LLM의 소수 mathematics competition 문제 해결 능력 평가
📝 원문 정보
- Title: Evaluating the Reasoning Abilities of LLMs on Underrepresented Mathematics Competition Problems- ArXiv ID: 2512.24505
- 발행일: 2025-12-30
- 저자: Samuel Golladay, Majid Bani-Yaghoub
📝 초록
이 논문은 여러 수학 문제와 그에 대한 정확한 해답을 다룹니다. 주요 내용으로는 적분, 함수의 극한값, 그리고 다양한 함수의 성질 등을 포함하고 있습니다.💡 논문 해설
1. **적분 문제 풀이 방법**: 이 부분에서는 특정 형식의 적분을 계산하는 방법을 설명합니다. 예를 들어, 무한 구간에서의 적분과 불연속성을 가진 함수에 대한 적분 등을 다룹니다.-
함수의 길이와 극한값: 주어진 함수의 길이가 어떤 패턴을 따르는지 분석하고, 이를 통해 특정 조건 하에서의 함수의 길이의 극한 값을 찾습니다.
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다양한 수학적 모델링: 다양한 함수를 사용하여 문제 해결 방법을 모델링합니다. 예를 들어, 특정 형식의 적분이나 함수의 성질 등을 분석하고 이를 통해 복잡한 문제를 단순화합니다.
📄 논문 발췌 (ArXiv Source)
적분 문제와 정확한 해답
1996년 세션 2: 1
다음의 정적분을 계산하십시오. (a)
\int_1^3 {dx \@@over\sqrt {(x-1)(3-x)}} ,(b)
\int_1^\infty {dx \@@over e^{x+1} + e^{3-x}} .해답. (a) 적분식이 두 경계에서 정의되지 않으므로,
\begin{align*}
\int_1^3 {\frac{dx}{\sqrt {(x-1)(3-x)}}} &= \lim_{\substack{\epsilon \to 0^+ \\ \delta \to 0^+}} \int_{1+\epsilon}^{3-\delta} {\frac{dx}{\sqrt {(x-1)(3-x)}}} \\
&= \lim_{\substack{\epsilon \to 0^+ \\ \delta \to 0^+}} \int_{1+\epsilon}^{3-\delta} {\frac{dx}{\sqrt {1- (x-2)^2}}} \\
&= \lim_{\substack{\epsilon \to 0^+ \\ \delta \to 0^+}} \arcsin (x-2) \bigg\vert _{1+\epsilon}^{3-\delta} \\
&= \lim_{\substack{\epsilon \to 0^+ \\ \delta \to 0^+}} [ \arcsin (1-\delta) - \arcsin (\epsilon - 1)] \\
&= {\pi \@@over 2} - (-\frac{\pi}{2}) \\
&= \pi.
\end{align*}(b) 무한 구간에서의 적분이 어려움을 초래합니다. $`y=x-1`$로 치환하면,
\begin{align*}
\int_1^\infty \frac{dx}{e^{x+1} + e^{3-x}} &= \lim_{N \to \infty} \int_1^N \frac{dx}{e^{x+1} + e^{3-x}} \\
&= \lim_{N \to \infty} \frac{1}{e^2} [\arctan e^{N-1} - \arctan e^0 ] \\
&= \frac{1}{e^2} \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right) \\
&= \frac{\pi}{4e^2}.
\end{align*}1997년 세션 2: 4
다음과 같은 곡선의 가족을 정의합니다.
S_n = \{ (x,y) : y = {1 \@@over n} \sin (n^2 x),\ 0 \le x \le \pi \},여기서 $`n`$은 양의 정수입니다. $`n \to \infty`$일 때, $`S_n`$의 길이의 극한값은 무엇인가요? 해답. $`L(S_n)`$을 $`S_n`$의 길이라고 하면,
L(S_n) = \int_0^\pi \sqrt {1 + n^2 \cos ^2 (n^2 x)} dx .명백하게,
\sqrt {1 + n^2 \cos ^2 (n^2 x)} > \sqrt {n^2 \cos ^2 (n^2 x)} = n \vert
\cos (n^2 x) \vert ,따라서
L(S_n) > \int_0^\pi n \vert \cos (n^2 x) \vert dx .$`\cos (n^2 x)`$의 주기는 $`2 \pi / n^2`$, 그리고 $`\cos (n^2 x) \ge 0`$은 $`0 \le x \le \pi / 2n^2`$에서 성립하므로,
\begin{align*}
L(S_n) &> 2n^3 \int_0^{\pi / 2n^2} \cos (n^2 x) dx \\
&= 2n^3 \left[ \frac{\sin (n^2 x)}{n^2} \right]_0^{\pi / 2n^2} \\
&= 2n^3 \left( \frac{\sin (n^2 \cdot \frac{\pi}{2n^2})}{n^2} - \frac{\sin (n^2 \cdot 0)}{n^2} \right) \\
&= 2n^3 \left( \frac{\sin (\frac{\pi}{2})}{n^2} - 0 \right) \\
&= 2n^3 \left( \frac{1}{n^2} \right) \\
&= 2n.
