철학과 물리학 모두 법칙성이 일종의 안정성과 연결되어 있다는 생각이 반복되곤 한다. 법칙은 단순히 참인 규칙들이 아니라, 적절한 설명 변화, 좌표 선택, 또는 배경 가정 하에서 견고하게 유지되는 문장(또는 구조)들이다. 철학에서는 이 아이디어를 불변성에 호소하여 표현한다. 무엇이 객관적이고, 진정으로 해석적인 패턴이라고 여겨지는 것은 적절한 변환 클래스 하에서 불변해야 한다. 물리학에서는 같은 주제가 구체적으로 대칭과 제약 원칙으로 나타난다. 완숙된 이론은 동역학 방정식의 목록이 아니라, 그 구성 요건(대칭성, 국소성, 단위성, 정규화 가능성, 공변성 등)의 결과에 대해 닫혀 있는 패키지이다.

이 논문에서는 특히 강력한 안정성 아이디어를 포장하는 방법을 연구한다. 이를 ‘자기포함’이라고 부르며, 선택된 법칙들이 자신들의 총체적인 선별 기준에 만족시키는 후보들임을 제안한다. 그림으로 표현하면 다음과 같다:

\text{"}\psi\in P \iff \text{$\psi$는 $P$에 대해 적합하다"}.

직관적으로 해석하면, 이는 쉽게 Russell식 유형 혼란으로 붕괴된다. 기준은 잘못된 종류의 객체에 적용되며, 형식을 강제하기 위해 수준을 붙이면 결과적인 문장은 $`P\in P`$와 같은 독성 자기 소속 조건으로 변질된다. 우리의 첫 번째 목표는 이러한 실패를 정확히 만드는 것과, 연장적 인코딩에서 의도된 해석 제약을 무효한 문법 또는 평범한 자기 인정으로 바꾸는 요인을 분리하는 것이다.

두 번째 목표는 유형 붕괴를 방지하면서 자기포함 아이디어를 유지할 수 있는 수정안을 제공하는 것이다. 중추적인 움직임은 법칙(후보 도메인의 원소)과 법칙 패키지(법칙들의 집합, 부분공간 또는 다른 구조화된 수집) 사이의 유형을 분리하는 것이다. 이러한 차이를 강제하면 자기포함 이중 조건은 유도된 적합성 연산자의 고정점 방정식으로 변환된다. 패키지가 완전 격자이고 적합성 연산자가 단조일 때 기본 설정에서 Tarski의 정리는 고정점을 보장하고 캐논적 극단 솔루션, 특히 최소 고정점 $`\mu\mathcal F`$를 제공한다. 이는 의미론적 자기 참조에 대한 고정점 처리와 정신적으로 유사하지만 목적이 다르다.

세 번째 목표는 이러한 고정점 정형식이 물리학에서 유용한 템플릿으로 어떻게 기능하는지를 설명하는 것이다. 형식은 첫 원칙에서 자연의 법칙을 도출하는 머신으로 제안되지 않는다. 대신, 이미 실천에 암시된 구조적 패턴을 분리한다: 후보 도메인 $`\Sigma`$가 고정되고 적합성 제약이 지정되면 완성 맵 $`\mathcal F`$를 얻게 되며 그 고정점은 정확히 닫힌, 적합한 이론 패키지이다. 중요한 점은 이러한 완성 맵이 무조건적으로 확장적이지 않다는 것이다. “씨앗” $`S`$는 단순히 $`\mathcal F(S)`$를 결정하는 제약을 추출할 수 있으며, $`S\subseteq \mathcal F(S)`$를 요구하지 않는다. 이 특징은 부분적인 약속이 추가 원칙 하에서 표준 완성체를 선택하는 물리학 방법론과 일치한다.

주요 결과는 다음과 같이 요약된다:

1. 연장적 집합 이론적 표현의 자기포함이 수준을 동일시하면 유형 오류가 되거나 $`P\in P`$로 붕괴됨을 보인다.
2. 유형화된 재구성에서 자기포함은 패키지 격자 위의 고정점 방정식 $`P=\mathcal F(P)`$에 동일하며, 단조성 하에서 캐논적 최소 선택 $`P=\mu\mathcal F`$를 제공한다.
3. 대칭군과 패키지 사이의 갈루아 대응을 통해 단조 적합성 연산자의 불변성 기반 구성을 제공하고 QED와 GR에 대한 장난감 인스턴스화로 프레임워크를 설명한다.

이런 맥락에서 논문의 계획은 다음과 같다: 제2절에서는 확장적 표현의 실패를 진단한다. 제3절에서는 유형화된 고정점 재구성을 개발하고 고정점 정형식을 설정한다. 제4절에서는 구성 제약을 인코딩하는 완성 연산자를 통해 물리학에서 스키마를 인스턴스화하는 방법을 설명한다. 제5절은 QED와 GR의 예를 제공한다. 우리는 고정점 관점을 명확히 하고, 법칙의 메타물리학에 대해 무엇도 해결하지 않는다는 결론을 내린다.

