보편 조건 논리 프롬프트 엔지니어링을 위한 형식 언어

\begin{equation}
I_i(x) = \mathbb{1}[K_i \cap \text{tokens}(x) \neq \emptyset]
\end{equation}
```*

</div>

**아키텍처 비교:**

- 표준: 모든 활성화 ($`I_i = 1 ~\forall i`$), 효율 $`\eta = 1/D`$

- SWITCH: 모든 해석이 필요 ($`I_i \approx 1`$), 효율 $`\eta \approx 1/D`$

- UCL: 진정한 선택적 활성화 ($`I_i \in \{0,1\}`$), 효율 $`\eta \approx 1.0`$

프로그래밍 병렬:

- 사망 코드 제거 $`\equiv`$ $`O_s`$ 감소

- 관성 평가 $`\equiv`$ 지표 기반 활성화

- `#ifdef` $`\equiv`$ `CONDITION`

<figure id="fig:indicator_comparison" data-latex-placement="htbp">
<img src="/posts/2025/12/2025-12-31-190688-universal_conditional_logic__a_formal_language_for/figure2_indicator_comparison.png" style="width:100%" />
style="width:90.0%" />
<figcaption>프롬프트 아키텍처 간 지표 함수 비교. 각 셀은 "라인 적분"에 대한 입력으로 주어진 도메인의 활성화 상태 (<span
class="math inline"><em>I</em><sub><em>i</em></sub> ∈ {0, 1}</span>)를 보여줍니다. 표준 및 SWITCH 아키텍처는 모든 도메인이 활성화되며 (<span
class="math inline"><em>η</em> = 1.00</span>) 불필요한 내용을 처리합니다. UCL의 키워드 아키텍처는 관련 도메인만 활성화하여 (<span class="math inline"><em>η</em> = 0.40</span>) 선택적 실행과 토큰 절약을 달성합니다.</figcaption>
</figure>

## 기여

다섯 가지 주요 기여:

1.  **형식 언어**: 문법, 검증된 구문, 의미론, 용법 (§4)

2.  **수학적 근거**: 라그랑주 최적화, 품질 함수, 구조적 오버헤드 (§3)

3.  **핵심 검증**: 11개 모델, N=305, $`p < 10^{-13}`$ (§5)

4.  **확장 지시문**: 30+ 연산자와 검증 로드맵 (§6.2, 부록 B)

5.  **프로그래밍 패러다임**: "프롬프트 컴파일" 프레임워크 (전반적으로)

K&R의 C나 Python PEPs처럼 핵심을 검증하며 확장성 테스트를 위한 커뮤니티 초대.

# 관련 연구

## 프롬프트 엔지니어링 접근법

초기 작업: few-shot learning, chain-of-thought, tree-of-thoughts. 최근에는 gradient-based optimization, evolutionary algorithms 등이 있다. 이러한 접근들은 *콘텐츠*를 최적화하며, *아키텍처*는 최적화하지 않는다.

**신생 패러다임:** 프롬프트 패턴은 재사용을 가능하게 한다. 문법 프롬프팅은 출력을 제한한다. DSPy는 구성 가능한 기본 단위를 제공한다.

**UCL의 위치:** 첫 번째 완전한 언어적 프레임워크. 조건부 효율성 $`\eta`$는 Haskell의 관성 평가와 유사하며, 구조적 오버헤드 $`O_s`$는 컴파일 시간 비용과 유사하다; 지표 함수는 if-guards를 실현한다.

## 컴파일러 및 프로그래밍 병렬

**컴파일러 최적화:** $`O_s`$ 감소는 사망 코드 제거, 루프 언롤링에 해당한다. 품질-비용 교환은 GCC의 `-O2` vs. `-O3`과 유사하다.

**정규화:** 과도한 지시는 과적합과 유사하다. L2 벌점이 용량을 제약하듯이, 우리의 벌점은 지시를 제약한다.

**정보 이론 (최소):** 과도한 지시는 "잡음"을 추가하여 $`C_{\text{eff}} = C_{\max} - O_s`$를 감소시킨다.

**DSLs:** UCL은 DSL 원칙을 따르며: 도메인 타겟팅, 적절한 추상화, 컴파일 가능하다.

기술이나 직관이 아닌 완전한 형식 언어와 검증된 메커니즘을 제공한다.

# 수학적 프레임워크

## 일반 프롬프트 방정식

<div id="def:universal-prompt" class="definition">

**정의 2** (일반 프롬프트 방정식).
*``` math
\begin{equation}
P(x) = V \circ R \circ B\left(T(x) + \sum_{i=1}^{n} I_i(x) \cdot D_i(x) + O_s(A)\right)
\end{equation}
```*

</div>

여기서 $`T`$=태스크, $`I_i`$=지표 함수, $`D_i`$=도메인, $`n`$=도메인 수, $`O_s`$=오버헤드, $`B`$=바인딩, $`R`$=역할, $`V`$=검증이며, $`A(x) = \{i : I_i(x) = 1\}`$는 활성 도메인 집합이다.

프로그래밍에 비유하면: $`I_i`$은 if-guards와 유사하며, $`O_s`$는 컴파일 비용과 같다.

<div id="rem:standard-vs-ucl" class="remark">

*비고 1* (표준 vs. UCL 프롬프트 차이). 일반 프롬프트 방정식은 표준 및 UCL 프롬프트 모두에 적용된다. 주요 차이는 지표 함수의 동작이다:

**표준 프롬프트:** 모든 $`i \in \{1, \ldots, n\}`$에 대해 $`I_i(x) = 1`$. 
``` math
\begin{equation}
\label{eq:standard-prompt}
P_{\text{standard}}(x) = V \circ R \circ B\left(T(x) + \sum_{i=1}^{n} I_i(x) \cdot D_i(x) + O_s(A)\right)
\end{equation}

\begin{equation}
\label{eq:ucl-prompt}
P_{\text{UCL}}(x) = V \circ R \circ B\left(T(x) + \sum_{i \in A(x)} I_i(x) \cdot D_i(x) + O_s(A)\right)
\end{equation}

\begin{equation}
\label{eq:content-reduction}
\frac{\text{표준 콘텐츠}}{\text{UCL 콘텐츠}} = \frac{\sum_{i=1}^{n} |D_i|}{\sum_{i \in A(x)} |D_i|} \approx n
\end{equation}

</div>

<div class="proof">

*증명.* $`S^*`$에서 연속성을 위해 좌우 극한은 같아야 한다:
``` math
\begin{align}
    \lim_{S \to S^{*-}} Q(S) &= \lim_{S \to S^{*+}} Q(S) \\
    \frac{Q_{\text{max}}}{S^*} \cdot S^* &= Q_{\text{max}} - b(S^* - S^*)^2 \\
    Q_{\text{max}} &= Q_{\text{max}}
\intertext{기울기 연속성을 위해 미분 값이 일치해야 한다:}
    \left. \frac{d}{dS}\left[\frac{Q_{\text{max}}}{S^*}S\right] \right|_{S=S^*} &= \left. \frac{d}{dS}[Q_{\text{max}} - b(S-S^*)^2] \right|_{S=S^*} \\
    \frac{Q_{\text{max}}}{S^*} &= 0
\end{align}