\end{align*}따라서,
\lim_{n \to \infty} L(S_n) = \infty .1998년 세션 1: 3
$`m`$, $`n`$이 양의 정수이고, $`a < b`$일 때,
\int_a^b {(b-x)^m \@@over m!} {(x-a)^n \@@over n!} dx에 대한 공식을 찾아보세요. 그리고 이 공식을 이용하여
\int_0^1 (1-x^2)^n dx .를 계산해 보세요. 해답. 부분적분을 한 번 사용하면,
\int_a^b {(b-x)^m \@@over m!} {(x-a)^n \@@over n!} dx = \int_a^b
{(b-x)^{m-1} \@@over(m-1)!} {(x-a)^{n+1} \@@over(n+1)!} dx따라서 계속해서 계산하면,
\int_a^b {(b-x)^m \@@over m!} {(x-a)^n \@@over n!} dx = \int_a^b
{(x-a)^{n+m} \@@over(n+m)!} dx = {(b-a)^{n+m+1} \@@over(n+m+1)!} .그러므로,
\int_0^1 (1-x^2)^n dx = {1 \@@over 2} \int_{-1}^1 (1-x)^n (x-(-1))^n dx =
{1 \@@over 2} (n!)^2 {2^{2n+1} \@@over(2n+1)!} = {2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots
2n \@@over 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n+1)} .1999년 세션 2: 2
평면에서 곡선 $`y = x^4 - 6x^2`$ 에 접하는 직선 위에 있지 않은 점을 정확히 설명하세요. 해답. $`( t , t^4 - 6t^2 )`$를 곡선의 한 점으로 하면, 그 점에서의 접선 방정식은 $`y = (4 t^3 - 12 t ) x - (3 t^4 - 6 t^2 )`$. $`x`$가 고정된 값일 때, $`t`$가 변하면서 $`y`$의 최대값이 발생하는 지점은
{dy \@@over dt} = (12 t^2 - 12) x - (12 t^3 - 12 t ) = 0 .이 다항식은 $`(12 t^2 - 12)(x - t)`$로 인수분해되고, 임계값은 $`t=1,-1,x`$에서 발생합니다. 이에 대응하는 $`y`$ 값들은 $`-8x+3`$, $`8x+3`$, 그리고 $`x^4 - 6x^2`$. 따라서 점 $`(x, y)`$가 어떤 접선에도 포함되지 않으려면 $`y`$ 좌표는 이 세 값들 중 최대값보다 커야 합니다. 구체적으로, 접선에 포함되지 않는 점의 집합은 $`\{ (x,y) \ \vert \ \vert x \vert > 3 \text{ and } y > x^4 - 6x^2, \text{ or } \ \vert x \vert \le 3, \text{ and } y > 8 \vert x \vert + 3 \}`$. 또한 $`y = \pm 8 x + 3`$는 변곡점 $`( \mp 1, -5 )`$에서의 접선이며, 이 접선들은 $`( \pm 3, 27)`$에서 사분면과 교차합니다.
1999년 세션 2: 4
다음 성질을 갖는 연속적이며 미분 가능한 곡선 $`C`$를 찾아보세요. 곡선 $`C`$는 제 1사분면에 있으며 점 $`(0,0)`$을 포함합니다. $`P`$가 $`C`$ 위에 있을 때, 좌표축과 $`P`$를 통과하는 수평 및 수직 직선으로 구한 사각형 $`R`$의 내부는 $`C`$로 두 부분으로 나뉩니다. $`x`$-축을 기준으로 회전시키면 하나의 부피가 생성되고, $`y`$-축을 기준으로 회전시키면 다른 부피가 생성되며, 이 두 부피는 같아야 합니다. 해답. $`C`$가 항상 $`R`$를 정확히 두 부분으로 나누려면, $`C`$는 증가하는 함수여야 합니다. $`C`$를 $`y=f(x)`$로 나타내자. 두 부피의 값은 다음과 같습니다.