확장적 집합 이론적 표현의 실패

우리의 첫 번째 목표는 자기포함의 확장적 집합 이론적 표현이 모순되거나 무용하다는 것을 보이는 것이다. 구체적으로, 나이브한 확장적 집합 이론 인코딩은 (i) 수준을 동일시하지 않는 경우 유형 오류가 되거나, (ii) 수준이 동일시되면 $`P\in P`$로 붕괴됨을 보인다.

$`\Lambda`$를 후보 법칙의 집합이라고 하자.[^2] 특징 $`C`$를 확장적으로 다음과 같이 표현한다:

C^{\mathrm{ext}}\subseteq \Lambda,
\qquad \psi\in C^{\mathrm{ext}} \iff C(\psi).

“선택된” 법칙을 정의한다:

P \;:=\; \{\psi\in\Lambda : C(\psi)\}.

비형식적인 움직임 “가정 $`C(P)`$“는 $`P`$가 $`C(\cdot)`$의 유효한 인자라는 것을 요구한다. 현재 인코딩에서, $`C(\cdot)`$은 $`\Lambda`$의 원소에 대한 예언이므로

P \in \Lambda.

그러나 $`P`$는 부분집합 $`P\subseteq \Lambda`$, 즉 법칙 집합(특정 기준 아래에서 정의된 법칙의 집합)으로 구성되었으며, 법칙은 아니다. $`P`$를 동시에 $`\Lambda`$의 원소로 취급하는 것은 유형 붕괴이다.

이는 특정 대우를 선택함으로써 강제될 수 있다. $`\Lambda`$가 “법칙” 중 일부로서 집합을 포함하는 경우, 확장적 붕괴는 독성이 된다:

C(P)\quad\Longrightarrow\quad P\in P.
```*

</div>

<div class="proof">

*Proof.* 정의에 따르면, $`C(P)`$는 $`P\in C^{\mathrm{ext}}`$를 의미한다. Lemma <a href="#lem:collapse" data-reference-type="ref"
data-reference="lem:collapse">1</a>에 따라, $`C^{\mathrm{ext}}=P`$, 따라서
$`P\in P`$. ◻

</div>

<div class="corollary">

**Corollary 1.** *ZFC와 Foundation에서 확장적 재구성과 $`C(P)`$, $`P\in\Lambda`$로 유효화된 연합은 모순이다.*

</div>

비양호 집합 이론에서는 $`P\in P`$가 일관될 수 있다. 그러나 확장적 인코딩에서, 의도한 설명
``` math
\text{"$P$는 참이므로 $C(P)$"}

\text{"$P$는 참이므로 $P\in P$"}.

\text{(법칙)}\;\;\psi\in\Lambda
\qquad\text{vs.}\qquad
\text{(법칙 집합)}\;\;S\subseteq\Lambda.

\mathcal F:\Psi\to\Psi,\qquad
\mathcal F(S):=\{\psi\in\Lambda : C(S,\psi)\}.

S\subseteq T \;\Rightarrow\; \mathcal F(S)\subseteq \mathcal F(T).

\mu \mathcal F\;=\; \bigcap \{\, S \in \Psi \;:\; \mathcal F(S)=S \,\}.

\mathcal F(\mu \mathcal F) = \mu \mathcal F,
    \qquad
    \forall S \in \Psi \;\; \big(\mathcal F(S)=S \;\Rightarrow\; \mu \mathcal F\subseteq S\big).

\mu \mathcal F\;=\; \mathcal F(\bot_\Psi).
```*

</div>

<div class="proof">

*Proof.* $`X`$를 임의의 고정점이라고 하자, 즉 $`\mathcal F(X)=X`$. $`\bot_\Psi\subseteq X`$, 단조성을 통해
$`\mathcal F(\bot_\Psi)\subseteq \mathcal F(X)=X`$. 따라서
$`\mathcal F(\bot_\Psi)`$는 모든 고정점에 포함된다. 만약 $`\mathcal F(\bot_\Psi)`$가 고정점이라면, 그는 최소 고정점이다. ◻

</div>

<div class="definition">

**Definition 3.** 가장 깊은 법칙 집합을 다음과 같이 정의한다:
``` math
P \;:=\; \mu\mathcal F.

\mathcal F(P)=P.

\psi\in P \iff \psi\in\mathcal F(P) \iff C(P,\psi).
```*

</div>

따라서 $`P`$는 다음과 같은 제한된 의미에서 그 구성원을 설명한다:
``` math
\psi\in P \;\Rightarrow\; C(P,\psi).

p \;\equiv\; \forall n\in\Lambda\;\Big(C(P,n)\ \Rightarrow\ \mathsf{Obtain}(n)\Big),

D \;\subseteq\; T\times U,
\qquad
D(S,u)\ \text{읽기: "$u$는 $S$에 따라 적합하다/인정된다"}.

\mathcal F_D:T\to T,
\qquad
\mathcal F_D(S):=\{u\in U: D(S,u)\}.

\forall u\in U\;\;\big(u\in P \iff D(P,u)\big)

u\in P \iff D(P,u)
\quad\Longleftrightarrow\quad
u\in P \iff u\in \mathcal F_D(P),