: 두 개의 수학적 비전

저자와 초프스키 모두 언어에 대한 수학적 기반을 찾으려 했지만, 그들의 접근 방식은 근본적으로 다릅니다. 초프스키는 상징 구조를 작용하는 이산적인 재귀 규칙의 생성문법을 주장한 반면, 저자는 의미 필드에서 의미가 동적 상호작용으로부터 발생한다고 제안합니다.

초프스키가 내재된 어휘 장치(보편 문법)에 초점을 맞추는 것과 달리, 저자는 내재된 의미 기하학을 제시합니다. 규칙이 아니라 필드 방정식입니다. 이 구별은 중대한 것이며: 변환자 모델이 이산적인 규칙 대신 연속적인 표현을 학습함으로써 성공적으로 수행됩니다. 순수 문법적 접근의 실패(NLP에서 70-80% 정확도만 달성)와 임베딩 기반 방법(많은 작업에서 95% 이상)과 비교하면, 의미 필드 이론적 접근이 언어의 수학적 현실을 더 잘 포착할 가능성이 있습니다.

의식과 AI에 대한 함의

Metadata

[Title_Easy_KO]: 언어의 숨겨진 수학: 문장 필드의 세계 [Title_Easy_EN]: Hidden Math in Language: The World of Semantic Fields