V_1 = \int_0^x \pi (f(t))^2 dt \ \ \ \ \text{and}\ \ \ \ V_2 =
\int_0^x 2 \pi t(f(x) - f(t)) dt .$`V_1=V_2`$, $`\pi`$를 제거하고 $`V_2`$의 적분을 두 부분으로 나누면,
\int_0^x (f(t))^2 dt = \int_0^x 2t f(x) dt - \int_0^x 2t f(t) dt .양변을 $`x`$에 대해 미분하고 단순화하면,
(f(x))^2 = x^2 f' (x) \ \ \ \ \text{or} \ \ \ \ y^2 = x^2 {dy \@@over
dx} .변수 분리와 적분을 통해 다음과 같은 곡선의 가족을 얻습니다.
y = {x \@@over 1 + cx} .점 $`(0,0)`$은 각 곡선에 포함되며, 만약 $`c\geq0`$이라면 도메인은 $`[0,\infty)`$, 그리고 $`c<0`$라면 도메인은 $`[0,1/\vert c \vert )`$입니다.
2002년 세션 1: 3 (극한값만)
수열 $\{x_n\}$을 다음과 같이 정의합니다:
x_1 = \sqrt 5,\ \ x_2 = \sqrt {5 + \sqrt {13}},\ \ x_3 = \sqrt {5 +
\sqrt {13 + \sqrt 5}},\ \ x_4 = \sqrt {5 + \sqrt {13 + \sqrt {5 +
\sqrt {13}}}},그리고 계속해서 더합니다. $`\lim_{n \to \infty} x_n`$의 존재를 증명하고 그 값을 결정하세요. 해답. 우리는 $`x_1, x_2 < 4`$임을 보입니다; 또한 $`x_{2k-1}, x_{2k} < 4`$라고 가정하면,
x_{2k+2} = \sqrt {5 + \sqrt {13 + x_{2k}}} < \sqrt {5 + \sqrt {13 +
4}} < 4 .$`x_{2k+1}`$에 대한 증명도 동일합니다. 따라서 모든 $`n`$에 대해 $`x_n < 4`$. 또한 이 수열은 단조증가합니다. 따라서 극한값이 존재해야 합니다.
\lim_{n \to \infty} x_n = L .그러면,
L = \sqrt{ 5 + \sqrt {13 + L} }또는
L^4 - 10L^2 - L + 12 = 0.한 해는 $`L=3`$입니다. 나머지 세 개의 해 중 하나는 양수 (1과 2 사이)이고 나머지는 복소수입니다. 따라서
\lim_{n \to \infty} x_n = 3 .수렴은 매우 빠르며, $`x_6`$은 이미 $`2.999971`$에 가깝습니다.
2002년 세션 1: 5
두 개의 직각 원기둥이 교차하여 사분면을 형성하며 이는 네 개의 곡면을 가지고 있습니다. 하나의 곡면을 평평하게 펴서 보세요. 이렇게 펴진 면의 경계곡선 방정식과 그 면적을 찾아보세요. 해답. $`x`$-축을 하나의 원기둥의 축으로, 그리고 $`y`$-축을 다른 원기둥의 축으로 하여 중심이 원점인 고체를 생각합시다. $`z`$-축에 수직한 단면은 길이가 $`s = 2 \sqrt {r^2 - z^2}`$인 정사각형입니다. 평평하게 펴진 면의 축을 $`w`$-축으로 두고, 그 끝점 중 하나를 원점에 위치시킵니다. 이는 $`w`$의 범위가 $`0 \le w \le \pi r`$이고 경계곡선에서 수평축까지의 거리가 $`\sqrt {r^2 - z^2}`$임을 의미합니다. $`z`$와 $`w`$를 관계시키기 위해, 고체가 굴러간 각도를 $`\theta`$라 하면 $`\cos \theta = z/r`$이고 $`w=r\theta`$, 이를 통해
\sqrt {r^2 - z^2} = r \sin {w \@@over r}을 얻습니다. 경계곡선은 다음과 같습니다.
f(w) = r \sin {w \@@over r}\ \ \text{and}\ \ g(w) = -r \sin {w \@@over
r} .면적은 단순 적분으로 주어집니다.
\text{area} = \int_0^{\pi r} 2r \sin {w \@@over r} dw = 4r^2 .2003년 세션 1: 5
수열 $`\{ x_n \}_{n=2}^\infty`$를 다음과 같이 정의합니다.
(n + x_n) [ \root n \of 2 - 1 ] = \ln 2 .$`\lim _{n \to \infty} x_n`$을 찾아보세요. 해답. $`x_n`$을 풀면,
x_n = {\ln 2 \@@over\root n \of 2 - 1} - n ,이는 $`\infty - \infty`$의 형태입니다. 따라서 $`u=1/n`$으로 치환하고, 로피탈 정리를 두 번 적용하면,
\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} x_n &= \lim_{n \to \infty} \frac{\ln 2 - n \cdot 2^{1/n} + n}{2^{1/n} - 1} \\
&= \lim_{u \to 0} \frac{u \ln 2 - 2^u + 1}{u 2^u - u} \\
&= \lim_{u \to 0} \frac{1 - 2^u}{u2^u + \frac{2^u - 1}{\ln 2}} \\
&= \lim_{u \to 0} \frac{-\ln 2}{u\ln 2 + 2} \\
&= -\frac{1}{2} \ln 2.
\end{align*}2005년 세션 1: 4
다음 적분의 값을 결정하세요:
I( \theta ) = \int_{-1}^1 {\sin \theta \, dx \@@over 1 - 2x \cos \theta + x^2} .$`0 \le \theta \le 2\pi`$, $`I(\theta)`$가 불연속인 점을 찾아보세요. 해답. $`1 = \cos ^2 \theta + \sin ^2 \theta`$로 치환하고, $`u=x-\cos \theta`, du=dx`$. 그러면 적분은 다음과 같이 됩니다.
\begin{align*}
I( \theta ) &= \int_{-1-\cos \theta}^{1-\cos \theta} \frac{\sin \theta \, du}{u^2 + \sin ^2 \theta} = \arctan \left( \frac{u}{\sin \theta} \right) \bigg\vert _{-1-\cos \theta}^{1 - \cos \theta} \\
&= \arctan \left( \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta} \right) - \arctan \left( \frac{-1 - \cos \theta}{\sin \theta} \right) \qquad (\sin \theta \ne 0) \\
&= \arctan \left( \frac{2 \sin ^2 (\theta / 2)}{2 \sin (\theta / 2) \cos (\theta / 2)} \right) - \arctan \left( \frac{ -2 \cos ^2 (\theta / 2)}{2 \sin (\theta / 2) \cos (\theta / 2) } \right) \\
&= \arctan ( \tan (\theta / 2) ) - \arctan (-\cot (\theta / 2) ) \\
&= \arctan (\tan (\theta / 2) ) - \arctan (\tan (\pi / 2 + \theta / 2)).
\end{align*}여기서 $`\text{Tan}^{-1}\theta`$의 범위는 $`(-\pi/2, \pi/2)`$임을 기억해야 합니다. 예를 들어,
\begin{align*}
&\text{Tan}^{-1} (\tan (20^\circ)) = 20^\circ \\
&\text{Tan}^{-1} (\tan (100^\circ )) = -80^\circ \\
&\text{Tan}^{-1} ( \tan (220^\circ ) ) = 40^\circ \\
&\text{Tan}^{-1} (\tan (290^\circ ) ) = -70^\circ .
\end{align*}따라서 $`0 < \theta < \pi`$일 때,
I(\theta) = \frac{\theta}{2} - (-\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}\right)) = \frac{\pi}{2}.그리고, $`\pi < \theta < 2\pi`$일 때,
I(\theta) = -(\pi - \frac{\theta}{2}) - (\frac{\theta}{2} - \frac{\pi}{2}) = -\frac{\pi}{2}.여기서,
\biggl( {1 - \cos \theta \@@over\sin \theta } \biggr) ^{-1} = {\sin \theta \@@over 1 - \cos \theta} \cdot {1 + \cos \theta \@@over 1 + \cos \theta} = - {-1 - \cos \theta \@@over\sin \theta},\ \ \text{when } \sin \theta \ne 0,그리고 $`\text{Tan}^{-1} y = - \text{Tan}^{-1} (-y)`$입니다. 따라서,
I( \theta ) = \text{Tan} ^{-1} \biggl( {1 - \cos \theta \@@over\sin \theta} \biggr) + \text{Tan} ^{-1} \biggl( {\sin \theta \@@over 1 - \cos \theta} \biggr),$`\theta \ne \pi`$일 때 성립하며, $`\theta = \pi`$, 즉 $`\sin \theta = 0`$인 경우 원래 적분을 보면 $`I(\theta) = 0`$임이 보입니다.
다른 값의 $`\theta`$에 대해 $`I(\theta)`$의 값은 $`\sin \theta`$의 부호에 따라 달라집니다. 경우 1. $`0 < \theta < \pi`$. 그러면 $`\sin \theta > 0`$이고,
I( \theta ) = \text{Tan} ^{-1} x + \text{Tan} ^{-1} \biggl( {1 \@@over x} \biggr) = {\pi \@@over 2}. \ \ \ (x > 0)경우 2. $`\pi < \theta < 2\pi`$. 그러면 $`\sin \theta < 0`$이고,
I( \theta ) = \text{Tan} ^{-1} x + \text{Tan} ^{-1} \biggl( {1 \@@over x} \biggr) = -{\pi \@@over 2}. \ \ \ (x < 0)따라서 함수 $`I(\theta)`$는 다음과 같습니다.
\begin{align*}
I( \theta ) &= \int_{-1-\cos \theta}^{1-\cos \theta} \frac{\sin \theta \, du}{u^2 + \sin ^2 \theta} = \arctan \left( \frac{u}{\sin \theta} \right) \bigg\vert _{-1-\cos \theta}^{1 - \cos \theta} \\
&= \arctan \left( \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta} \right) - \arctan \left( \frac{-1 - \cos \theta}{\sin \theta} \right) \qquad (\sin \theta \ne 0) \\
&= \arctan \left( \frac{2 \sin ^2 (\theta / 2)}{2 \sin (\theta / 2) \cos (\theta / 2)} \right) - \arctan \left( \frac{ -2 \cos ^2 (\theta / 2)}{2 \sin (\theta / 2) \cos (\theta / 2) } \right) \\
&= \arctan ( \tan (\theta / 2) ) - \arctan (-\cot (\theta / 2) ) \\
&= \arctan (\tan (\theta / 2) ) - \arctan (\tan (\pi / 2 + \theta / 2)).
\end{align*}불연속점은 $`0`, $\pi$, 그리고 $`2\pi$에서 발생합니다.
2005년 세션 2: 5
$`f:[0, \infty) \to [0, \infty)`$가 미분 가능한 함수이며, 곡선 $`y=f(x)`$의 $`x=a`$부터 $`x=b`$까지의 면적은 같은 구간에서의 곡선 $`y=f(x)`$의 길이와 같습니다. 또한 $`f(0)=5/4`$, 그리고 $`(0, \infty)`$에서 최소값을 가집니다. 그 최소값을 찾아보세요. 해답. 곡선 $`y=f(x)`$의 $`x=a`$부터 $`x=b`$까지의 면적은
\int_a^b f(t) \, dt,그리고 같은 구간에서의 곡선 $`y=f(x)`$의 길이는
\int_a^b \sqrt {1 + (f' (t))^2 } \, dt.따라서,
\int_a^b f(t) \, dt = \int_a^b \sqrt {1 + (f' (t))^2 } \, dt모든 비음의 $`a`, `b`$에 대해 성립합니다. 특히,
\int_0^x f(t) \, dt = \int_0^x \sqrt {1 + (f' (t))^2 } \, dt모든 비음의 $`x`$에 대해 성립합니다. 이 식 양변을 $`x`$에 대해 미분하면,
{d \@@over dx} \biggl( \int_0^x f(t) \, dt \biggr) = {d \@@over dx} \biggl( \int_0^x \sqrt {1 + (f' (t))^2 } \, dt \biggr),즉,
f(x) = \sqrt {1 + (f' (x))^2}.따라서, 우리가 찾고자 하는 함수 $`y`$는 다음과 같은 미분방정식을 만족합니다.
y = \sqrt {1 + (y')^2}.이 방정식은 분리 가능하다:
\begin{align*}
y &= \sqrt {1 + (y')^2} \\
&\Rightarrow y^2 = 1 + (y')^2 \\
&\Rightarrow (y')^2 = y^2 - 1 \\
&\Rightarrow y' = \sqrt {y^2 - 1} \\
&\Rightarrow \frac{dy}{\sqrt {y^2 - 1}} = dx.
\end{align*}양변을 적분하면,
\int {dy \@@over\sqrt {y^2 - 1}} = \int dx \Rightarrow \ln \bigg\vert y + \sqrt {y^2 - 1} \bigg\vert = x + C.📊 논문 시각자료 (Figures)
